高中数学题库高一部分-B函数-幂函数

1、若函数对定义域中任一均满足，则函数的图像关于点对称。（1）已知函数的图像关于点对称，求实数的值；（2）已知函数在上的图像关于点对称，且当 时，求函数在上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数及，恒有，求实数的取值范围。答案：（1）由题设可得，解得；（2）当时，；（3）由（1）得， 其最小值为， ，当，即时，得，当，即时，得，由、得。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难已知f(x)是定义在在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x,则f1()的值为（）ABC2D2答案：D来源：题型：选择题，难度：中档函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程

2、f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。答案：(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 (2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立，取x=0，则f(0)+f(m0)=4，即=4，m= 4(必要性)又m= 4时，f(x)+f(4x)=4成立(充分性

3、)所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t0，则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9，所以当t+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难设f（x）的定义域为xR且x，kZ，且f（x+1）=，如果f（x）为奇函数，当0<x<时，f（x）=3x.（1）求f（）；（2）当2k+<x<2k+1（kZ）时，求f（x）;（3）是否存在这样

4、的正整数k，使得当2k+<x<2k+1（kZ）时，log3f（x）>x2kx2k有解？答案：解：（1）f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数.5分（2）2k+<x<2k+1，kZ，<x2k<1，<x2k1<0，0<2k+1x<.f（2k+1x）=32k+1x.又f（2k+1x）=f（1x）=f（x1）=f（x+1）=.f（x）=3x2k1.10分（3）log3f（x）>x2kx2k，x2k1>x2kx2k，x2（k+1）x+1<0（*）=k2+2k3.若k>1且kZ时但是x.若k=1，则=0

5、，（*）无解.不存在满足条件的整数k.14分来源：题型：解答题，难度：较难设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和 的积函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。答案：（1），。（2），函数的定义域为，令，则，时，又时，递减，单调递增，即函数的值域为。（3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则，则，要满足值域为，则要满足，由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，又在上是增函数，在上是减函数，综上，得 。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度

6、：较难求方程|x-1|=的正根的个数.答案：xyx11x分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：容易已知定义域为0 , 1的函数f (x)同时满足以下三条：对任意的x0 , 1，总有f (x)0；f (1) =1；若x10，x20，x1 + x21，则有f (x1 + x2) f (x1) + f (x2)成立。解答下列各题：（1）求f (0)的值；（2）函数g(x) = 2x 1在区间0 , 1上是否同时满足？并予以证明；（3）【理科】假定存在x00 , 1，使得f (x0)0 , 1且f f (x0)

7、= x0，求证：f (x0) = x0.答案：（1）取x1 = x2 = 0 得 f (0)f (0)+ f (0) f (0)0又由f (0)0 f (0) = 0 理4分（文5分）（2）显然g(x) = 2x 1在0 , 1上满足g (x)0；满足g(1) =1.若x10，x20，x1 + x21，则g (x1 + x2) g(x1) + g(x2) = 2 x1 + x2 1 2 x1 1 + 2 x2 1 = 2 x1 + x2 2 x1 2 x2 +1= (2 x1 1) (2 x1 1)0g(x)适合 理8分（文12分）（3）【理】设m、n0 , 1，且m < n，则n m0

8、 , 1f (n) = f (n m + m) f (n m) + f (m) f (m)若x0 < f (x0)，则f (x0) f f (x0) = x0 ，矛盾；若x0 > f (x0)，则f (x0) f f (x0) = x0 ，矛盾.故x0 = f (x0) 理12分来源：06年黄石鄂高统考题型：解答题，难度：较难已知函数f(x)的定义域为0，1，且同时满足：f(1)=3;f(x)2恒成立；若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)-2.（1）试求函数f(x)的最大值和最小值；（2）试比较f(n)与n+2的大小(nN)；（3）某人发现：当

9、x=()n (nN)时，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1,都有f(x)<2x+2,请你判断此猜想是否正确，并说明理由.答案： (1)设0x1<x21,则必存在实数t(0,1),使得x2=x1+t,由条件得,f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2,f(x2)-f(x1)f(t)-2,由条件得,f(x2)-f(x1)0,故当0x1时,有f(0)f(x)f(1).又在条件中,令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2,故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.(2)在条件中,令x1=x2=,得f()2f(n)-

10、2,即f()-2f()-2,故当nN*时，有f()-2f()-2f()-2f()-2= ,即f()+2.又f()=f(1)=32+,所以对一切nN,都有f()+2.(3)对一切x(0,1),都有f(x)<2x+2.对任意满足x(0,1)，总存在n(nN),使得<x,根据（1）（2）结论，可知：f(x)f()+2,且2x+2>2×+2=+2,故有f(x)<2x+2.综上所述，对任意x(0,1),f(x)<2x+2恒成立.来源：1题型：解答题，难度：较难已知函数，(1)证明是奇函数，并求的单调区间.(2)分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的

11、实数都成立的一个等式，并加以证明.答案：（1）函数定义域为且 为奇函数.设,则在上是增函数,又是奇函数. 在上也是增函数.(2)猜测:来源：题型：解答题，难度：较难已知定义域为D的函数，存在正数K，都有成立，则称函数是D上的有“有界函数”。已知下列函数：；，其中是“有界函数”的是_（写出所有满足要求的函数的序号）。答案：来源：09年四川成都市月考一题型：填空题，难度：中档设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为_答案：1或3来源：08年高考南京市月考一题型：填空题，难度：中档从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x和

12、酒精残留量y之间的函数关系式_。答案：来源：1题型：填空题，难度：中档已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是_。答案：（0，1）来源：1题型：填空题，难度：容易函数在上的最大值与最小值这和为3，则答案：2来源：02全国高考题型：填空题，难度：中档已知是奇函数，则常数m的值为_。答案：1来源：1题型：填空题，难度：较难把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1，空气温度是0，t分钟后温度可由公式0(10)e求得，现有60ºC的物体放在15ºC的空气中冷却，当物体温度为35ºC时，冷却时间t_.答案：2来源：题型：填空题，难度：中档设f(x)=4x

13、2x+1 (x>0),则= .答案：1来源：题型：填空题，难度：中档已知幂函数的图像过点，则其解析式为_答案： 来源：09年江苏盐城月考二题型：填空题，难度：中档已知函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，令则关于函数有下列命题（ ）的图象关于原点对称；为偶函数；的最小值为0；在（0，1）上为减函数.其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）答案：来源：题型：填空题，难度：中档已知函数的反函数的图象的对称中心是（0，2），则a= 。答案：2来源：09年广东月考一题型：填空题，难度：中档设f(x)=，则f()+f()+f()的值为 .答案：5 来源：题型：填空题，难度：中

14、档已知函数，当时，x的变化范围为 答案：x或x3 来源：09年江西省九江市联考一题型：填空题，难度：中档已知点在幂函数的图象上，则的表达式是A. B. C.D.答案：B来源：09年浙江杭州市月考二题型：选择题，难度：中档设a为非零实数，函数的反函数是A. B.C. D.答案：D【解析】由原函数是，从中解得即原函数的反函数是，故选择D答案：D来源：09年高考湖北卷题型：选择题，难度：中档函数y=(x0)的反函数是A.y=x2（x0） B.y=-x2（x0） C.y=x2（x0） D.y=-x2（x0） 答案：B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.答案

15、：B来源：09年高考全国卷二题型：选择题，难度：中档若函数y=2的定义域是P，则该函数的值域为A.2，4，6B.2，4，8 C.1，0，log2 D.0，1，log3 答案：B来源：题型：选择题，难度：容易在下列函数中，值域是（0，）的函数是（）A B C D答案：D来源：题型：选择题，难度：中档函数的反函数为 B. C.(x0) D.(x2)答案：D故 故选D.答案：D来源：09年高考陕西卷题型：选择题，难度：较难.下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是A.y=4x B.y=4x C.y=4x D.y=4x+4x答案：B来源：题型：选择题，难度：容易R上的函数y=f(x)不恒为

16、零，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x0时，f(x)1，则当 x0时，一定有A.f(x)1B.1f(x)0C.f(x)1D.0f(x)1答案：D来源：题型：选择题，难度：较难某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积与时间t（月）之间的函数关系是，它的图象如图所示.给出以下命题：池塘中原有浮草的面积是0.5m2；到第7个月浮草的面积一定能超过60m2浮草每月增加的面积都相等；若浮草面积达到4m2,16m2,64m2所经过时间分别为t1,t2,t3,则，其中所有正确命题的序号是（ ）ABCD答案：A来源：题型：选择题，难度：中档下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是A.y=

17、4xB.y=4-xC.y=4-xD.y=4x+4-x答案：B来源：题型：选择题，难度：容易设，若有且仅有两个实数解，则实数的取值范围是（ ）A B C D答案：A来源：题型：选择题，难度：中档设A、B是非空集合，定义A×B=x|xAB且xAB.已知A=x|y=,B=y|y=2x,x>0,则A×B等于A.0,1)(2,+) B.0,12,+) C.0,1 D.0,2答案：A来源：08年高考新课标卷二题型：选择题，难度：中档下列四个图象中，函数的图象是答案：A来源：09年甘肃兰州月考一题型：选择题，难度：中档函数y=2x+1的图象是答案：A来源：题型：选择题，难度：中档已

18、知函数A.3 B.4C.5 D.6答案：B来源：09年甘肃兰州月考一题型：选择题，难度：中档若函数的值A.1 B.1 C.1或1 D.5答案：B来源：09年北京东城月考一题型：选择题，难度：中档函数的图象的基本形状是（ ）答案：A来源：题型：选择题，难度：中档已知集合P=(x,y)y=,Q=(x,y)y=ax+,且PQ=,那么k的取值范围是A.(,1)B.(,C.(1,+)D.(,+)答案：B来源：题型：选择题，难度：容易设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为A. B. C. D. 答案：A来源：07年高考山东卷题型：选择题，难度：中档曲线C与曲线图象关于直线对称，由曲线C与l的有一个交点位于区间（ ）A（2，1）B（2，3）C（1，2）D（1，0）答案：B来源：题型：选择题，难度：中档设，则（A）（B）（C）（D）答案：D来源：03北京市题型：选择题，难度：较易设f（x）=（）x，a，b为正实数，A=f（），G=f（），H=f（），K=f（），则A、G、H、K的大小关系是A.HGAKB.AKHGC.AKGHD.KAGH答案：D来源：题型：选择题，难度：中档若