湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(三)-教师版-数学(理)-Word版含解析(共16页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 炎德 英才大联考湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(三) 数 学(理科) 命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普 审题：高三数学备课组 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z21i2i，则下列结论中正确的是(C) Az 的虚部为 i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz1i 【解析】由已知，z2（1i）（1i）（1i）2i1i，则 z 的虚部为 1，|z| 2，z22i 为纯虚数，z1i，故选 C. 2设 xR，若“|xa|

2、0”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是(A) A(，32，) B(，3)(2，) C(3，2) D3，2 【解析】由|xa|1(aR)，解得：a1x0，解得 x1 或 x2. 又“|xa|0”的充分不必要条件， 1a1 或 a12，即 a2，或 a3.故选 A. 3已知集合 A5，B1，2，C1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为(C) A6 B32 C33 D34 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为 C12C13A3336，但集合 B、C 中有相同元素 1， 由 5，1，1 三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为 363

3、33 个，故选C. 4设 l、m、n 表示不同的直线，、 表示不同的平面，给出下列 4 个命题：(B) 若 ml，且 m，则 l； 若 ml，且 m，则 l； 若 l，m，n，则 lmn； 若 m，l，n，且 n，则 ml. 其中正确命题的个数是 A1 B2 C3 D4 【解析】易知命题正确；在命题的条件下，直线 l 可能在平面 内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由 n 知，n且 n，由 n及 n，m，得 nm，同理 nl，故 ml，命题正确故选 B. 5若实数 x，y 满足不等式组x3y30，2xy30，xmy10，且 xy 的最大值为 9，则实数

4、 m(C) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 A2 B1 C1 D2 【解析】令 zxy，则 yxz，z 表示斜率为1 的直线在 y 轴上的截距 当 z 最大值为 9 时，yxz 过点 A，因此 xmy10 过点 A，所以 m1.故选 C. 6 某企业节能降耗技术改造后， 在生产某产品过程中的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为y0.7xa，若生产 7 吨产品，预计相应的生产能耗为( )吨(A) A5.25 B5.15 C5.5 D9.5 【解析】由表中数

5、据，计算得 x14(3456)4.5，y14(2.5344.5)3.5， 且线性回归方程y0.7xa 过样本中心点(x，y)，即 3.50.74.5a，解得 a0.35， y 关于 x 的线性回归方程是y0.7x0.35， 当 x7 时，估计生产 7 吨产品的生产能耗为 y0.770.355.25(吨)故选 A. 7设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知SnnSn1n1，且 a6a7Sn1n1，则a1an2a1an12，即 anan1，所以数列an单调递减 因为 a6a7b0)，O 为坐标原点，若椭圆 C 上存在两个关于 x 轴对称的点A，B，使得|AB|b，且AOB 的重心为椭圆 C 的

6、一个焦点，则椭圆 C 的离心率为(B) A.22 B.33 C.12 D.13 【解析】不妨设点 A(x0，y0)(x00，y00)，因为点 A，B 关于 x 轴对称，则点 B(x0，y0)， 因为|AB|b，则 y0b2.因为AOB 的重心为椭圆 C 的一个焦点，则2x03c，即 x03c2. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 因为点 A 在椭圆 C 上，则x20a2y20b21，所以9c24a2141，即 e213，即 e33，选 B. 10将函数 f(x)sin2x3的图像向左平移 n(n0)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数

7、为偶函数，则 n 的最小值为(B) A.6 B.12 C.56 D.24 【解析】 由 f(x)sin2x3向左平移 n(n0)个单位后得到函数 ysin2（xn）3的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍后得到函数 ysinx2n3的图像，因其为偶函数，故 x0 时，2n32k，kZn12k2，kZ.故选 B. 11如图所示，点 G 是ABC 内一点，若 SAGB7，SBGC5，SAGC6，且AGxAByAC，则 xy(C) A.1118 B.23 C.1318 D1 【解析】在 GA 上取一点 E，使得GE57GA， 在 GB 上取一点 F，使得GF67GB，连接 CE，EF，F

8、C. SEGF6757SAGB307，SCGE57SAGC307，SCGF67SBGC307， G 为CEF 的重心， GEGFGC0，57GA67GBGC0， 5GA6GB7GC0，18GA6AB7AC0. AG618AB718AC，xy1318，选 C. 12设 x1，x2分别是函数 f(x)xax和 g(x)xlogax1 的零点(其中 a1)，则 x14x2的取值范围是(D) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 A4，) B(4，) C5，) D(5，) 【解析】由 f(x)xax0 得 ax1x； 由 g(x)xlogax10 得 logax1x； 因为函数 yax与 yl

9、ogax 互为反函数，图像关于直线 yx 对称， 由yx，y1x，得x1，y1，不妨设 x12，且 x21, 所以 x14x2x1x23x25，故答案选 D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13计算：tan 12 3（4cos2122）sin 12_4_ 【解析】原式sin 12 3cos 122sin 12cos 12cos 242sin（1260）12sin 484. 14设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn2ann(nN*)，则数列an的通项公式是_an2n1_ 【解析】当 n1 时，S12a11，则 a11. 当 n2 时，anSnSn12ann

10、2an1(n1)，即 an2an11，即 an12(an11) 则数列an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 an12n，即 an2n1. 15某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(1 000，2)，若每个元件使用寿命超过 1 200 小时的概率为13，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 800 小时的概率为_1627_ 【解析】三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(1 000，2)， 概率密度分布图像关于 x1 000(小时)对称，

11、 每个元件使用寿命超过 1 200 小时的概率为13，每个元件的使用寿命不超过 800 小时的概率为13， 每个元件的使用寿命超过 800 小时的概率为23， 根据此部件的结构，元件 1，2 中至少有一个正常工作，元件 3 必须正常工作， 又各个元件能否正常工作相互独立， 设三个元件能正常工作的事件分别记作 A，B，C，该部件能正常工作的事件记作 M， 则 M( A B) C，P(M)P( A B) P(C)(1P( A B) P(C)(1P( A)P( B) P(C) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 11313231627，故答案为1627. 16已知函数 f( )xx2m 与

12、函数 g( )xln 1x3xx12，2的图像上至少存在一对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是_2ln 2，2_ 【解析】原问题等价于 h( )xf( )xg( )xx2ln x3xm 在12，2 有零点， 而 h( )x2x1x31x()2x1()x1，知 h( )x在12，1 单调递减，在(1，2单调递增， 又 h( )1m2，h( )2ln 22m，h12ln 254m，由 ln 212可判断 h( )2h12， 因而 h( )x的值域为m2，ln 22m， 又 h( )x有零点有 m20ln 22m 得 m2ln 2，2. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过

13、程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 (一)必考题：共 60 分 17(本小题满分 12 分) 在ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ma，c2，n(cos C，1)，且 m nb. ()求角 A 的大小； ()若 a2，求ABC 的面积 S 的最大值 【解析】()由 ma，c2，n(cos C，1)，且 m nb 可得 2acos Cc2b，(1 分) 由正弦定理，得 2sin Acos Csin C2sin B(2 分) 又 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，则 s

14、in C2cos Asin C(4 分) 因为 sin C0，则 cos A12.又 0A2.072，(5 分) 所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关(6 分) ()由频率分布直方图知晋级失败的频率为 10.250.75， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 0.75， 所以 X 可视为服从二项分布，即 XB4，34， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 P(Xk)Ck434k144k(k0，1，2，3，4)，(8 分) 故 P(X0)C043401441256，P(X1) P(X2)C24

15、34214227128，P(X3)C343431412764， P(X4)C4434414081256， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P(Xk) 1256 364 27128 2764 81256 (11 分) 数学期望为 E(X)4343.(12 分) 或E（X）125603641271282276438125643 . 19(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD 2，底面 ABCD是直角梯形其中 BCAD，ABAD，AD2AB2BC2. ()求证：平面 PCD平面 PAB； ()线段 PD 上是否存在点 Q，使

16、得二面角 QACD 的平面角的正切值为23，如存在，试确定这个点的位置；如不存在，试说明理由 【解析】()PAPD 2，又 AD2，PDPA.(1 分) 又底面 ABCD 是直角梯形，ABAD，侧面 PAD底面 ABCD， AB平面 PAD，ABPD.(3 分) ABPAA，PD平面 PAB.(5 分) 平面 PCD平面 PAB.(6 分) ()解法一：取 AD 中点 O，连接 PO，则 POAD， 又侧面 PAD底面 ABCD，PO底面 ABCD. 假设存在点 Q，过 Q 作 QNPO 交 AD 于点 N，过点 N 作 NMAC 交 AC 于点 M，连接精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注

17、-专业 QM. PO底面 ABCD，QN底面 ABCD， QMN 就是二面角 QACD 的平面角(8 分) 从而QNMN23，设 QNa，则 MN32a. 在POD 中，有 PO1，QNPO，DNDOQNPO，即 DNa.(9 分) 在ACD 中，有 AD2，AC 2，CAD4，由正弦定理得ACD2， MNCD，从而有DNDACDMNCD即DN2DOCDMNCD232a2.(10 分) a23a，解得 a12.(11 分) 又PO1，存在符合要求的 Q 点且 Q 点为 PD 的中点(12 分) 解法二：取 AD 中点 O，连接 PO，则 POAD， 又侧面 PAD底面 ABCD，PO底面 AB

18、CD. BCAD，AOBC1，ABAD，COAD. 以 O 为坐标原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系(7 分) 则 A(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， AC(1，1，0)，PD(0，1，1) 假设存在点 Q(x，y，z)，可设PQPD，则(x，y，z1)(0，1，1)，从而 Q(0，1)， AQ(0，1，1)， 设平面 QAC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 由n1 AQ0，n1 AC0，得（1）y1（1）z10，x1y10，取 y11， 得 n11，1，11.(9 分) 取平面 ACD 法向量为 n2(0

19、， 0， 1)， 从而 cos n1， n2 n1 n2|n1|n211111112，(10 分) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 设二面角 QACD 的平面角为 ，tan 23且 0，从而 cos 311，(11分) 11111112311，解得 12，或 2(舍去)， 存在符合要求的 Q 点且 Q 点为 PD 的中点(12 分) 20(本小题满分 12 分) 如图，抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，点 M 为圆 O：x2y212与抛物线 C 的一个交点，且|MF|3. ()求抛物线 C 的标准方程； ()设斜率为22的直线 l 与抛物线 C 相交于

20、A，B 两点，若|AB|8 6，证明：直线 l 与圆O 相切 【解析】()设抛物线 C 的方程为 y22px(p0)， 联立 x2y212，得 x22px12，即(xp)2p212. 因为 x0，则 xp212p. 设点 M(x0，y0)，则 x0p212p.(3 分) 因为|MF|3，则 x0p23，即 p212p23，所以 p212p232， 化简得 p24p40，即(p2)20，则 p2， 所以抛物线 C 的标准方程是 y24x.(6 分) ()设直线 l 的方程为 x 2ym，联立 y24x，得 y24 2y4m0. 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24 2，y1y

21、24m.(8 分) 所 以 |AB| |y1 y2| 1（ 2）2（y1y2）24y1y23 3216m 3 2m 4 3. (9 分) 因为|AB|8 6，则2m2 2，即 2m8，所以 m6，此时 (4 2)216m0. 所以直线 l 的方程是 x 2y6，即 x 2y60.(11 分) 因为圆 O 的半径 r2 3，圆心 O 到直线 l 的距离 d|6|1（ 2）22 3r，所以直线精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 l 与圆 O 相切 (12 分) 21(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)aln(x1)(x1)2. ()求函数 f(x)的单调区间； ()试证对任意的 nN*，有 13225322n1n22nn1. 【解析】()函数 f(x)的定义域为(1，)，f(x)ax12(x1)2x2（a2）x1.(1分) (1)若 a20，即 a2，则 f(x)0 对 x(1，)恒成立，故 f(x)在区间(1，)上单调递增； (2 分) (2)若 a20，即 a1，即 0a2 时，f(x)0 的解为 x2a2或1xf(0)1，即 2ln(x1)(x1)21， 整理得 2xx22ln(x1)(7 分) 令 x1k(k1，2，n)，则2k1k22l