人教版八年级数学上册第十三章轴对称13．3等腰三角形 导学案

1、人教版八年级数学上册第十三章轴对称133等腰三角形 导学案133.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质2.运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题情景导入1.如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到ABC，则ABAC，所以ABC是等腰三角形2把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角AC与ABCAD与BADCD与BDC与BAD与ADADC与ADB猜想：等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗？等腰三角形的两个底角相等如图，在ABC中，ABAC.求证：B

2、C.证明：作顶角的平分线AD，则有12.在BAD和CAD中，BADCAD(SAS)BC(全等三角形的对应角相等)你还有其他的方法吗？第二种方法：作ABC的高线AD垂直底边BC于点D.第三种方法：作ABC的中线AD交底边BC于点D.你能用一句话来叙述这个结论吗？等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)符号语言：在ABC中，ABAC，BC.通过以上的证明，我们还可以发现等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC.求证：BDCD，ADBC.证明：在BAD和CAD中，BADCA

3、D(SAS)BDCD，ADBADC(全等三角形的对应角相等)又ADBADC180°，ADBADC90°，即ADBC.例题讲解类型1等边对等角例1如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD.求ABC各角的度数解：ABAC，BDBCAD，ABCCBDC，AABD(等边对等角)设Ax，则BDCAABD2x，从而ABCCBDC2x.于是在ABC中，有AABCCx2x2x180°.解得x36°.在ABC中，A36°，ABCC72°.【跟踪训练1】等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是(C)A50°B65

4、76;C50°或65°D50°或80°【跟踪训练2】如图，在ABC中，ACDCDB，ACD100°，求B的度数解：ACDC，AADC.又ACD100°，AADC(180°100°)÷240°.DCDB，DCBB.ADCBDCB2B40°.B20°.类型2三线合一例2如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AEAF.求证：DEDF.证明：连接AD.ABAC，D是BC的中点，EADFAD.在AED和AFD中，AEDAFD(SAS)DEDF.【跟

5、踪训练3】如图，在ABC中，ABAC，D是BC中点，下列结论中不正确的是(D)A.BCB.ADBCC.AD平分BACD.AB2BD【跟踪训练4】如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.证明：ABAC，ABDC.又AD是BC边上的中线，ADBC.BEAC于点E，BECADB90°.CCBEABDBAD90°.CBEBAD.巩固训练1.如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，B40°，则BAD(C)A100° B80° C50° D40°2.如图，在ABC中，ABAC，D为BC上

6、一点，且DADC，BDBA，则B的大小为(B)A40° B36° C30° D25°3如图，在ABC中，ABAC，C72°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的度数为72°4.如图，在ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BEAC.(1)求证：ADBC；(2)若BAC75°，求B的度数解：(1)证明：连接AE.EF垂直平分AB，AEBE.BEAC，AEAC.D是EC的中点，ADBC.(2)设Bx.AEBE，BAEBx.AEC2x.AEAC，CAEC2x.在ABC中

7、，3x75°180°，解得x35°.B35°.课堂小结第2课时等腰三角形的判定教学目标1.掌握等腰三角形的判定方法2.利用等腰三角形的判定方法证明相关问题，会以尺规作图作等腰三角形情景导入思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等如图，在ABC中，BC.求证：ABAC.证明：作BAC的平分线AD，则有12.在BAD和CAD中，BADCAD(AAS)ABAC(全等三角形的对应角相等)你还有其他的方法吗？第二种方法

8、：作ABC的高线AD垂直底边BC于点D.第三种方法：作ABC的中线AD交底边BC于点D.由上面的证明，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)注意：“等角对等边”的前提是一个三角形符号语言：在ABC中，BC，ABAC.等腰三角形的性质与判定有区别吗？性质：等边等角；判定：等角等边例题讲解类型1等边对等角例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形如图，CAE是ABC的外角，12，ADBC.求证：ABAC.【点拨】要证明ABAC，可先证明BC.因为12，所以可以设法找出B，C与1，2的关

9、系证明：ADBC，1B(两直线平行，同位角相等)2C(两直线平行，内错角相等)12，BC.ABAC(等角对等边)【跟踪训练1】在ABC中，A和B的度数如下，能判定ABC是等腰三角形的是(B)A.A50°，B70° B.A70°，B40°C.A30°，B90° D.A80°，B60°【跟踪训练2】如图，已知OC是AOB的平分线，DCOB，那么DOC一定是等腰三角形(按边分类填)【跟踪训练3】如图，ADBC，ACBD，求证：EAB是等腰三角形证明：在ADB和BCA中，ADBBCA(SSS)DBACAB.AEBE.EAB

10、是等腰三角形类型2作等腰三角形例2已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形解：作法：(1)作线段ABa.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DCh.(4)连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形【跟踪训练4】如图，在ABC中，A80°，B40°，请你用尺规作图法作一条直线把如图所示的ABC分成两个等腰三角形，并通过计算说明你的分法的合理性解：作BC的垂直平分线MN交AB于点D，连接CD，则直线CD把ABC分成了两个等腰三角形证明：MN垂直平分BC，DCDB.DCBB40°.BCD是等腰三角形A

11、DCDCBB80°.A80°，AADC.ACD是等腰三角形直线CD把ABC分成两个等腰三角形巩固训练1.如图，在ABC中，ABAC，BO，CO分别为ABC和ACB的平分线且相交于点O，过O作DEBC交AB，AC于点D，E，图中的等腰三角形有(D)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.如图，在ABC中，ABAC，D，E两点分别在AC，BC上，BD是ABC的平分线，DEAB.若BE5 cm，CE3 cm，则CDE的周长是(B)A.15cm B.13 cm C.11 cm D.9 cm3.如图，在RtABC中，ACB90°，D为AB上的点，BDCD5，则AD54.如

12、图，锐角ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OBOC.(1)试说明：ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在BAC的平分线上，并说明理由解：(1)证明：OBOC，OBCOCB.锐角ABC的两条高BD，CE相交于点O，BECCDB90°.BECBCEABCCDBDBCACB180°，180°BECBCE180°CDBCBD.ABCACB.ABAC.ABC是等腰三角形(2)点O在BAC的平分线上理由：连接AO并延长交BC于点F，在AOB和AOC中，AOBAOC(SSS)BAFCAF.点O在BAC的平分线上课堂小结名称图形概念性质与边角关系判定等腰三角形有两

13、边相等的三角形是等腰三角形1.两腰相等1.两边相等2.等边对等角2.等角对等边3.三线合一4.轴对称图形注意：应用“等边对等角”和“等角对等边”时要在同一个三角形中.13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定教学目标1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形2.理解等边三角形的性质与判定情景导入定义类比：等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？性质类比：图形等腰三角形等边三角形性质两条边相等三条边都相等两个底角相等三个角都相等，且都是60°底边上的中线、高

14、和顶角的平分线相互重合每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线相互重合对称轴(1条)对称轴(3条)思考2：一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？判定类比：图形等腰三角形等边三角形判定从边看两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例题讲解类型1等边三角形的性质例1如图，等边ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AEDC，求证：ADBE.证明：在等边ABC中，ABCA，BACACB60°，EABDCA120°

15、;.在EAB和DCA中，EABDCA(SAS)，ADBE.【跟踪训练1】如图，AD是等边三角形ABC的中线，AEAD，则EDC的度数为(D)A30° B25° C20° D15°【跟踪训练2】如图，等边三角形ABC中，BD平分ABC，点E在BC的延长线上，CECD，求证：DBDE.证明：ABC是等边三角形，BD平分ABC，BCA60°，DBC30°.CDCE，CDEE.BCACDEE2E60°.E30°.DBCE30°.DBDE.类型2等边三角形的判定例2如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB和A

16、C于点D，E.求证：ADE是等边三角形证明：ABC是等边三角形，ABC.DEBC，ADEB，AEDC.AADEAED.ADE是等边三角形想一想：本题还有其他证法吗？【跟踪训练3】下面给出的几种三角形，其中不一定是等边三角形的是(B)A.有两个角为60°的三角形B.一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形C.三个外角都相等的三角形D.有一个角为60°的等腰三角形【跟踪训练4】如图，AC与BD相交于点O，若OAOB，A60°，且ABCD，求证：OCD是等边三角形证明：OAOB，AB60°.又ABDC，AC60°，BD60°.OCD是等边三角

17、形巩固训练1.如图，在ABC中，D为BC的中点，ADBC，E为AD上一点，ABC60°，ECD40°，则ABE的度数为(C)A10° B15° C20° D25°2.如图，在等边ABC中，AB2，点D为BC的中点，DEAB交AC于点E，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有(D)A.3条 B.4条 C.5条 D.6条3.如图，ABAC8 cm，DBDC.若ABC60°，则BE4cm.4如图，点D，E，F分别是等边ABC的三条边AB，BC，CA上的点(1)如图1，若ADBECF，求证：DEF是等边三角形

18、；(2)如图2，若DEF是等边三角形，求证：ADBECF.证明：(1)ABC是等边三角形，ABC60°，ABBCCA.ADBECF，BDECAF.在ADF和BED中，ADFBED(SAS)DFED.同理可证ADFCFE.DFFE.DFFEED.DEF是等边三角形(2)ABC，DEF是等边三角形，AB60°，DFDE，且FDE60°.BDEADFADFAFD120°.AFDBDE.在ADF和BED中，ADFBED(AAS)ADBE.同理可证ADFCFE，ADCF.ADBECF.课堂小结等边三角形的性质等边三角形的判定等边三角形的三条边都相等三边相等的三角形

19、是等边三角形等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形各边上的中线、高和所对角的平分线相互重合有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质教学目标1.探索含30°角的直角三角形的性质2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会进行有关的计算和证明情景导入活动：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？如图1，ABD就是等边三角形思考：你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ADC是ABC

20、的轴对称图形，因此ABAD，BAD2×30°60°，从而ABD是一个等边三角形再由ACBD，可得BCCDAB.于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半符号语言：在RtABC中，C90°，A30°，BCAB.你还能用其他方法证明吗？方法二：在ABC内部作ACDA30°，交AB于点D.方法三：在BA上截取BEBC，连接EC.例题讲解例如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB7.4 m，A30°.立柱BC，DE要多长解：DEAC，BCAC，A30°，BCAB，DEAD.BC×7.43.7(m)又ADAB，DEAD×3.71.85(m)答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.【跟踪训练1】如图，在RtABC中，C90°，A30&