特殊平行四边形(一)——矩形案例及反思

1、课 题321 特殊平行四边形(一)矩形兰州市第三十四中学 李霞一、教学目标 (一)知识与技能 1能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及其推论 2能运用矩形的性质进行简单的证明与计算，解决相关实际问题 (二)过程与方法 1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力 2进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用 3体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法 (三)情感与价值观要求1.通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系2通过对定理的自主探究、验证，让学生获得亲自参与研究、探索的情感体验，增强学习数学的热情，感受证明的严

2、谨性.教学重点 矩形的性质的证明教学难点 矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系教学方法启发引导归纳式教学法教学用具活动的平行四边形二、教学过程（一）知识重现，导入新课.1.我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性.大家看：（师演示平行四边形的学具）当老师改变平行四边形的形状，（1）在变化过程中，这个四边形还是平行四边形吗？为什么？（是，两组对边分别相等的四边形式平行四边形）在这个过程中有哪些量发生了变化，哪些量没变？（2）当这个平行四边形有一个内角是直角时，平行四边形变成了我们非常熟悉的什么四边形？ 用一句话概括出矩形与平行四边形之间的关系_怎样的四边形是矩形？矩形的定义:

3、有一个角是直角的平行四边形2.矩形既然是特殊的平行四边形，它就具有平行四边形的性质,同时又具有自己的特性。今天我们先来研究矩形的特殊性质（板书课题）（二）推进新课.活动一： 探索定理1. 性质定理1：矩形的四个角都是直角. 几何语言：矩形ABCD， A=BC=D90（师生共析，学生总结给出证明过程）已知：四边形ABCD是矩形求证：ABCD90证明：四边形ABCD是矩形，不妨设A90矩形ABCD是平行四边形A=C90又AB/CD A+D180DB90ABCD902. 性质定理2：矩形的对角线相等.几何语言：四边形ABCD是矩形， ACDB（师生共析，学生写出完整的证明过程）已知：矩形ABCD，求

4、证：ACDB 证明：在矩形ABCD中， ABCDCB90，(矩形的四个角都是直角) ABDC，(平行四边形的对边相等) BCCB， ABCDCB AC=DB3、判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形. 对于定理3，利用“同旁内角互补，两直线平行”证明平行四边形是比较简单的方法，如果学生采取其他方法，也应当鼓励。4、 判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.对于定理4，学生采取的方法大多利用全等三角形证明平行四边形某两个邻角相等，又互补从而推出直角，这里也要注意鼓励学生采取不同的方法证明。在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。活动二：定理

5、的应用与拓展1.如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E. 那么BE是RtABC中一条怎样的特殊线段？ BE与AC有什么大小关系？为什么？由此发现：直角三角形斜边上的中线与斜边存在怎样的关系？2.小组交流探究.证明新发现：直角三角形斜边上的中线等于_. 几何语言： BE是RtABC的AC上的中线，BEAC这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论那你能用推理的方法来证明它吗? 生能 如图，已知BE是RtABC的斜边AC上的中线求证：BE AC 分析：要证明这个结论，可构造辅助图形矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形再利

6、用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论证明：过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD(如图) 则DAEBCE BE是RtABC的斜边AC上的中线， AEEC 又AEDCEB， AEDCEB ADBC AD/BCABC90， 四边形ABCD是矩形 AC=BD，BEEDBD BEAC师我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的那么我们以后就可直接应用了（拓展运用）试写出上述命题的逆命题，并加以证明.活动三：巩固与提高师下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质 例1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知AOD120，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.分析：矩形的对角

7、线有哪些性质？由矩形的对角线的性质可知：矩形的两条对角线把矩形分得的四个小三角形都是等腰三角形，在解决矩形的问题中常常会用到等腰三角形的性质.思路1. 由AOD120可知AOB是多少度？ABO是什么三角形？根据该三角形的性质，你知道AC的长是多少吗？为什么？思路2. 由AOD120可知ADO是多少度？在RtABD中,BD的长时多少？为什么？例2（备选）.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB2，BC1，求AG 分析：折叠性问题主要是要明确折叠后的对称关系，从中找出相等的条件才能把未知逐渐转化为已知本题由题意可知GEAG，DEAD=1因为折

8、叠后出现了直角，所以利用勾股定理即可求出AG 解：由题意知GEAG，DEAD1， AB2，BC1， BD= BE= -1 设AG为x，则GB2-x 在RtGEB中，GB2BE2+GE2， (2-x)2=(-1)2+x2 解得x 因而AG的长为（三）课堂小结本节课我们证明了那些定理？ 对边平行且相等 1矩形 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 一个角是直角的平行四边形 3有三个角是直角的四边形 是矩形 对角线相等的平行四边形（四）课后作业 课本P97,习题3.4第1、3题（五）板书设计321 特殊平行四边形(一)矩形一、定义 有一个角是直角的平行四边形是

9、矩形二、性质与判定性质定理1：矩形的四个角都是直角性质定理2：矩形的对角线相等 板演区判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形. 判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（六）教学反思1、教材与学情分析：矩形是九年级北师大版数学第三章第二节第一课时的内容。学生在初二平行四边形一章中，已经学习了三种特殊平行四边形矩形、菱形和正方形，对三种图形的性质和判定已经非常熟悉并能运用这些知识解答简单的几何问题；同时，通过证明（一）和证明（二）两章的学习，学生也已经有了一定的推理论证能力，并且在前一节的学习中，进行了对平行四边形性质和判定的证明，学生具备了独立证明

10、特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。本节课在此基础上进一步加深，要求学生学习推理证明，进一步培养学生的逻辑推理能力。2、教学过程分析（1）新课导入一堂课中，良好的开端也是成功的一半。导入精巧，对教与学的有效性可谓是举足轻重。本课利用平行四边形的移动，得到矩形，继而即转入新课，问题意识浓、趣味性高，又具有鲜明的操作性，教师与学生似乎在“玩玩”中步入了新课题的探究领地。在展示平行四边形不稳定性，提问“变中不变因素”时，学生脱口

11、而出边长、周长、面积等量。这时，教师都不作评论，而学生在讨论中，一会儿即予以澄清，明确了平行四边形在不稳定变化时，面积是随之变化的。让学生自己思考问题，既是还学生学习的主动权、主体性，又活跃了课堂气氛。同时此项设计对于不同层次的学生，在课堂上的要求有所不同，使每个学生都有所得，使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，（2）新课推进本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注

12、学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力上通过简单操作和简单推理发展学生的推理论证能力；并培养学生数学的转化思想和“发现试验归纳猜想证明”的数学发展观。本课以三个探究活动为主线，或操作体验或类比研究，以教师为主导，学生为主体。通过合作探究，增强了学生的合作意识和团结协作精神。通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。从本节课的准备上，我突出了这几个方面的尝试：一是直观、形象化的导入；二是注重课堂上学生的主体地位，以教导学，以学促教；三是探索和尝试“启发引导归纳式”的教学方法，培养学生 “发现试验归纳猜想证明” 数学的转化思想。四是注重数学思想、过程和方法及情感态度价值观得贯穿，把数学课堂教学的目标努力放在“培养学生的数学素养和能力”上来。3.应当注意的问题（1）几何教学有时对学生想象能力要求比较高，