第2讲最小二乘配置

1、第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 1 1、IntroductionIntroduction（the questionthe question）2 2、Filtering and PredictionFiltering and Prediction3 3、Least Squares CollocationLeast Squares Collocation4 4、Some ApplicationsSome Applications 一、概述一、概述1 1、问题的提出问题的提出BYAXLXX系统性参数（非随机参数）系统性参数（非随机参数）YY随机参数随机参数函数

2、模型函数模型随机模型随机模型)(, 0)(TEE0)(YE)(TYYYE如何求解如何求解X X、Y Y的估值的估值第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 一、概述一、概述BYAXL设设函数模型函数模型SSY0IB SSSSSSYSS已测点信号（显信号），能直接与观测值建立函数模型的信号已测点信号（显信号），能直接与观测值建立函数模型的信号SS未测点信号（隐信号），不能直接与观测值建立函数模型的信未测点信号（隐信号），不能直接与观测值建立函数模型的信号号已知已知YL,，求，求SSX,，为最小二乘配置，为最小二乘配置第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Co

3、llocation） 一、概述一、概述BYAXL如果如果B B0 0，函数模型函数模型2 2、分析分析 AXL，经典参数平差模型，经典参数平差模型如果如果A A0 0， BYL，滤波与推估模型，滤波与推估模型如果如果A A！0 0，B B！0 0，最小二乘配置模型最小二乘配置模型第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估1 1、数学模型数学模型 BYL)(, 0)(TEE0IB SSSSSSY观测值的权观测值的权TYLBB第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 二、最小二乘滤波与推估二、最

4、小二乘滤波与推估2 2、一般概念一般概念关于滤波：关于滤波： 本来含义：从接受的电磁波信号中，排除各种干扰本来含义：从接受的电磁波信号中，排除各种干扰 测量平差：利用含有误差（噪声）的观测值，求定测量平差：利用含有误差（噪声）的观测值，求定 参数最佳估值参数最佳估值第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估2 2、一般概念一般概念与经典与经典LSLS区别：区别： 经典经典LSLS：参数看作非随机量，或不考虑其随机性质，按参数看作非随机量，或不考虑其随机性质，按 照经典或相关最小二乘原理求最佳估值照经典或相关最小二乘原理求

5、最佳估值 滤滤 波：把全部参数作为正态随机变量，按照极大验后波：把全部参数作为正态随机变量，按照极大验后 估计、最小方差估计、广义最小二乘原理，求估计、最小方差估计、广义最小二乘原理，求 定参数最佳估值，滤波顾及了参数的先验统计定参数最佳估值，滤波顾及了参数的先验统计 性质，精度较经典性质，精度较经典LSLS估计更高估计更高第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估2 2、一般概念一般概念配置中参数类型：配置中参数类型： 第一类第一类：非随机或者先验性质未知的，或已知而不考虑非随机或者先验性质未知的，或已知而不考虑 其随

6、机性质的，称为其随机性质的，称为参数（倾向参数）参数（倾向参数） 第二类：已知其先验统计性质，且求其估值时需要顾及第二类：已知其先验统计性质，且求其估值时需要顾及 的，称之为的，称之为信号。信号。信号又分为信号又分为滤波信号滤波信号和和推估推估 信号。信号。推估又可分为两种：推估又可分为两种：内插（平滑）内插（平滑）和和外外 推（预报）推（预报）第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation）BYAXL 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估3 3、估值公式估值公式 BYLSSSSSSY方法方法1 1：参数平差法：参数平差法TYLBB方法方法1 1：条件平差法：条件

7、平差法第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation）SSSSSSY方法方法1 1：参数平差法：参数平差法TYLBB极值函数：极值函数：YPYVPVYTT022YTTPYBPVdYd0YPVPBYT0)(LPBYPYBPBTYTLYBV函数模型代入函数模型代入LPBPBPBYTYT1)(解解SSSSSSY方法方法2 2：条件平差法：条件平差法TYLBB极值函数：极值函数：函数模型代入，解函数模型代入，解0VLYB)(2VLYBKYPYVPVTYTTKPVKPVdVdTT1022KBPYBKPYdYdTYTYT1022LBBPPPVLBBPPBPYTYTYTY1111111

8、1)()(方法方法2 2：条件平差法：条件平差法解的形式为解的形式为解解LBBPPPVLBBPPBPYTYTYTY11111111)()(11PPYYLBLBBBYLTYTYTY11)(LLBBVLTY1111)(方法方法3 3：可由全部参数加权平差直接写出滤波推估解：可由全部参数加权平差直接写出滤波推估解 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估4 4、滤波和推估分解式滤波和推估分解式SSSSSSY原始解：原始解：LBLBBBYLTYTYTY11)(SSY0IB LLLISSLSSLSLSSSSSS1110分解：分解：LSLS1滤波解滤波解推估解推估解LSLSS1第二讲第二讲 最小二乘配

9、置最小二乘配置（LS Collocation） 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估特例：纯内插或推估模型特例：纯内插或推估模型在模型在模型视观测值无误差：视观测值无误差：其解为其解为11)()(1mgmgmmmYBLSBYL0LS SSSSS1第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 二、最小二乘滤波与推估二、最小二乘滤波与推估4.4.精度估计（自学）精度估计（自学）5.5.重力异常推估重力异常推估第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 三、最小二乘配置三、最小二乘配置实际问题（重力测量）实际问题（重力测量）地面点的重力异

10、常既包含随机部分，也包含系统部分地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分（1 1）系统部分可看作（）系统部分可看作（x x，y y）的函数的函数AXyyaxxaaTiii)()(020100002020101111yyxxyyxxyyxxAnn210aaaX系统参数，倾向参数系统参数，倾向参数第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 三、最小二乘配置三、最小二乘配置实际问题（重力测量）实际问题（重力测量）地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分（2 2）随机部分可看作）随机部分可看作S S，如果有如果有n

11、n个重力异常观测值个重力异常观测值L L，于是于是SAXLg设未测点的随机部分（信号）设未测点的随机部分（信号）SS，根据经验协方差函数，可求根据经验协方差函数，可求得得未测点的信号未测点的信号SS，以及重力异常以及重力异常SXAgPpBYAXL第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 三、最小二乘配置三、最小二乘配置1. 1.数学模型数学模型函数模型函数模型BYAXL0 IB SSY随机模型随机模型)(, 0)(TEE0)(YE)(TYYYETYLBB第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 三、最小二乘配置三、最小二乘配置2.2.

12、估值公式估值公式极值函数极值函数解法解法1 1：参数平差法：参数平差法LYBXAVYPYVPVYTT002VPAAPVXTT0022YPVPBPYBPVYYTYTT0LPBLPAYXPBPBAPBBPAAPATTYTTTT误差方程式回代误差方程式回代 三、最小二乘配置三、最小二乘配置2.2.估值公式估值公式极值函数极值函数解法解法2 2：条件平差法：条件平差法LYBXAV解得解得)(2VLYBXAKYPYVPVTYTTKPVKPVVTT1022KBPYBKPYYTYTYT102202AKXTLPAAPAXLTLT1)()(1XALPBPYLTY)(1XALPPVL分解得分解得)(1XALSLS

13、)(1XALSLSS 四、应用四、应用1. 1.估计系统误差估计系统误差2.2.确定未测点的重力异常确定未测点的重力异常3.3.确定局部大地水准面确定局部大地水准面( (类似于重力异常类似于重力异常) )4.4.GPSGPS水准水准问题问题：确定大地高和正常高的差值，即高程异常。：确定大地高和正常高的差值，即高程异常。通常采用拟和法，如平面拟和，二次曲面拟和，三次通常采用拟和法，如平面拟和，二次曲面拟和，三次样条拟和，得到一个趋势面，没有顾及高程异常的随样条拟和，得到一个趋势面，没有顾及高程异常的随机特性机特性第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 四、应用四、

14、应用4.4.GPSGPS水准水准既考虑其系统性。又顾及高程异常的随机特性，采既考虑其系统性。又顾及高程异常的随机特性，采用最小二乘配置方法用最小二乘配置方法XX系统参数，系统参数，YY信号，包括已测点和未测点信号，包括已测点和未测点顾及点间高差对高程异常的影响，协方差函数为顾及点间高差对高程异常的影响，协方差函数为BYAXL)(),(2021hkebhdfdk第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 四、应用四、应用5.5.地壳形变应用（地壳形变应用（Crustal DeformationCrustal Deformation）（1 1）利用已测点的形变信号，推求

15、我们关心的未测点信号）利用已测点的形变信号，推求我们关心的未测点信号XX系统参数（对应地球物理模型参数，反映长期变化，系统参数（对应地球物理模型参数，反映长期变化，是趋势或倾向，可以验证模型参数）是趋势或倾向，可以验证模型参数）YY信号，包括已测点和未测点，代表现时的变化信号，包括已测点和未测点，代表现时的变化BYAXL第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 四、应用四、应用5.5.地壳形变应用（地壳形变应用（Crustal DeformationCrustal Deformation）（2 2）如果把形变整体看成是随机量，即是滤波推估模型）如果把形变整体看成是

16、随机量，即是滤波推估模型协方差函数确定：严密的应变分布协方差函数无法确定，解决的办法是确协方差函数确定：严密的应变分布协方差函数无法确定，解决的办法是确 定经验协方差函数。给出已算点的协方差分布图形，然定经验协方差函数。给出已算点的协方差分布图形，然 后选择适当的函数式，用最小二乘拟和后选择适当的函数式，用最小二乘拟和YLLSLS1LSLSS1第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 四、应用四、应用5.5.地壳形变应用（地壳形变应用（Crustal DeformationCrustal Deformation）一般采用高斯型函数，即在一定距离上相关，超出一定一般

17、采用高斯型函数，即在一定距离上相关，超出一定距离不相关距离不相关)exp()(22SKsf最新的研究成果最新的研究成果K K取取0.00160.0016第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation） 四、应用四、应用6.6.GPSGPS基线网平差模型基线网平差模型不考虑速度参数，不考虑速度参数，GPSGPS基线向量平差模型基线向量平差模型一般形式一般形式第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation）ijjiijLdXdXvLAXV 设其中有设其中有n1n1个基准点，它们可能是个基准点，它们可能是IGSIGS跟踪站，也可能是网络工程跟踪站，也可能是

18、网络工程连续跟踪站，这些点由于常年连续观测其相对准确的地心坐标、速连续跟踪站，这些点由于常年连续观测其相对准确的地心坐标、速度场以及相应的坐标精度和速度场精度先验信息是已知的。因此可度场以及相应的坐标精度和速度场精度先验信息是已知的。因此可将将n1n1个基准点坐标作为随机参数处理，剩余的个基准点坐标作为随机参数处理，剩余的n2n2个待估参数作为非个待估参数作为非随机参数，按最小二乘配置原理进行参数估计。随机参数，按最小二乘配置原理进行参数估计。 四、应用四、应用6.6.GPSGPS基线网平差模型基线网平差模型模型模型第二讲第二讲 最小二乘配置最小二乘配置（LS Collocation）1122

19、110nnnnLLXXIAAVV),(111nnnXL极值函数极值函数min111nnTnTVPVPVV亦可以部分参数加权平差求解，但注意概念上的区别亦可以部分参数加权平差求解，但注意概念上的区别第一讲第一讲 概概 述（述（Introduction） 二、在经典平差中我们学过了什么二、在经典平差中我们学过了什么 ？ General Functional Model General Functional Model CWXCfXABV0)(0),(00 xXxXLf General Stochastic Model General Stochastic Model12020 0)(PQE第一讲第一讲 概概 述（述（Introduction） 再扩展再扩展 CWXC