山东财经大学成人高考线性代数复习自测题及参考答案

《线性代数》复习自测题一、单项选择题1．行列式的充分必要条件为().A.B.C.D.2．设、都是阶可逆阵，则（）.A.B.存在可逆矩阵C.存在可逆矩阵D.存在可逆矩阵3．设阶方阵的秩，则在的个行向量中（）．A.必有个行向量线性无关B.任意个行向量均可构成极大无关组C.任意个行向量均线性无关D.任一个行向量均可由其它个行向量线性表示4．设是线性方程组的两个解向量，则（）必为其导出组的解．A．B．C．D．以上答案都不对5.取值()时，向量与向量正交.A.-2B.0C.1D.-16．行列式，则（）.A.3B.9C.-3D.-97．设,为阶方阵，则下列各式中正确的是（）.A.或可逆，必有可逆B.或可逆，必有不可逆C.或可逆，必有可逆D.或可逆，必有不可逆8．向量组的秩是（）．A.0B.1C.2D.39．设为满足的任意两个非零矩阵，则（）．A．的列向量组线性相关，的行向量组线性相关B．的列向量组线性相关，的列向量组线性相关C．的行向量组线性相关，的行向量组线性相关D．的行向量组线性相关，的列向量组线性相关10.阶矩阵与某对角矩阵相似，则().A.有个线性无关的特征向量B.有个不同的特征值C.是实对称矩阵D.的秩11．行列式，则（）.A.2B.6C.-2D.-612．设，，为阶矩阵，().A.B.C.D.13．线性相关向量组的任一部分组（）．A.未必线性相关B.线性相关C.线性无关D.以上均不对14．设是矩阵，且，则下列说法错误的是（）．A．齐次线性方程组有无穷多解B．非齐次线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关C．非齐次线性方程组一定有无穷多解D．非齐次线性方程组可能无解15.已知矩阵有一个特征向量，则=().A.-18B.-14C.-16D.-1216．行列式，则（）.A.1B.3C.-1D.-317．设是阶方阵，（）.A.B.C.D.18．设向量组，，()时，是，的线性组合．A.B.C.D.19．设为矩阵，，则齐次线性方程组只有零解的充要条件是（）．A．B．C．D．20.设为阶矩阵，线性方程组的两个不同解向量分别为，则矩阵属于特征值的特征向量必是().A.B.C.D.二、判断题1.如果个未知量个方程构成的齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式必为0.（）2.若、为对称矩阵，则为对称矩阵.（）3.向量组，，线性相关.（）4.设是一非齐次线性方程组，是其两个解，则仍是的解．（）5.若是阶矩阵的互异特征值，是相应的特征向量，则也是的特征向量.（）6.设，则.（）7..（）8.如果向量组线性相关，则可由线性表示．（）9.向量组，，线性相关.（）10.设是非齐次线性方程组的一个解，是的一个基础解系，则的线性组合是的解．（）11.若，则互换的任意两行或两列，的值仍为零.（）12.若、为对称矩阵，则为对称矩阵.（）13.线性相关的向量组没有极大无关组。（）14.如果每个维列向量都是齐次线性方程组的解，则是零矩阵．（）15.设3阶矩阵的特征值为0，1，-1，则矩阵是可逆矩阵.（）16..（）17.若矩阵中有某个阶子式不为0，则.（）18.若一个向量组中有个维向量，则此向量组必线性无关．（）19.设是非齐次线性方程组的一个解，是的一个基础解系，则线性相关．（）20.设3阶矩阵的特征值为0，1，-1，则矩阵是可逆矩阵.（）三、填空题1．二阶行列式的值等于.2．设矩阵，，则.3.已知矩阵的秩为3，且的行向量组线性无关，则，.（第二个空填大小关系）4.已知非齐次线性方程组无解，且，则增广矩阵的秩.5.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为.6．.7．矩阵，，则.8.设，，则向量组线性．（填：相关或无关）9.设齐次线性方程组为，则它的基础解系所包含的向量个数为.10.设为3阶方阵，其特征值分别为3，-1，2，则.11．.12．矩阵，，则.13.若与线性相关，则的值分别为和.14.设齐次线性方程组为，则它的基础解系所包含的向量个数为.15.设为3阶方阵，其特征值分别为3，-1，2，则.16．.17．矩阵，，则.18.设向量组的秩，则向量组线性．（填：相关或无关）19.已知非齐次线性方程组无解，且，则增广矩阵的秩.20.如果阶矩阵与相似，且，那么.四、计算题1.计算行列式：．2．求解矩阵方程，其中，．3．求向量组，，的秩，并判断其是否线性相关．4．设有非齐次线性方程组，试用一个特解和其导出方程组的基础解系表示其全部解．5.计算行列式.6．已知矩阵，，求（1），（2）．7．已知向量，，，求满足等式的向量．8．求矩阵的特征值与特征向量.9.计算行列式：.10．求矩阵的逆矩阵．11．求向量组，，的秩，并判断其是否线性相关．12．求矩阵的特征值和特征向量.13.计算阶行列式．14．解矩阵方程，其中，．15．求齐次线性方程组的一个基础解系．16.求矩阵的特征值和特征向量.五、综合题1．判断矩阵是否可以与对角矩阵相似，若可以，试求出相应的可逆矩阵和对角矩阵，使得.2．设三阶非零实方阵，且.其中，为元素的代数余子式，.求证：且是正交矩阵.3．下列向量组是否线性相关？若相关，试求一组相关系数，，，，，．4．设矩阵满足，证明：可逆.5．讨论线性方程组解的情况.6．设向量组线性相关，证明：向量组必线性相关．7．判断向量是否为向量组，的线性组合？8．若向量组线性无关，而向量，，，试证：向量组线性无关.

《线性代数》复习题参考答案一、单项选择题1．B2.D3.A4.B5.D6．B7.A8.D9.A10.A11．B12.C13.A14.C15.C16．A17.B18.A19.D20.C二、判断题1．A2.B3.A4.B5.B6．B7.B8.B9.A10.B11．A12.B13.B14.A15.A16．A17.A18.B19.B20.B三、填空题1．2.3.3，4.35.46．67.8.相关9.10.11．812.13.2，414.15.-616．-417.18.相关19.320.计算题1．解由行列式的性质，有．2．解若可逆，则有．．因此，可逆，且．于是，．3．解以为行作矩阵，对进行初等行变换化为阶梯形矩阵：，于是，，故，又，故线性相关．4．解对所给方程组的增广矩阵施以初等行变换由此可得原方程组一般解为其中为自由未知量．令，得原方程组的一个特解．又原方程组的导出方程组的一般解为，其中为自由未知量．令自由未知量分别取值为,，可得导出方程组的一个基础解系为，．于是原方程组通解为，其中为任意常数．5．解将行列式先按第五列展开，再按第一列展开后一个四阶行列式得.6．解（1）由于，因此．（2）．7．解由所给等式可得，即有所以，．8．解矩阵的特征方程为：，所以，的特征值为.对于，解齐次线性方程组，即，其基础解系为，故与对应的全部特征向量为，其中，为任意非零常数.对于二重特征根，解齐次线性方程组，即，其基础解系为，，故与对应的全部特征向量为，其中，是不全为零的任意常数.9．解由行列式的对角线法则，有.10．解作矩阵，并对其进行初等行变换：，因此，．11．解以为行作矩阵，对进行初等行变换化为阶梯形矩阵：，于是，故，从而线性无关．412．解矩阵的特征方程为:，所以的特征值为.对于，解齐次线性方程组，即，其基础解系为，故与对应的全部特征向量为，其中，为任意非零常数.对于，解齐次线性方程组，即，其基础解系为，故与对应的全部特征向量为，为任意非零常数.13．解容易看出，该行列式各行中所有元素的和相等，都是，于是各列都加到第一列，然后从第一列中提出公因子，再用乘第一行加到其余各行，得．14．解若方阵可逆，则，以下先判断为可逆矩阵并求出．易得，因此可逆．经计算可得中各元素的代数余子式分别为：，，，．因此，．于是．15．解对系数矩阵进行行初等变换化成行最简形式， 所以，，所以方程组的基础解系应含有个解向量．由最后一个行简化阶梯形矩阵可得同解方程组，从而得方程组的一般解为，其中为自由未知量．令自由未知量分别取值为，，可得原方程组的一个基础解系，．16．解矩阵的特征方程为：，所以的特征值为：.对于，解齐次线性方程组，即，其基础解系为，故与对应的全部特征向量为，其中，为任意非零常数.对于二重特征根，解齐次线性方程组，即，其基础解系为，，故与对应的全部特征向量为，其中，为任意非零常数.五、综合题1．解首先求出矩阵的特征值.矩阵的特征方程为：，其特征值为.其次求出矩阵的每一个特征值对应的特征向量.对于，解齐次线性方程组，即得基础解系为，这是属于的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即，得基础解系为，这是的属于特征值的两个线性