九年级数学竞赛共圆点问题

1、第十五讲 共圆点问题 同在一个圆上的许多点称为共圆点，或者说这些点共圆证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考：(1)要证明若干点共圆，先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角(2)要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等(3)如果两线段AB，CD相交于E点，且AEEB=CEED，则A，B，C，D四点共圆(4)若相交直线PA，PB上各有一点C，D，且PAPC=PBPD，则A，B，C，D四点共圆(5)若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆(6)要证明若干点共圆，先证其中四点共圆，然后再证其余点

2、都在此圆上共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介例1 设O1，O2，O3两两外切，Y是O1，O2的切点，R，S分别是O1，O2与O3的切点，连心线O1O2交O1于P，交O2于Q求证：P，Q，R，S四点共圆分析 如图354，连YR，则PRY=90，所以PRS为钝角，设法证明Q与PRS互补，则P，R，S，Q共圆证 连RY，PR，RS，SQ，并作切线RX，则在四边形PRSQ中，所以所以P，Q，R，S四点共圆例2 设ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，分析 欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若

3、能证出AFAD=AGAE成立，则F，D，E，G必共圆径，所以 FDN=FMN=90，所以F，D，N，M四点共圆，所以ADAF=ANAM同理，AGAE=ANAM，所以ADAF=AGAE，所以F，D，E，G四点共圆 例3 在锐角ABC中，BD，CE是它的两条高线，分别过B，C引直线DE的垂线，BFDE于F，CGDE于G，求证：EF=DG(图356)分析 由已知，四边形BCGF为直角梯形，FG为一腰，要证EF=DG，易想，若OH为梯形中位线，则OHFG于H，如果证得EH=HD，则FE=DG便是显然的了证 过BC中点O，作OHDE于H因为BDAC于D，CEAB于E，所以BEC=BDC=90，所以B，E

4、，D，C四点共圆，所以线段ED为圆O的一条弦由垂径定理可知，EH=HD，所以FE=DG说明 在此，B，E，D，C四点共圆显然成为从EH=HD到FE=DG的转化条件例4 在梯形ABCD中，ABCD，ABCD，K，M分别是腰AD，CB上的点，DAM=CBK(图357)求证：DMA=CKB证 连KM，令DAM=1，CBK=2，AMB=3，AKB=4，ABF=5，DKC=6，CMD=7由于1=2，所以A，B，M，K四点共圆，所以5=AKM又因为ABCD，所以5=DCM，AKM=DCM，所以K，M，C，D四点共圆，所以6=7又因为3=4，CKB=180-4-6，DMA=180-3-7，所以CKB=DMA

5、例5 设O为圆的弦MN的中点，过O作弦AB，CD，连AD，BC交MN于F，E求证：EO=OF(图358) 分析欲证OE=OF，最一般的方法是以OE，OF为对应边构造两个三角形，然后证明这两个三角形全等为此，过A作AGMN交圆于G，连OG，EG，CG，以下证明OEGOFA即可证 因为AGMN，所以1=2=EOG又BCG+2=180，所以BCG+EOG=180，所以E，C，G，O四点共圆，所以3=C=4由于EOG=FOA，OG=OA，所以OEGOFA，所以 OE=OF说明 本例是著名的“蝴蝶定理”，下例是这个定理的一个推广例6 在过圆心的直线上取P，Q两点，使PO=OQ，过P作割线交圆于C，D，过

6、Q作割线交圆于A，B，连AD，BC，分别交PQ于F，E，则FO=OE(图359)证 作AGPQ交O于G，连OA，OG，PG，CG，EG因为OA=OG，所以1=2因为AGPQ，所以5=1=2=6又PO=OQ，所以POGQOA，PG=AQ，3=4=GAB又GCB=GAB=3，所以P，G，E，C四点共圆，所以PEG=PCG=GAD=AFQ这样，AQFGPE，所以PE=FQ已知PO=OQ，所以OE=OF四点共圆在几何证题中也往往成为证明诸圆共点(即几个圆通过同一点)的有力工具，下面再举两个例子例7 设四条直线相交于A，B，C，D，E，F六点，求证：BCE，DCF，ADE，ABF的外接圆共点(图360)

7、证 因为圆BEC和圆CDF已有一个交点C，必有另一交点O，且O与C不重合(否则圆EBC和圆CDF相切于C(O)，则AEAF，与假设矛盾)连OC，OD，OE，OF，则有A+DOE=A+EOC+COD=A+ABF+AFB=180，所以A，D，O，E四点共圆，圆AED过O点同理，圆ABF也过O点所以BCE，DCF，ADE，ABF的外接圆共点说明 证明诸圆共点，可先证其中两圆相交(或相切)于某一点，再证此点在其他圆上也可证诸圆通过某一特殊点例8 设I为ABC之内心，过B作圆切CI于I，过C作圆切BI于I求证：此二圆与圆ABC共点(图361)证 因为所作之二圆已有一个交点I，必有另一交点O，并且O与I不重合(否则BI，CI是过I之两圆公切线，则B，I，C必共线，此与I为ABC内心相矛盾)连BO，OC，OI，则CIO=IBO，BIO=ICO，=180所以A，B，O，C四点共圆，所以所证之三圆共点练习十五 1设梯形ABCD中，ABCD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，则C，D，E，F也必四点共圆2四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH求证：E，F，G，H四点共圆3如图362在平行四边形ABCD中，取一点P，使1=2，求证：3=4(提示：过D引