数值积分方法（课堂PPT）

1、.1第五章第五章 数值积分方法数值积分方法计算计算 badxxfI)( )( )F aF b 但是在许多实际问题经常遇到下列情况：但是在许多实际问题经常遇到下列情况：（1）原函数存在但不能用原函数存在但不能用初等函数初等函数表示；表示； （2）原函数可以用初等函数表示，但原函数可以用初等函数表示，但结构复杂结构复杂； （3）被积函数没有表达式，仅仅是一张被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表函数表。 解决以上情况的积分问题，最有效的办法为数值积分法。此种方法是利用被积函数在一些离散点处的函数值，而求得满足一定代数精度要求的定积分近似值。.2abab取取左左端点端点矩形矩形近似近似 数值积分的数值

2、积分的思想：思想：分割分割、近似、近似、求和求和取取右右端点端点矩形矩形近似近似ab 定积分定积分几何几何意义：意义：曲边梯形的面积曲边梯形的面积.3 数值积分公式的数值积分公式的一般形式一般形式：0()()nnkkkIfA f x ( )baf x dx 其中其中011nnaxxxxb 求积求积节点节点求积求积系数系数0 1 , ,kAkn 仅与仅与求积节点求积节点有关有关求积公式的求积公式的截断误差截断误差或或余项余项：0()( )()nbnkkakEff x dxA f x .45.1 插值型求积公式插值型求积公式用被积函数用被积函数 在区间在区间 上的上的插值多项式插值多项式近似代替计

3、算近似代替计算( )f x , a b作作n次次Lagrange插值多项式插值多项式: :设已知函数设已知函数 在节在节点点上的函数值上的函数值( )f x01naxxxb 01(),(),()nf xf xf x0( )( ) ()nnkkkLxlx f x ( )( )bbnaaf x dxLx dx .5( )( )bbnaaf x dxLx dx 0( ) ()nbkkaklx f x dx 0()( )nbkkakf xlx dx 0()nkkkA f x 其中其中( )bkkaAlx dx 余项余项111()( ) ( )()!nbnnafEfx dxn 011011() ()()

4、 ()( )() ()() ()kknkkkkkknx xx xx xx xl xxxxxx xxx .6则有数值积分公式则有数值积分公式0( )()nbkkakf x dxA f x (5.1)(5.1) 这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为计算公式，称为插值型数值积分公式插值型数值积分公式。.7n=1时的求积公式时的求积公式一、梯形一、梯形公式公式 10011010101( )d()()()( )d( ) ( )( ) ( ) d ( )( ).bkkakbabaf xxA f xA f xA f xL xxlx f al x

5、f bxA f aA f b 00111212 ( )dd() ( )dd()bbaabbaaxblxxxbaabxalxxxbaba 其其中中 2( )d( )( )T(f) (5.2)babaf xxf af b .8ab用用梯形梯形面积近似面积近似 这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为似计算公式，称为梯形数值积分公式梯形数值积分公式。几何意义几何意义.911011101321212( ) ( )( )( )()(), ,! ( )( )d( )d( )()()d() ( ), (5.3) bbbaaafR xf xL x

6、xxxxabExf xxL xxfxxxxxbafab 截断误差：截断误差：已知线性插值的截断误差为已知线性插值的截断误差为 积分中值定理：积分中值定理： 连连续、不变号续、不变号( ) , ( ) , ( )( ) , ( ) , ( )xa bf xa bf x dxxa bf xa bf x dx b b a ab ba a对对(5.3)(5.3)可可作作如如下下的的几几何何解解释释：当当f f在在上上恒恒为为负负时时，在在上上为为凸凸，表表示示梯梯形形的的面面积积小小于于曲曲边边梯梯形形的的面面积积，此此时时（5.25.2）式式计计算算出出的的值值比比积积分分的的值值小小；当当f f在

7、在上上恒恒为为正正时时，在在上上为为凹凹，表表示示梯梯形形的的面面积积大大于于曲曲边边梯梯形形的的面面积积，此此时时（5.25.2）式式计计算算出出的的值值比比积积分分的的值值大大. .10n=2时的求积公式时的求积公式 2001122020011220122( )d()()()()( )d( ) ()( ) ()( ) () d ( )( ).bkkakbbaaf x xA f xA f xA f xA f xL x xl x f xl x f xl x f xxabA f aA fA f b = =二、二、Simpson公式公式将将 a, b 二二 等分，等分节点等分，等分节点 x0 =

8、a ，x1 = (a +b)/2，x2 = b 作为积分节点，构造二次作为积分节点，构造二次Lagrange插值多插值多项式项式L2(x)：00112221264616()/ )() ( )dd()()/ )() ( )d() ( )d().bbaababaxabxbAlxxxbaaababAlxxbaAlxxba 其其中中，.112462( )d( )d( )( ) () (5.4)bbaabaabf xxLxxf aff bS f 这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为计算公式，称为辛普森数值积分公式辛普森数值积分公式。.

9、12SimpsonSimpson积分公式的截断误差（定理）：积分公式的截断误差（定理）：3220122231316( )( )( )( )( )( )()()(), !, ( )( )d( )d( )()()()d (5.5) bbaabafRxf xLxxxxxxxabExf xxLxxfxaxxxbx 542880( )()( ), bafab 积分中值定理：积分中值定理： 连续、不变号连续、不变号.13复合求积法复合求积法 通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式Sim

10、pson积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间a, b上的积分公式，这种方法称为上的积分公式，这种方法称为复合求积法复合求积法。5.2 复合复合求积求积公式公式.145.2.1 5.2.1 复化梯形积分复化梯形积分 将将a, b分成若干小区间，在每个区间分成若干小区间，在每个区间xi, xi+1上用上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，就得到区间起来，就得到区间a, b上的数值积分。这种方法称上的数值积分。这种方法称为为复化梯形积分复化梯形积分。 计算公式计算公式 将将a, b n等分等分

11、, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n, 110110311110121102212111222( )d( )d ()()()()() ()()() ( )()()iinbxaxiniinkniiiiiiiinniiiif xxf xxhf xf xEfxxxxf xf xfhf af xf x 积积分分的的性性质质1301212( )()niihf bf .151122( )( )()( )nnkkhTff af xf b 复化梯形复化梯形公式的几何意义公式的几何意义小梯形小梯形面积面积之和之和近似近似复化梯形复化梯形公式公式.1

12、6复化梯形复化梯形公式的余项公式的余项31012()()()nnnkkhRfITff 设设2( ) , f xCa b 101min( )()( )nkaxbaxbkmfxfmax fxMn 由由介值介值定理定理 , a b 101( )()nkkffn 余项估计式余项估计式133032121212()()()()( )() ( ), , nnniihhEfI fTffnfbafa bn .17 计算公式计算公式 将将a, b 2m 等分等分, m 为积分子区间数，记为积分子区间数，记 n = 2m，n+1为节点总数为节点总数 ，h = xi+1- - xi= (b - -a)/n, xi =

13、 a + ih, i = 0,1,2,n, 2221012212201121201442464231802( )()( )d( )d ()()()() ( )()()( )( ) iimbxaximiiinimmiiiiI ff xxf xxhf xf xf xEfhf af xf xf bbahf 5.2.2 复化复化Simpson公式：公式：.18复化复化Simpson公式公式复化复化Simpson公式的几何意义公式的几何意义小抛物小抛物面积面积之和之和近似近似1121201423()( )()()( ) ()mmniiiihSff af xf xf b 5.55.5系数首尾为系数首尾为1

14、，奇数点为，奇数点为4，偶数点为，偶数点为2.19复化复化Simpson公式的余项公式的余项41401802( )()()()nnniihhEfISff 设设4( )( ) , f xCa b 144401( )( )( )min( )()( )nka x ba x bkmfxfmax fxMn 由由介值介值定理定理 , a b 14401( )( )( )()niiffn 441802( )( )( )( )nnbahEfISff 余项估计式余项估计式.20例：例： 分别利用复化分别利用复化梯形梯形公式、公式、复化复化Simpson公式公式计算计算积分积分 的近似值，要求按复化的近似值，要求

15、按复化Simpson公公式计算时误差不超过式计算时误差不超过 。10sin xIdxx 60 5 10. 解：解： 首先来确定首先来确定步长步长1bahnn 444418021802( )()( )nbahbahRffM 复化复化Simpson公式的余项：公式的余项：44( )max( )a x bMfx 其中其中.214M本题本题 的求法：的求法：sin( )xf xx 10costxdt 11002( )sincos()fxttxdtttxdt 11220022( )coscos()fxttxdtttxdt 由由归纳法归纳法知知102( )( )cos()kkkfxttxdt 110012

16、1( )( )cos()kkkkfxttxdtt dtk 415M .224441111180 2900 2()nRfMnn 60 5 10. 4n 解不等式得解不等式得将区间将区间 8等分，分别采用复化等分，分别采用复化Simpson、梯形梯形公式公式0 1 , 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x.23复化复化梯形梯形公式公式( (n=8) )复化复化Simpson公式公式( (n=4) )81113022 88481

17、53712848( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )T ffffffffff 18h 0 945692. 411357046 4888811321424( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Sffffffffff 0 9460832. 14h 0 946083070367.24代数精度代数精度的判别方的判别方法法1Def 如果求积公式如果求积公式对一切不高于对一切不高于m次的多项式都次的多项式都恒成立恒成立，而对于某个，而对于某个m+1次多项式次多项式不能精确成立不能精确成立，则称该求积公式具有，则称该求积公式具有m次代数精度。次代数精度。0()(

18、)nnkkkIfA f x 0()()nnkkkIfA f x 定理定理 求积公式求积公式具有次具有次m代数精度的充要条件是代数精度的充要条件是 为为 时求积公式时求积公式精确成立精确成立，而，而 为为 时求积公式时求积公式不能成为等式。不能成为等式。( )f x231mxxxx、 、( )f x1mx 5.3 数值积分公式的代数精度和数值积分公式的代数精度和 Gauss求积求积公式公式.2521 ( )( )badxf af b b ba af f例例 求求证证梯梯形形公公式式具具有有一一阶阶( (x x) )代代数数精精度度。1( )f xx 证证首首先先验验证证、 时时，梯梯形形公公式式

19、准准确确成成立立。11 122 ( )( ),bababadxbaf af b 22222 ( )( ),babababaxdxabf af b 2( )f xx 再再验验证证时时，梯梯形形公公式式不不成成立立。33222222 ( )( ),babababax dxabf af b 11( )f xxa x 0 0由由于于对对于于、 ，梯梯形形公公式式准准确确成成立立，而而任任一一一一次次多多项项式式可可表表示示成成a a的的形形式式，所所以以梯梯形形公公式式具具有有一一阶阶代代数数精精度度。例例2 见见p73的例的例5.5.26 Gauss求积求积公式公式一、一、 Gauss积分问题的提法积分问题的提法 前述前述的的求积公式中求积节点是取求积公式中求积节点是取等距节点等距节点，求积系数，求积系数计算方便，但计算方便，但代数精度代数精度要受到限制；要受到限制； 为了提高为了提高代数精度代数精度，需要适当选择求积节点，需要适当选择求积节点: :当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选当求积节点个数确定后，不管这些