考研微分方程知识归纳

1、微分方程部分重点内容1、变量可分离的微分方程 （1）形式 或 （2）通解 或2、齐次方程（1）形式 或 （2）通解 （令，则，）或 （令，则，）3、一阶线性微分方程（1）形式 （2）通解4、可降阶的高阶微分方程 （1），其中为已知函数 积分次可得其通解（2）（不显含）令，则。于是，原方程可化为（一阶）设的通解为，即 （一阶）由可得通解 （3）（不显含）令，则。于是，原方程可化为（一阶）设的通解为，即 （一阶）由可得通解 5、二阶线性微分方程（1）形式 非齐次 （1） 齐次 （2）（2）解的结构 定理1 若为（2）的两个解，则为（2）的解。 定理2 若为（2）的两个线性无关的解，则为（2）的通解

2、。 线性无关常数。 定理3 若为（1）的两个解，则为（2）的解。 定理4 若为（2）的解，为（1）的解，则为（1）的解。 定理5 若为（2）的通解，为（1）的一个特解解，则（1）通解为6、二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程（为常数）的通解：特征方程的判别式（，有两相异实根）（，有两相等实根）（，有一对共轭复根） 二阶常系数非齐次线性微分方程（为常数，为已知函数，称为自由项）特解的表示： （1）若（其中为次多项式），则可设特解其中为（系数待定的）次多项式，注意 当即时，也要考虑其是否为特征根！ （2）若或，则可设特解其中为（待定）常数， （3）若，且为的特解，为的特解，则为的特解

3、（特解的可叠加性）。7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 （1）三阶 特征方程 三个相异实根时的通解 两个为二重实根，另一个为单实根时通解三个为三重实根时的通解 一个为单实根，另两个为共轭复根时的通解 （2）四阶 特征方程四个相异实根时的通解两个为二重实根，另两个也为二重实根时的通解 三个为三重实根，另一个为单实根时通解 四个为四重实根时通解 两个为二重实根，另两个为相异实根时的通解 两个为二重实根，另两个为共轭复根时的通解 两个为相异实根，另两个为共轭复根时的通解例题选讲例1 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 。（2007数学二） 解 特征方程 特征根 余函数 设特解 ，代入非齐次方

4、程可得 得通解 例2 求微分方程满足初始条件的特解。（2007数学二）解 （可降阶，不显含）令，则。于是，原方程可化为变形为 （将作为的函数，这点很关键！）则 即 由，得，则有，又由知，应取 解得 由，得故方程满足初始条件的特解为例3 在下列微分方程中，以为通解的微分方程是（ ）A、 B、C、 D、（2008数学二）解 特征根为特征方程为，故应选D。例4 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且。对任意，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式。（2008数学二）解 由题设，有（旋转体侧面面积公式，要记住！）即方程两

5、边对求导，得 解得 ，由，得。所以，或。例5设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及所围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。（2009数学二）解 将微分方程变形为（不显含）（1）注意到方程（1）为关于及的一阶线性微分方程，则于是，有由过原点，得，则。 又由，得，从而所求函数为于是 。注意 1 用公式要简便得多！（）注意 2 可降阶的高阶微分方程07年也考到，07、09都为（不显含）型。例6 三阶常系数齐次线性微分方程的通解为 。（2010数学二）解 特征方程为因式分解得 特征根为通解为注意 与08年类似。例7 设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，且。已知，求函数。（

6、2010数学二）解 又，则变形为（这是关于及的一阶线性微分方程）则 由，得，则 于是 由，得，所以有注意 1 一阶线性微分方程是考试重点注意 2 由参数方程所确定的函数的导数也是考试的重点其中公式可与曲率公式联系起来记。例8 微分方程的特解的形式为（ ）A、 B、C、 D、 （2011数学二） 解 特征方程为 特征为（单根） 的特解可设为，的特解可设为于是，应选C。 注意 特解的可叠加性 例9 微分方程满足条件的解 。（2011数学二）解 由，得，则满足条件的解注意1 应检验是否为的解注意2 进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点例10 设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点外切线的倾角，若，求的表达式。（2011数学二）解 由，有，从而又由，得即（不显含）令，则，从而