2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文）及答案解析

1、.2020年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学文史类 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页时量120分钟，总分值150分参考公式1柱体体积公式，其中为底面面积，为高 2球的体积公式，其中为球的半径一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1设全集那么 A B 答案：B解析：画出韦恩图，可知。假设为虚数单位，且，那么答案：C332正视图侧视图俯视图图1解析：因，根据复数相等的条件可知。的A充分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件答案：A解析：因，反之，不一定有。设图是某几何体的三视图，那么该几何体的

2、体积为A答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。5通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由附表：0050001000013841663510828参照附表，得到的正确结论是 A 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关B 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关C 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关D 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关答案：A解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.6设双曲线的渐近

3、线方程为那么的值为 A4 B3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。7曲线在点处的切线的斜率为 A B C D答案：B解析：，所以。8函数假设有那么的取值范围为A B C D答案：B解析：由题可知，假设有那么，即，解得。二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上一选做题请考生在第9，10两题中任选一题作答，假如全做，那么按前一题记分9在直角坐标系中，曲线的参数方程为在极坐标系与直角坐标系取一样的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴中，曲线的方程为那么与的交点个数为 答案：2解析：曲线，曲线，联立方程消

4、得，易得，故有2个交点。10某试验范围为10，90，假设用分数法进展4次优选试验，那么第二次试点可以是 开始输入开始开始否是结束输出开始图2答案：40或60只填一个也正确解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。二必做题11-16题11假设执行如图2所示的框图，输入那么输出的数等于 答案：解析：由框图功能可知，输出的数等于。12为奇函数， 答案：6解析：，又为奇函数，所以。13设向量满足且的方向相反，那么的坐标为 答案：解析：由题，所以14设在约束条件下，目的函数的最大值为4，那么的值为 答案：3解析：画出可行域，可知在点取最大值

5、为4，解得。15圆直线1圆的圆心到直线的间隔 为 2 圆上任意一点到直线的间隔 小于2的概率为 答案：5，解析：1由点到直线的间隔 公式可得；2由1可知圆心到直线的间隔 为5，要使圆上点到直线的间隔 小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的间隔 为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.16、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，1设，那么其中一个函数在处的函数值为 ；2设，且当时，那么不同的函数的个数为 。答案：1，216解析：1由题可知，而时，那么，故只须，故。2由题可知，那么，而时，即，即，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文

6、字说明、证明过程或演算步骤17本小题总分值12分在中，角所对的边分别为且满足I求角的大小；II求的最大值，并求获得最大值时角的大小解析：I由正弦定理得因为所以II由I知于是 取最大值2综上所述，的最大值为2，此时18此题总分值12分某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y单位：万千瓦时与该河上游在六月份的降雨量X单位：毫米有关据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160I完成如下的频率分布表： 近20年

7、六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率II假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律一样，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率解：I在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率II故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为19此题总分值12分如图3，在圆锥中，的直径的中点I证明：II求直线和平面所成角的正弦值解析：I因为又内的两条相交直线，所

8、以II由I知，又所以平面在平面中，过作那么连结，那么是上的射影，所以是直线和平面所成的角在在20此题总分值13分某企业在第1年初购置一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开场，每年初M的价值为上年初的75%I求第n年初M的价值的表达式；II设假设大于80万元，那么M继续使用，否那么须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新解析：I当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式为II设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得

9、当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新21平面内一动点到点F1，0的间隔 与点到轴的间隔 的等等于1I求动点的轨迹的方程；II过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：I设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为II由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，那么的方程为由，得设那么是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设那么同理可得故当且仅当即时，取最小值1622本小题13分设函数I讨论的单调性；II假设有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由解析：I