第五章拉伸、剪切与挤压的强度计算

1、v材料力学的研究模型材料力学的研究模型材料力学研究的物体均为材料力学研究的物体均为变形固体变形固体，简称，简称“构件构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、杆、板、壳壳和和块块。杆杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其何形状可用其轴线轴线（截面形心的连线）和垂直于轴（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（线的几何图形（横截面横截面）表示。轴线是直线的杆，）表示。轴线是直线的杆，称为称为直杆直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面各横截面相同的直杆，称为等直杆相

2、同的直杆，称为等直杆。材料力学的主要研究对象就是材料力学的主要研究对象就是等直杆等直杆。第二篇第二篇 材料力学材料力学变形变形构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象变形固体的变形通常可分为两种：变形固体的变形通常可分为两种：（1）弹性变形）弹性变形-载荷解除后变形随之消失的变形载荷解除后变形随之消失的变形材料力学研究的主要是材料力学研究的主要是弹性变形弹性变形，并且只限于，并且只限于弹性小变形弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形即变形量远远小于其自身尺寸的变形（2）塑性变形）塑性变形-载荷解除后变形不能消失的变形载荷解除后变形不能消失的

3、变形v变形固体的基本假设变形固体的基本假设（1）均匀连续性假设均匀连续性假设假设材料无间隙、均匀地充满物体空间，各部分的性质相同。假设材料无间隙、均匀地充满物体空间，各部分的性质相同。（2）各向同性假设各向同性假设假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。（3）小变形假设小变形假设 设定材料在外力作用下的变形与其本身尺寸相比极小，可设定材料在外力作用下的变形与其本身尺寸相比极小，可略去不计略去不计第五章第五章 拉伸（压缩）、剪切与挤压的强度计算拉伸（压缩）、剪切与挤压的强度计算强度强度-构件抵抗破坏的能力构件抵抗破坏的能力刚度刚度-构件抵抗变形的能力构件抵抗变

4、形的能力稳定性稳定性-构件保持原有平衡状态的能力构件保持原有平衡状态的能力v材料的力学性能材料的力学性能 是指材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质。是指材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质。v构件的承载能力：构件的承载能力：v内力的概念内力的概念 构件在受外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质构件在受外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起的点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起的构件内部相互作用力的构件内部相互作用力的改变量改变量，称为附加内力，简称，称为附加内力，简称内力内力。正应力、切应力v应

5、力的概念应力的概念FAPm=正应力正应力（垂直于截面的应力）（垂直于截面的应力）切应力切应力（相切于截面的应力）相切于截面的应力） 应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡)常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2A截面面积平均应力平均应力Pm，如图所示，如图所示单位面积上内力的大小，称单位面积上内力的大小，称为应力为应力单位面积上单位面积上轴力轴力的大小，称为的大小，称为正应力正应力单位面积上单位面积上剪力剪力的大小，称为的大小，称为切应力切应力第一节第一节 轴向拉伸与压缩的概念、截面法、轴向拉伸与压缩的概念、截面法、 轴力与轴力图轴力与轴力图FFFF拉压杆受力特点

6、：拉压杆受力特点： 外力(或外力的合力)沿杆件的轴线作用，且作用线与轴线重合。 变形特点变形特点 ：杆沿轴线方向伸长(或缩短)，沿横向缩短(或伸长)。 发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉拉(压压)杆杆。 一、一、内力与用截面法求内力内力与用截面法求内力v轴力轴力: : 外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。 拉(压)杆的内力。FFmmFFNFFN由平衡方程可求出轴力的大小 ：FFN规定规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)。 内力内力：v轴力图： 以上求内力的方法称为截面法截面法，截面法是求内力最基本

7、的方法。用平行于杆轴线的用平行于杆轴线的x x坐标表坐标表示横截面位置，用垂直于示横截面位置，用垂直于x x的坐标的坐标F FN N 表示横截面轴力的表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴大小，按选定的比例，把轴力表示在力表示在x x - -F FN N 坐标系中，坐标系中，描出的描出的轴力随截面位置变化轴力随截面位置变化的曲线，的曲线，称为称为轴力图轴力图。FFmmxFN注意注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。例例1 1 已知已知F F1 1=20KN=20KN，F F2 2=8KN=8KN，F F3 3=10KN=10KN，试用截面法求图示杆件，试用截面法求图示杆件指定截面指定截面1

8、 11 1、2 22 2、3 33 3的轴力的轴力, ,并画出轴力图。并画出轴力图。 F2F1F3ABCD112332解解: :外力外力FR，F1，F2， F3将将杆件分为杆件分为AB、BC和和CD三三段，取每段左边为研究对段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：象，求得各段轴力为：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8 8KNFN2=F2 - F1 = -12KNFN3=F2 + F3 - F1 = -2KN 轴力图如图轴力图如图: : xFNCDBA8KN-12KN-2KNv例例2 2 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。画杆件轴力图。解：1

9、)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图所示Fx=0 FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN（负号表示所画（负号表示所画F FN2N2方向与实际相反）方向与实际相反）3)右图为AB杆的轴力图 内力在截面上的集度称为应力应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力正应力，平行于横截面的称为切应力切应力)。应力是判断杆件是否破坏的应力是判断杆件是否破坏的依据。依据。 单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕，1 1N Nm m2 21 1PaP

10、a。 1kPa103Pa，1MPa106Pa 1GPa109Pa第二节第二节 拉压杆横截面上的应力、拉压杆横截面上的应力、应变及胡克定理应变及胡克定理一、杆件在一般情况下应力的概念一、杆件在一般情况下应力的概念二、拉二、拉( (压压) )杆横截面上的正应力杆横截面上的正应力 根据杆件变形的平面假设平面假设和材料均匀连续性假设材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力计算公式为： AFN=MPaF FN N 表示横截面轴力（表示横截面轴力（N N）A A 表示横截面面积（表示横截面面积（mmmm2 2） FFmmnnFFN平面假设平面假设 变

11、形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移，这一假变形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移，这一假设称为平面假设。设称为平面假设。三、 变形与应变 1.绝对变形绝对变形 :规定规定：L等直杆的原长 d横向尺寸 L1拉(压)后纵向长度 d1拉(压)后横向尺寸纵向变形 ：LLL1横向变形： ddd1拉伸时纵向变形为正，横向变形为负；压缩时纵向变形为负，横向变形为正。 纵向变形和横向变形统称为绝对变形。绝对变形。 w 拉(压)杆的变形 2.2.相对变形（线应变）：相对变形（线应变）： 单位长度的变形量。LLdd 纵向线应变纵向线应变横向线应变横向线应变纵向线应变和横向线应变均为无量纲量纵

12、向线应变和横向线应变均为无量纲量v虎克定律虎克定律 ：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的纵向变形与轴力F FN 成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律虎克定律。引入比例常数E E，其公式为: EALFLNE E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。 由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E E 值越大， 就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。 L或E例例3 3 如图所示杆件，求各段内截面的轴力和如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力应力，并画出，并画出轴力图

13、。若轴力图。若杆件较细段横截面面积杆件较细段横截面面积 ，较粗，较粗段段 ，材料的弹性模量，材料的弹性模量 ， 求杆件的总变形。求杆件的总变形。 21200mmA 22300mmA GPaE200mmL100LL10KN40KN30KNABC解：分别在分别在AB、BC段任取截面，段任取截面，如图示，如图示，则： FN1= 10KN10KNFN110KN1 1 = = FN1 / A1 = 50 MPa30KNFN2 FN2= - -30KN2 2 = = FN2 / A2 = 100 MPa轴力图如图：xFN10KN30KN由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律 ：EALFL

14、N可得：LAB10KN X 100mm10KN X 100mm200GPa X X 200 mm2= 0.025mm0.025mmLBC-30KN X 100mm-30KN X 100mm200GPa X X 300 mm2= -0.050mm-0.050mmL= - - 0.025mm0.025mm第三节第三节 材料在拉压时的力学性能材料在拉压时的力学性能v材料的力学性能材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。 w 工程材料的种类工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材料塑性材料和脆脆性材料性材料两

15、大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具有广泛的代表性。一、拉伸实验和应力一、拉伸实验和应力应变曲线应变曲线 1.1.常温、静载试验常温、静载试验 ：L0=510d0L0d0FF低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力应力和和产生的产生的应变应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的之间的关系，可以绘制出该低碳钢的 曲线。曲线。 二、低碳钢二、低碳钢 曲线分析：曲线分析：试件在拉伸过程中

16、经历了试件在拉伸过程中经历了四个阶四个阶段段，有两个重要的，有两个重要的强度指标强度指标。 obob段段 弹性阶段弹性阶段(比例极限比例极限pp弹性极限弹性极限e e )scdcd段段 强化阶段强化阶段 抗拉强度抗拉强度 bdede段段 缩颈断裂缩颈断裂阶段阶段 Oa ab bc cd desbpebcbc段段 屈服阶段屈服阶段屈服点屈服点 oaoa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符合虎克定律合虎克定律，直线，直线oaoa的斜率的斜率tan=E tan=E 就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对

17、应的应力值记作值记作pp，称为材料的，称为材料的比例极限比例极限。曲线超过。曲线超过a a点，点，图上图上abab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在律。但在abab段内卸载，变形也随之消失，说明段内卸载，变形也随之消失，说明abab段段也发生弹性变形，所以也发生弹性变形，所以abab段称为弹性阶段。段称为弹性阶段。b b点所对点所对应的应力值记作应的应力值记作e e ，称为材料的，称为材料的弹性极限弹性极限。1.1.弹性阶段弹性阶段 比例极限比例极限pp弹性极限弹性极限与与比例极限比例极限非常接近，工程实际中通常对二非常接近，工程实际中通常对二

18、者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。 曲线超过曲线超过b b点后，出现了一段锯齿形曲线，这一点后，出现了一段锯齿形曲线，这一阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能力，把这种失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变应力不增加而应变显著增加的现象称作屈服显著增加的现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈段称为屈服阶段。屈服阶段曲线最低点所对应的应力服阶段曲线最低点所对应的应力 称为称为屈服点屈服点(或或屈服极限屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑。在屈服阶段卸载

19、，将出现不能消失的塑性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作为把塑性变形作为塑性材料塑性材料破坏的标志，所以屈服点破坏的标志，所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标是衡量材料强度的一个重要指标。 sss2.2.屈服阶段屈服阶段 屈服点屈服点 经过屈服阶段后，曲线从经过屈服阶段后，曲线从c c点又开始逐渐上升，说点又开始逐渐上升，说明要使应变增加，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变明要使应变增加，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称作形的能力，这种现象称作强化强化，cdcd段称为强化阶段。曲段称为强化阶段。曲线最高点所对应

20、的应力值记作线最高点所对应的应力值记作 ，称为材料的，称为材料的抗拉强抗拉强度度( (或强度极限或强度极限) )，它是衡量材料强度的又一个重要指标。，它是衡量材料强度的又一个重要指标。 曲线到达曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到达达d点，在试件比较薄弱的某一局部点，在试件比较薄弱的某一局部(材质不均匀或有缺材质不均匀或有缺陷处陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被拉断，所以颈现象，试件很快被拉断，所以de段称为段称为缩颈断裂阶段缩颈断裂阶段。 b3.3.强化阶段强化阶段 抗

21、拉强度抗拉强度b b4.4.缩颈断裂阶段缩颈断裂阶段试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保留下来。工程上留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形用试件拉断后遗留下来的变形表示材料的塑性指标表示材料的塑性指标。常用的塑性指标有两个。常用的塑性指标有两个: : 伸长率伸长率: :100100LLL% %断面收缩率断面收缩率 :010100AAA% %L1 试件拉断后的标距试件拉断后的标距 L0 是原标距是原标距A1 试件断口处的最小横截面面积试件断口处的最小横截面面积 A0 原横截面面积。原横截面面积。 、 值越大，其塑性越好。一般把值越大，其塑性越好。一

22、般把 5的材的材料称为料称为塑性材料塑性材料，如钢材、铜、铝等；把，如钢材、铜、铝等；把 5的的材料称为材料称为脆性材料脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。，如铸铁、混凝土、石料等。 塑性指标塑性指标:三、低碳钢压缩时的力学性能三、低碳钢压缩时的力学性能 Os 比较低碳钢压缩与拉伸曲线,在直线部分和屈服阶段大致重合，其弹性模量比例极限和屈服点与拉伸时基本相同，因此低碳钢的抗拉性能与抗压性能是相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度。因此对于低碳钢一般不作压缩试验。 F屈服极限屈服极限s强度极限强度极限bA3 钢：钢：235 MPa372-392

23、MPa 35 钢：钢：31452945 钢：钢：353598 16Mn：343510四、铸铁拉伸时的力学性能四、铸铁拉伸时的力学性能 O铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。小。断裂时曲线最高点对应的应力值断裂时曲线最高点对应的应力值称为称为抗拉强度抗拉强度 。铸铁的抗拉强度。铸铁的抗拉强度较低。较低。 b曲线没有明显的直线部分，应力与应曲线没有明显的直线部分，应力与应变的关系不符合虎克定律。但由于铸变的关系不符合虎克定律。但由于铸铁总是

24、在较小的应力下工作，且变形铁总是在较小的应力下工作，且变形很小，故可近似地认为符合虎克定律。很小，故可近似地认为符合虎克定律。通常以割线通常以割线Oa的斜率作为的斜率作为弹性模量弹性模量E。 ab五、五、 铸铁压缩时的力学性能铸铁压缩时的力学性能OFF曲线没有明显的直线部分，应力曲线没有明显的直线部分，应力较小时，近似认为符合虎克定律。较小时，近似认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时曲线没有屈服阶段，变形很小时沿与轴线大约成沿与轴线大约成45的斜截面发的斜截面发生破裂破坏。生破裂破坏。曲线最高点的应力曲线最高点的应力值称为抗压强度值称为抗压强度 。byby铸铁材料抗压性能远好于抗拉性

25、铸铁材料抗压性能远好于抗拉性能，这也是脆性材料共有的属性。能，这也是脆性材料共有的属性。因此，工程中常用铸铁等脆性材因此，工程中常用铸铁等脆性材料作受压构件，而不用作受拉构料作受压构件，而不用作受拉构件。件。 一、极限应力、许用应力和安全系数一、极限应力、许用应力和安全系数许用应力许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构构件的工作应力必须小于材料的极限应力。件的工作应力必须小于材料的极限应力。塑性材料塑性材料： 0.2ssn或脆性材料脆性材料： bbnn s s、n b b是安全系数: n s s =1.4=1.41.71.7 n b b 2.5

26、2.53.03.0极限应力极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形是塑塑性变形是塑性材料破坏的标志性材料破坏的标志。屈服点屈服点 或条件屈服极限或条件屈服极限 为塑性材料为塑性材料的极限应力；的极限应力；断裂断裂是脆性材料破坏的标志，因此把抗拉强度是脆性材料破坏的标志，因此把抗拉强度 和抗压强度和抗压强度 ，作为脆性材料的极限应力。，作为脆性材料的极限应力。 sbby0.2第四节第四节 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算（与拉压静不定问题）（与拉压静不定问题）0.20.2 除低碳钢、中碳钢及少数合金钢有屈服现象外，大多数金属材料没有明显的屈服现象。国标规定，

27、以产生试样标长的0.2%残余变形时的应力作为其屈服极限，以 表示。 为条件屈服极限。0.2二、二、 拉拉(压压)杆的强度条件杆的强度条件 因为拉（压）杆横截面上的轴力沿截面的因为拉（压）杆横截面上的轴力沿截面的法向，故横截面上只有正应力法向，故横截面上只有正应力AFN正应力的符号与轴力符号规定相同，即正应力的符号与轴力符号规定相同，即拉拉应力为应力为正正，压压应力为应力为负负。v强度计算：强度计算： 为了使构件不发生拉为了使构件不发生拉( (压压) )破坏，保证构件安破坏，保证构件安全工作的条件是：最大工作应力不超过材料的许全工作的条件是：最大工作应力不超过材料的许用应力用应力。这一条件称为这

28、一条件称为强度条件强度条件。 AFN maxmax 应用该条件式可以解决以下三类问题应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度校核强度 、设计设计截面截面 、确定许可载荷确定许可载荷 。 maxmaxminNFA.强度校核：强度校核： 已知已知 FN和和 A，可以校核强度，即考察强度是否够用，可以校核强度，即考察强度是否够用 max.设计截面设计截面:已知已知 FN和和 ，可以设计构件的截面，可以设计构件的截面A（几何形状）（几何形状） maxminNFA3.确定许用载荷确定许用载荷:已知已知A和和，可以确定许用载荷，可以确定许用载荷 maxminNFA强度条件的工程应用有以下三个方面强度条件

29、的工程应用有以下三个方面DpdF例例4 4： 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p=2MPap=2MPa，油缸内径油缸内径D D75mm75mm，活塞杆直径，活塞杆直径d d1818mmmm，已知活塞杆材料的许用，已知活塞杆材料的许用应力应力 50MPa50MPa，试校核活塞杆的强度。，试校核活塞杆的强度。 解：1.求活塞杆的轴力。求活塞杆的轴力。设缸内受力面积为设缸内受力面积为A1，则：则：222212751844NFpApDd2.2.校核强度。校核强度。活塞杆的工作应力为：活塞杆的工作应力为：MPaMPaAFN6 .32184187542222 50MPa所以，活塞杆的强度足够。所以，活塞杆的强度足够。 FFbh例例5 5：图示钢拉杆受轴向载荷F=40kNF=40kN，材料的许用应力 =100MPa，横截面为矩形，其中h=2bh=2b，试设计拉杆的截面尺寸h h、b b。 解：求拉杆的轴力求拉杆的轴力:FN = F = 40kN则：拉杆的工作应力拉杆的工作应力为：= FN / A = 40 x1000 / b h = 40000/2b= 20000/b = 10022所以： b= 14mm h= 28mm例6：图示图示M12M12的吊环螺钉