高中数学《任意角的三角函数-三角函数线》教案

1、任意角的三角函数三角函数线教学背景：    1教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.2学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.教学目标：1知识目标: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些

2、简单的三角函数问题.2能力目标: 通过尺规作图让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；充分发挥学生的自主探究性，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.3情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.教学重点难点：1重点：三角函数线的作法及其简单应用.2难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.教学方法与教学手段：1教法选择：“设置问题，探索辨

3、析，归纳应用，延伸拓展”科研式教学.2学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.教学过程：一、设置疑问,实验探索（17分钟）(一)设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值 ，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.设计意图：既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.（二）概念学习，分散

4、难点有向线段：带有方向的线段.（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点.如：有向线段OM，O为起点，M为终点，由O点指向M点.（动态演示）(2) 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反向，取负值.如： OM= 1， ON= -1， AP = 设计意图：相关概念的学习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.（三）试验探索角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是（），它与原点的距离是r, 比值叫做的正弦.思考:能否用几何图形表示出角的正弦呢?学生联想角的弧度数与弧长的转化, 类比猜测:若令

5、r=1，则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.2.思考:用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?并说明理由.请学生推导说明,老师用图形演示.有向线段OM叫做角的余弦线.3. 如何用有向线段表示？讨论焦点：若令=1, 则=AT，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取=-1的点T，

6、tan=-=TA,有向线段的表示方法又不能统一.引导观察：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？统一认识：方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T，则=AT；方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到.动画演示验证:当角的终边落在坐标轴上时，tan与有向线段AT的对应.这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线.二、作法总结,变式演练（13分钟）（一）作法总结正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示)：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正弦

7、线MP、余弦线OM；第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.设计意图：及时归纳总结，加深知识的理解和记忆.三、变式演练,提高能力：练习.利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：      （1）;      （2）.学生先做,然后投影展示一学

8、生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.设计意图：巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.例1在单位圆中画出满足的角的终边. 共同分析：设角的终边与单位圆交于P(),则,所以要作出满足的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则射线OP即为的终边.（幻灯片动态演示）设计意图：逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.例2 在单位圆中画出满足的角的终边的范围，并由此写出角的集合：分析：先作出满足 的角的终边(例1已做)，然后根据已知条件确定角终边的范围.（幻灯片演示）答案：（1）练习：1. 在单位圆中画出满足的角的终边.2. 在单位圆中画出满足的角的终边的范

9、围，并由此写出角的集合.3.求函数的定义域.答案：.设计意图：数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.四、思维拓展，论坛交流观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？引导学生进行发散式思维，自主探究三角函数线在数学中的应用 学生得出的结论有以下几种：(1) ； (2)sin + cos 1;(3) -1sin1, -1cos1, tanR;(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相

10、反数;(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;(6) 当角的终边在直线的右下方时, sincos;当角的终边在直线的左上方时, sincos;设计意图：给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境.论坛交流既能展示个人才华,又能照顾到各个层次的学生.来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想.这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后，顺利到达数学学习的新境界.五、归纳小结,课堂延展（一）归纳小结1.回顾三角函数线作法.2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角

11、函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.设计意图：回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思想,便于学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究.（二）巩固创新，课堂延展巩固作业:习题4.3  1,2提升练习：1. 已知：，那么下列命题成立的是（  ）A若、是第一象限的角，则cos>cos.B. 若、是第二象限的角，则tan>tan.C. 若、是第三象限的角，则cos>cos.D. 若、是第四象限的角，则tan>tan.2求下

12、列函数的定义域：（1） y =;  (2) y = lg(34sin2x) .设计意图：既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.六、板书设计和教学反思七、作业布置：教学设计说明： 1.积极响应新课标教学理念，把课堂教给学生，提倡学生自主学习.在新课标教学理念指导下，充分发挥多媒体的优势，既丰富三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，提高学生的探索精神、创新意识.2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法. 课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的