第2章汇交力系与力偶系(胡文绩)

1、 平面汇交力系和平面力偶系是平面力系中两种基本平面汇交力系和平面力偶系是平面力系中两种基本力系，它们的理论是研究复杂力系的基础。本章将研究力系，它们的理论是研究复杂力系的基础。本章将研究平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡问题平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡问题。 所谓平面汇交力系，是指各力作用线位于同一平面所谓平面汇交力系，是指各力作用线位于同一平面内且汇交于一点的力系。内且汇交于一点的力系。 本节将用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成本节将用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成和平衡问题。和平衡问题。 设有作用于刚体上、作用线汇交于一点设有作用于刚体上、作用线汇交于一点A的四个力的四

2、个力F1、 F2 、 F3 、 F4 ，如图，如图2-1a所示。所示。 由力的可传性和力的三角形法则合成一合力由力的可传性和力的三角形法则合成一合力FR，如图如图2-1b所示。所示。图图2-1c所示显示，所示显示，合力矢与各分力矢的作图顺序无关合力矢与各分力矢的作图顺序无关。 上述方法推广到由上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况，得结个力组成的平面汇交力系的情况，得结论如下：论如下：平面汇交力系合成的结果是一个合力平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线，合力的作用线通过各力作用线的汇交点，其大小和方向可由力矢多边形的封通过各力作用线的汇交点，其大小和方向可由力矢多边形的封闭边

3、来表示，即等于各力矢的矢量和闭边来表示，即等于各力矢的矢量和。矢量式为矢量式为 FR=F1 +F2 +-+Fn= F (2-1) 各力矢与合力矢构成的多边形称为各力矢与合力矢构成的多边形称为力矢多边形力矢多边形,表示合力矢表示合力矢的边称为力矢多边形的的边称为力矢多边形的封闭边封闭边，用力矢多边形求合力的几何作，用力矢多边形求合力的几何作图规则称为图规则称为力的多边形法则力的多边形法则，这种作图方法称为，这种作图方法称为几何法几何法。 所以，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：所以，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力系中各力矢构成的力矢多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零力矢构成

4、的力矢多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。有矢量式为有矢量式为0RF0F或或 根据封闭的力矢多边形的几何关系，用三角公式求解所需根据封闭的力矢多边形的几何关系，用三角公式求解所需量的方法，称为求解平面汇交力系平衡问题的量的方法，称为求解平面汇交力系平衡问题的几何法几何法。 解：解： 刚架受三力作用平衡。刚架受三力作用平衡。 受力图如图受力图如图2-2b所示。选取适当的比例尺，作出自行封所示。选取适当的比例尺，作出自行封 闭的力矢三角形，三角形的形状如图闭的力矢三角形，三角形的形状如图2-2c所示。所示。量得量得kN20BFkN27AF这种方法称为这种方法称为。 m69. 13344DB21

5、. 0869. 1sin再参考图再参考图2-2c，亦可由三角关系计算出，亦可由三角关系计算出12.12kN54.2088.77sin12.42sinFFBkN57.2688.77sin60sinFFA 解析法是建立在力在坐标轴上的投影的基础上，下面对这一解析法是建立在力在坐标轴上的投影的基础上，下面对这一概念加以分析。概念加以分析。1 1）力在直角坐标轴上的投影）力在直角坐标轴上的投影sincoscosFFFFFyx（2-3） 即即力在某轴的投影等于力的大小乘以力力在某轴的投影等于力的大小乘以力与坐标轴正向间夹角的余弦。与坐标轴正向间夹角的余弦。正负看夹角：当夹角是锐角时，力的投影为正；正负看

6、夹角：当夹角是锐角时，力的投影为正；当夹角是钝角时，为负。当夹角是钝角时，为负。 力的解析表达式力的解析表达式 jiFyxFF (2-4)其中其中i、j分别为分别为x、y轴的单位矢量。轴的单位矢量。 力力F的大小和方向余弦分别为的大小和方向余弦分别为 Fcos,cos,22yxyxFFFFFF (2-5)2 2）平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法 平面汇交力系合成的解析法是以下述合力投影定理为依据的。平面汇交力系合成的解析法是以下述合力投影定理为依据的。 设有设有n个力组成的个力组成的平面汇交力系汇交于平面汇交力系汇交于O点，在点，在O点建立平面直点建立平面直角坐标系角坐标系ox

7、y，如图，如图2-4a所示。所示。 由平面汇交力系由平面汇交力系合成的几何法，已得合成的几何法，已得出出 FFFFFnR21jijiyxRyRxFFFF由合力和力系中各力在由合力和力系中各力在x、y轴上的投影轴上的投影比较二式等式两边，可得比较二式等式两边，可得 ynyyyyRxnxxxxRFFFFFFFFFF1111 （2-6） RF合力合力 的大小和方向的大小和方向RyRRxR2y2x2yR2xRRFF,FFFFFFFcoscos（2-7） 由式（由式（2-6）得）得 解：解：建立直角建立直角坐标系坐标系Oxy，合力，合力在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影为为 上述投影定理不光对力矢适应，对

8、其它矢量也同样适应，那么相上述投影定理不光对力矢适应，对其它矢量也同样适应，那么相应的应的矢量投影定理矢量投影定理可表示为：可表示为： 。 例例2-2 刚体受汇交于一点刚体受汇交于一点O的四个力作用，各力大小分别为的四个力作用，各力大小分别为F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如图，方向如图2-5所示。试求所示。试求合力的大小和方向合力的大小和方向 。kN12. 145sin45sin60sin30sin kN29. 145cos45cos60cos30cos 4321R4321RFFFFFFFFFFFFyyxx合力的大小合力的大小方向余弦为方向余弦为71. 112

9、. 1cos,71. 129. 1cosRRRRFFFFyxkN71. 112. 129. 1 222R2RRkNFFFyx则合力与则合力与x、y轴的夹角轴的夹角分别为分别为0341.0849.合力作用线过汇交点合力作用线过汇交点O。3 3）平面汇交力系平衡的解析法平面汇交力系平衡的解析法 从前面知道，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的从前面知道，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力等于零。合力等于零。由式（由式（2-7），则有），则有02y2x2yR2xRRFFFFF亦即亦即 （2-8） 平面汇交力系平衡的平面汇交力系平衡的是：是：。式（。式（2-8）称为）称为。这是两个独

10、立的方程，可以求解两个未知量。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。00yxFF 例例2-3 将例将例2-1用解析法求解。用解析法求解。 解：解：建立直角坐标建立直角坐标Axy（图（图2-6），列出），列出平面汇交力系的平衡方平面汇交力系的平衡方程，有程，有 0 xF0cos30cosAFF0yF0sin30sinBAFFF， 其中其中 21. 0869. 1sin12.12算出算出kN54.20BFkN57.26AF 例例2-4 简易起重机吊起重量简易起重机吊起重量W= 20 kN的重物，如图的重物，如图2-7a所示。所示。重物通过卷扬机上绕过滑轮重物通过卷扬机上绕过滑轮B的钢索吊起，杆件

11、的的钢索吊起，杆件的A端铰接在固定端铰接在固定架上，架上，B端以钢索与固定架连接。端以钢索与固定架连接。A、C、D三处均为铰链约束。不三处均为铰链约束。不计杆件计杆件AB、CB和滑轮的重量及摩擦，不计滑轮尺寸。试计算钢索和滑轮的重量及摩擦，不计滑轮尺寸。试计算钢索BC和杆件和杆件AB所受的力。所受的力。 解：解：由于不计杆件的自重，由于不计杆件的自重，两根杆件都为二力杆，均沿杆受两根杆件都为二力杆，均沿杆受力。以滑轮力。以滑轮B为研究对象。其受到为研究对象。其受到的力方向假设如图的力方向假设如图2-7b。 根据平面汇交力系的平衡根据平面汇交力系的平衡方程方程 通过以上分析，可以把平面汇交力系平

12、衡问题的通过以上分析，可以把平面汇交力系平衡问题的归纳归纳如下：如下：（2.2 平面力对点之矩的概念与计算平面力对点之矩的概念与计算力对刚体的作用效应有两个：力对刚体的作用效应有两个：移动移动和和转动转动力对刚体的力对刚体的移动效应移动效应用用力矢力矢来度量；来度量；力对刚体的力对刚体的转动效应转动效应用用力矩力矩来度量。来度量。即即。1.力对点之矩力对点之矩 如图如图2-8，点，点O称为矩心，点称为矩心，点O到力的到力的作用线的垂直距离作用线的垂直距离h称为力臂。称为力臂。 平面问题中力对点之矩的定义如下：平面问题中力对点之矩的定义如下： 平面力对点之矩平面力对点之矩是一个是一个代数量代数量

13、，它，它的大小为力的大小与力臂的乘积，它的的大小为力的大小与力臂的乘积，它的正负可按如下方法确定：力使物体绕矩正负可按如下方法确定：力使物体绕矩心作逆时针转动时，矩为正；反之，为心作逆时针转动时，矩为正；反之，为负。负。力对点之矩的记号为力对点之矩的记号为 FOM计算公式是计算公式是 FhMOF（2-8） OABMO2F或或 （2-9） 力矩的单位常用力矩的单位常用Nm或或kNm讨论：讨论： 当力的作用线过矩心时，因力臂为零，则力矩为零；当力的作用线过矩心时，因力臂为零，则力矩为零；当力为零时，矩为零。当力为零时，矩为零。 2. 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理:平面汇交力系的合力对平

14、面内平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和。即即iOROMMFF（2-10） 证明：证明： 设作用于设作用于A点的力点的力F1和和F2的合力为的合力为FR(图图2-9) 由合力投影定理有 Od= Ob + Oc MO(F1) = 2AOB 面积= OAOb MO(F2) = 2AOC 面积= OAOc MO (FR)= 2AOD 面积= OAOd 由公式（由公式（2-9）可知）可知 则： MO (FR) = MO (F1) + MO (F2)证毕 例例2-5 作用于齿轮的啮合力作用于齿轮的啮合力Fn=1kN，节圆直径节圆直径D=1

15、60mm，压力压力角角 （图（图2-10a）。试求啮合力）。试求啮合力n对轮心对轮心O的矩。的矩。20 解：解： （1）应用力矩计算公式）应用力矩计算公式 力臂力臂 cos2Dd 则则 mN2 .75mN20cos216. 01000MnndFOF （2）应用合力矩定理）应用合力矩定理 将啮合力Fn分解为圆周力Ft合径向力Fr（图2-10b），有 mN27502cosnrtn.DFMMMOOOFFF 例例2-5 简支梁简支梁AB受按三角形分布的荷载作用，如图所示。荷载受按三角形分布的荷载作用，如图所示。荷载的最大值为的最大值为q，梁长为，梁长为l。试求合力及合力作用线的位置。试求合力及合力作用

16、线的位置。 解：解：A处选为坐标原点，距处选为坐标原点，距A端端x的微段的微段dx上，作用力的大小为上，作用力的大小为qdx，其中，其中，q为该处的荷载强为该处的荷载强度。由相似三角形的关系，度。由相似三角形的关系，qlxq 有有因此，合力因此，合力F 的大小为的大小为qlqdxlxdxqFll2100合力作用线的位置由合力矩定理得合力作用线的位置由合力矩定理得 202003lqdxxlqxqdxlxxdxqFhllllh32计算结果说明：合力大小等于三角形分布荷载的面积，合力作用线过三角形的几何中心。 1.力偶与力偶矩力偶与力偶矩 在生活和实践中，我们在生活和实践中，我们常见到一些物体同时受

17、到大常见到一些物体同时受到大小相等、方向相反、作用线小相等、方向相反、作用线不共线的一对力作用的情况。不共线的一对力作用的情况。例如，汽车司机用双手转动方向盘（图例如，汽车司机用双手转动方向盘（图2-12）、两根手指拧水龙头）、两根手指拧水龙头开关、两个工人开、合水闸门等等。开关、两个工人开、合水闸门等等。 力学中，力学中，把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为重合的两个平行力所组成的力系称为。记为。记为（F，F）。 两力作用线所确定的平面称为两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面。力偶的作用面。两力作用线建

18、垂直距离称为两力作用线建垂直距离称为 力偶是作用于刚体上的一对力。力偶是作用于刚体上的一对力。 力偶性质力偶性质如下：如下： 1）力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本的物理量）力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本的物理量。 2）力偶要产生转动效应。力偶的转动效应可用力偶矩来度量。）力偶要产生转动效应。力偶的转动效应可用力偶矩来度量。 力偶矩的大小为力偶矩的大小为力与力偶臂的乘积力与力偶臂的乘积 。 由图由图2-12可知，力偶的两力对平面可知，力偶的两力对平面内任意点内任意点O之矩的代数和就是力偶矩，之矩的代数和就是力偶矩，即即 FdxFxFMMMOOOd,FFFF 由此可见，力偶极的大小与

19、力及力偶由此可见，力偶极的大小与力及力偶臂的大小臂的大小有关有关，而与矩心的位置，而与矩心的位置无关无关。 大小大小为为,MFFFdM,MFF（2-11） 力偶矩符号为力偶矩符号为 结论结论：平面力偶矩是代数量，其绝对值等于力与力偶臂的乘平面力偶矩是代数量，其绝对值等于力与力偶臂的乘积积。 正负号表示力偶的转向，其规定与力矩相同：正负号表示力偶的转向，其规定与力矩相同：力偶使物体的力偶使物体的转向为逆时针时取正，反之取负转向为逆时针时取正，反之取负。力偶矩的单位是牛顿力偶矩的单位是牛顿米（米（Nm）。）。 由图由图2-12可见，力偶矩的大小也可用三角形面积的两倍来表示，可见，力偶矩的大小也可用

20、三角形面积的两倍来表示，即即ABCM 2（2-12） 2.同平面力偶的等效定理同平面力偶的等效定理 定理定理：同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两力偶彼此等同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两力偶彼此等效效。 两个推论：两个推论： （1）力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用；）力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用； （2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的作用力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的作用效应。效应。力偶的力偶的三种表

21、三种表示示 3.平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡作用面共面的力偶系称为作用面共面的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。 求求平面力偶系平面力偶系合成合成-合成就是求合成就是求合力偶矩合力偶矩 。设同平面内有两个力偶（设同平面内有两个力偶（F1、F1）、（）、（F2、F2），力偶臂），力偶臂分别为分别为d1、 d2，如图，如图2-14a所示。所示。 其力偶矩分别为其力偶矩分别为 111dFM 取任意线段取任意线段AB=d，如图如图2-14b所示，在保持各力偶矩不变所示，在保持各力偶矩不变的条件下，让的条件下，让 222dFM ddddFFFFFF2121ddFFddFFdd222111，

22、 合成为一个合成为一个合力偶（图合力偶（图2-14c）有有 可见，可见，F、F大小相等、方向相反，是原来两个力偶的等效力偶，大小相等、方向相反，是原来两个力偶的等效力偶，其力偶矩为其力偶矩为2122112121MMdFdFdFdFdFFFdMdd即：合成的结果是一个合力偶，合力偶矩为原来两个即：合成的结果是一个合力偶，合力偶矩为原来两个力偶矩的代数和。力偶矩的代数和。推广到推广到n个力偶组成的平面力偶系，有个力偶组成的平面力偶系，有 inMMMMM21（2-13） 即：即：平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和

23、中各力偶矩的代数和。 求求平面力偶系平面力偶系的平衡的平衡 平面力偶系平衡的必要充分条件是：平面力偶系平衡的必要充分条件是：力偶系中各力力偶系中各力偶矩的代数和等于零偶矩的代数和等于零。 即即 021 inMMMMM（2-14） 上式称为平面力偶系的上式称为平面力偶系的平衡方程平衡方程，利用它可以求解一个，利用它可以求解一个未知量。未知量。 例例2-6 已知两个同平面的已知两个同平面的力偶作用如图力偶作用如图2-15所示，求力所示，求力偶的合效偶的合效应。应。 解：解： 力偶的合力为零，合效力偶的合力为零，合效应即为转动效应，其力偶矩为应即为转动效应，其力偶矩为 mkN655 . 130210

24、M方向为逆时针。方向为逆时针。 例例2-7 在简支梁在简支梁AB上作用一力偶矩的大小为上作用一力偶矩的大小为M的力偶的力偶,如如图图2-16a所示。梁长所示。梁长l，不计梁自重。求支座，不计梁自重。求支座A、B处约束力处约束力。 解解: 取取AB梁为研究对象。作用于梁上的力只有矩为梁为研究对象。作用于梁上的力只有矩为M的的力偶和支座力偶和支座A、B处约束力。处约束力。 根据力偶只能与力偶平衡的性质，故根据力偶只能与力偶平衡的性质，故A、B处约束力均为处约束力均为竖直，而指向相反，假设如图竖直，而指向相反，假设如图2-16b 所示。所示。由平面力偶系的平衡方程由平面力偶系的平衡方程 lMFFML

25、FMBAA解得, 0,0方向与假设相同。方向与假设相同。 例例2-8 如图如图a所示结构中各构件自重忽略不计，在构件所示结构中各构件自重忽略不计，在构件AB上上作用一力偶，其力偶矩为作用一力偶，其力偶矩为 500kNm，求，求A、C两点的约束力。两点的约束力。 解：解：构件构件BC只在只在B、C两点受力，处于平衡状态，因此两点受力，处于平衡状态，因此BC是是二力杆，其受力如图二力杆，其受力如图b。 AB构件在铰链构件在铰链A、B处的一对作用力处的一对作用力FA、构成一力偶与、构成一力偶与M平平衡（图衡（图c）。）。 由平面力偶系的平衡方程由平面力偶系的平衡方程 0M0MdFAN 40.4714

26、25 . 01500222BAFF得得 二力为正值，其实际受力方向与如图二力为正值，其实际受力方向与如图c所示所示 一致。一致。根据作用力与反作用力的关系，可知根据作用力与反作用力的关系，可知 ，方向如图方向如图b所示。所示。 NFFBC40.426 1. 已知物体受平面汇交力系作用，其力矢多边形如图已知物体受平面汇交力系作用，其力矢多边形如图a、b所示，所示，试说明各力的关系。试说明各力的关系。思思 考考 题题 2. 司机操作方向盘驾驶汽车时，可用双手对方向盘施司机操作方向盘驾驶汽车时，可用双手对方向盘施加一力偶，也可以单手对方向盘施加一个力。这两种方式加一力偶，也可以单手对方向盘施加一个力。这两种方式能否得到同样的效果？若能得到同样的效果，这能否说明能否得到