Design of Experiment（课堂PPT）

1、1&Design of Experiments（试验设计）（试验设计）&Approximation Methods（近似方法）（近似方法）&Optimization based on surrogate models （基于代理模型的优化）（基于代理模型的优化）2Design Of Experiments （DOE）试验设计方法是有关如何合理安排试验的数学方法。试验设计方法是有关如何合理安排试验的数学方法。它是代理模型的取样策略，决定了构造代理模型所需样本点它是代理模型的取样策略，决定了构造代理模型所需样本点的个数和这些点的空间分布情况。的个数和这些点的空间分布情况。i

2、SIGHT8.0中提供的方法：中提供的方法：( (Full Factorial Design) )全析因试验设计全析因试验设计( (Parameter Study) )参数研究试验设计参数研究试验设计( (Data File) )数据文件试验设计数据文件试验设计( (Orthogonal Arrays) )正交试验设计正交试验设计( (Central Composite Design) )中心复合试验设计中心复合试验设计( (Latin Hypercube) )拉丁超立方试验设计拉丁超立方试验设计3DOE Techniques全析因试验设计（全析因试验设计（Full Factorial Des

3、ign） 因素因素：在试验设计中，系统的输入变量；：在试验设计中，系统的输入变量； 水平水平：输入变量在样本点处的值；：输入变量在样本点处的值； 全析因试验设计全析因试验设计：指一次完全试验中，系统的所有因素的所有水平可能的：指一次完全试验中，系统的所有因素的所有水平可能的 组合都要被研究到的一种试验设计。组合都要被研究到的一种试验设计。 优点优点：能够分析因素对系统影响的大小和分析因素间的交互作用。：能够分析因素对系统影响的大小和分析因素间的交互作用。 缺点缺点：试验的次数较多。：试验的次数较多。因素：因素：A A、B B、C C水平：水平：1 1、2 2共计：共计：3 32 29 94Ba

4、se value参数研究试验设计参数研究试验设计（Parameter Study） 一个因素的不同水平在一次试验设计被研究，而其它因素保持基准值。一个因素的不同水平在一次试验设计被研究，而其它因素保持基准值。DOE Techniques5DOE Techniques数据文件试验设计（数据文件试验设计（Data File）由用户自己安排试验设计的一种方式。由用户自己安排试验设计的一种方式。正交试验设计（正交试验设计（Orthogonal Arrays）按照一种已经拟定好的满足正交试验条件的表格（正交表）来安排试验按照一种已经拟定好的满足正交试验条件的表格（正交表）来安排试验的试验设计方法。的试验

5、设计方法。正交表的形式为正交表的形式为L LA A(p(pq q) )!L L 代表正交表；代表正交表；!A A表示表中有表示表中有A A个横行，也即总共所需的试验次数；个横行，也即总共所需的试验次数；!p p表示因素的水平数；表示因素的水平数；!q q表示因素的个数。表示因素的个数。6使用正交表通常都要求各因素的水平数是相同；使用正交表通常都要求各因素的水平数是相同；当各因素水平数不等的试验，有两种方法可以用来安排正交试验，当各因素水平数不等的试验，有两种方法可以用来安排正交试验，其中一种是直接套用不等水平正交表，另一种则是采用拟水平法。其中一种是直接套用不等水平正交表，另一种则是采用拟水平

6、法。表表2.1为为3因素因素3水平正交表水平正交表表表2.2为一个因素为为一个因素为4水平，水平，4个因素为个因素为2水平的混合水平正交表水平的混合水平正交表DOE Techniques7DOE Techniques中心复合试验设计（中心复合试验设计（Central Composite Design） 一种针对二次多项式响应面模型进行分批试验的一种试验设计方法。一种针对二次多项式响应面模型进行分批试验的一种试验设计方法。 步骤步骤首先要根据每个因素的两个水平值，利用正交表构造一个首先要根据每个因素的两个水平值，利用正交表构造一个L Ln n(2(2m m) )的试的试验方案，进行验方案，进行n

7、 n次试验。次试验。在第一批试验结束之后，在中心点在第一批试验结束之后，在中心点(0,0,(0,0,0),0)作作n n0 0次重复试验，由于次重复试验，由于数值计算试验的结果不存在物理试验那样的不确定性，所以对数值试数值计算试验的结果不存在物理试验那样的不确定性，所以对数值试验来说，此步只作一次试验即可，即验来说，此步只作一次试验即可，即n n0 01 1。第三批试验是在每个因素的坐标轴上，取臂长为第三批试验是在每个因素的坐标轴上，取臂长为的两个对称点作为的两个对称点作为试验样本点，试验样本点，m m个因素共有个因素共有2 2m m个点。个点。这样三次试验总共取了这样三次试验总共取了N N个

8、样本点：个样本点：N=n+nN=n+n0 0+2m+2m8DOE Techniques拉丁超立方试验设计拉丁超立方试验设计（Latin Hypercube） 拉丁超立方抽样是一种修正的蒙特卡罗方法。它覆盖均匀，适用于影响因拉丁超立方抽样是一种修正的蒙特卡罗方法。它覆盖均匀，适用于影响因素较多的情况，可显著减少试验规模。素较多的情况，可显著减少试验规模。 特点特点：试验点较均匀；试验点较均匀；样本点是随机的，每次计算结果都不一样；样本点是随机的，每次计算结果都不一样；试验次数等于水平数试验次数等于水平数；试验次数可以是任何数值；试验次数可以是任何数值；应用广泛的计算机仿真试验设计，覆盖均匀，适用

9、于影响因素较多的情况，应用广泛的计算机仿真试验设计，覆盖均匀，适用于影响因素较多的情况，可显著减少试验规模。可显著减少试验规模。9Lab用用正交试验设计正交试验设计对设计变量进行筛选对设计变量进行筛选设计变量设计变量12个，因素水平个，因素水平2。采用全析因试验设计需要采用全析因试验设计需要4096次（次（2124096）。）。采用正交试验设计只需要采用正交试验设计只需要16次。次。10设计变量设计变量水平水平百分比百分比(%)(%)基准值基准值水平值水平值WingArea2-20.0 20.0135.0108.0 162.0Fuselength2-20.0 20.020.016.0 24.0

10、CruiseVel2-20.0 20.0200.0160.0 240.0WtFuel2-20.0 20.0139.2111.36 167.04AR2-20.0 20.05.64.48 6.72CLmax2-20.0 20.01.921.536 2.304sfc2-20.0 20.01.816e-071.4528e-07 2.1792e-07PropEfficiency2-5.0 5.00.9450.89775 0.99225UltLoadFactor2-20.0 20.04.563.648 5.472WtEng2-20.0 20.0141.84113.472 170.208WtPayload2

11、-20.0 20.0286.56229.248 343.872FuseDia2-10.0 10.04.053.645 4.455Lab11进行正交试验设计步骤进行正交试验设计步骤uTechnique 选择正交试验设计选择正交试验设计;uFactor 选择设计变量为因素，水平数选择设计变量为因素，水平数2（PropEfficiency范围范围-5% ，5% , ,FuseDia范围范围-10%，10% ,其它变量范围其它变量范围-20%，20% ）; ;uInteractions 选择部分交互影响（选择部分交互影响（Fractional-Factorial），根据设计变量的），根据设计变量的顺序

12、，自动选择第一个设计变量和第二个、第三个以及第四顺序，自动选择第一个设计变量和第二个、第三个以及第四个设计变量之间的交互影响。（个设计变量之间的交互影响。（WingArea-Fuselength，WingArea-CruiseVel，WingArea-WtFuel）；）；uDesign Matrix 保存正交试验设计矩阵；保存正交试验设计矩阵；12正交试验设计步骤正交试验设计步骤uPost-Processing 从输出参数中选择响应（从输出参数中选择响应（Responses）WetAreaLoDEmptyWeightTotalWeightAircraftRangeStallSpdObjecti

13、veWeight 在在DOE Objective中选择目标函数中选择目标函数 在在Screen Design Variables中选择中选择Top 6 Factors13Main Effects1 响应（响应（Response）: AircraftRange 因素（因素（Factor）: sfc1 响应（响应（Response）: AircraftRange 因素（因素（Factor）: CruiseVel，WingArea，WtFuel，sfcPareto 选择选择 AircraftRangeInteraction Effects1 响应（响应（Response）: AircraftRang

14、e 因素（因素（Factors）: CruiseVel，WingArea1 响应（响应（Response）: StallSpd 因素（因素（Factors）: WingArea，WtPayloadFactors 选择选择 sfc结果分析结果分析14Main Effect Plots随着sfc的增加Aircraft of Range减小15Main Effect Plots16Pareto Plots红色红色：随着该参数的值增加，目标值降低；蓝色蓝色：随着该参数值的增加，目标值增加；17Interaction 1 1）对于航程而言）对于航程而言机翼面积和巡航速机翼面积和巡航速度有交互作用度有交互

15、作用2）机翼面积大、）机翼面积大、巡航速度小巡航速度小机翼面积小、巡航机翼面积小、巡航速度大时速度大时航程大航程大18No Interaction1）对于失速速度）对于失速速度而言而言机翼面积和载荷重机翼面积和载荷重量没有交互作用量没有交互作用2）机翼面积增加）机翼面积增加 失速速度减小失速速度减小3）载荷重量增加）载荷重量增加 失速速度增加失速速度增加19Factors1）横坐标代表试）横坐标代表试 验的次数验的次数2）纵坐标代表每）纵坐标代表每次试验的水平次试验的水平20代理模型代理模型(Surrogate Models)回顾回顾代理模型代理模型: :是指计算量小、但其计算结果与高精度模型

16、的计 算结果相近的分析模型。 代理模型的构造方法：代理模型的构造方法：Q用某种方法产生设计变量的样本点；Q用高精度分析模型对这些样本点进行分析，获得一组输入/ 输出的数据；Q用某种拟合方法来拟合这些输入/输出的样本数据，构造出 近似模型，并对该近似模型的可信度进行评估。试验设试验设计计近似方近似方法法21Approximations & Optimization$克服工程优化中计算量过大的问题克服工程优化中计算量过大的问题$过滤掉原分析模型有可能产生的数值计算噪声过滤掉原分析模型有可能产生的数值计算噪声$有利于实现并行计算，缩短设计优化周期有利于实现并行计算，缩短设计优化周期$有利于将

17、各学科分析软件集成在有利于将各学科分析软件集成在MDO计算框架中计算框架中22利用近似方法利用近似方法( (Approximation approaches) )对离散数对离散数据进行拟合的数学模型据进行拟合的数学模型。iSIGHT8.0提供的近似方法提供的近似方法：多项式响应面模型多项式响应面模型Kriging模型模型泰勒级数模型泰勒级数模型变复杂度模型变复杂度模型Approximations23多项式响应面模型多项式响应面模型 多项式响应面是多学科设计优化中最为常用的一种代理模型，多项式响应面是多学科设计优化中最为常用的一种代理模型，其基本数学表达形式其基本数学表达形式 ：jimimiji

18、jimiixxxf110)(x式中，式中，xi是是m 维自变量维自变量x x的第的第i i个分量，个分量， 0， i ， ij ，是未知参数，将是未知参数，将它们按照一定次序排列，构成列向量它们按照一定次序排列，构成列向量，求解多项式拟合模型的关键就，求解多项式拟合模型的关键就是求解向量是求解向量。当最高次项只考虑到二次项时当最高次项只考虑到二次项时, ,其未知系数的个数为：其未知系数的个数为： (1)(2)/2Mmm24多项式响应面模型特点多项式响应面模型特点Q多项式响应面模型具有良好的连续性和可导性，能多项式响应面模型具有良好的连续性和可导性，能较好地去除数字噪声的影响，极易实现寻优。较好

19、地去除数字噪声的影响，极易实现寻优。Q根据多项式中各分量的系数的大小，可以判断各项根据多项式中各分量的系数的大小，可以判断各项参数对整个系统响应影响的大小。参数对整个系统响应影响的大小。Q在处理非线性程度比较高的高维问题时，多项式响在处理非线性程度比较高的高维问题时，多项式响应面的拟合预测效果不太理想。应面的拟合预测效果不太理想。Q在多项式阶数较高时还会出现过拟合现象。在多项式阶数较高时还会出现过拟合现象。 25Kriging模型模型最早由南非地质学者于最早由南非地质学者于19511951年提出，用来确定矿产储量分布。年提出，用来确定矿产储量分布。地质勘探只能在有限的地方采样，不采样的地方，要

20、靠采样地质勘探只能在有限的地方采样，不采样的地方，要靠采样的信息来插值。的信息来插值。( )( )( )yfzxxx其中：其中：y(x) 是要求解的函数是要求解的函数f(x)是确定性部分，一般用多项式表示；通常也可取作常数项是确定性部分，一般用多项式表示；通常也可取作常数项 。Z(x)称为涨落，是一个随机过程，其均值为称为涨落，是一个随机过程，其均值为0，方差为，方差为2，协方差为非零。，协方差为非零。26Kriging模型模型Kriging模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，它通过相模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，它通过相关函数的作用，具有局部估计的特点。关函数的作用，具有局部估计的特点。Kriging模型能充分利用大量均匀分布的样本点拟合非常复杂模型能充分利用大量均匀分布的样本点拟合非常复杂的形状。的形状。在生成在生成Kriging模型的过程中，需要对每个输出执行一个优化模型的过程中，需要对每个输出执行一个优化过程，计算时间比较长。过程，计算时间比较长。为了能构造比较精确的为了能构造比较精确