平面向量基本定理

1、【课题】平面向量基本定理【教学目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【教学重点】平面向量基本定理【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用【教学过程】1 / 16一.复习引入实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=2运算定律结合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3.向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使

2、=.4.由火箭升空和小练习:已知向量，,求作向量-2.5+3引入二.新课讲解1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组基底。注：，均非零向量； ，不唯一（事先给定）； ，唯一；时，与共线；时，与共线；时，一个平面向量用一组基底表示成的形式,称它为向量的分解.当所在直线互相垂直时这种分解称为的正交分解.2例题分析：例1.书例1变式练习:1.已知的对角线交于点C,且.如果,试用表示.2.已知中,M,N分别是DC,BC的中点且用表示.例2. 书例3.变式练习:1.如果向量与共线,求.

3、2.如果其中为基底,向量问是否存在这样的实数和,使与共线?例3. 书例2.【课堂小结】1.熟练掌握平面向量基本定理；2会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。【课后作业】【课题】平面向量的坐标运算【教学目标】1理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示；3掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。【教学重点】平面向量的坐标运算【教学难点】向量的坐标表示的理解及运算的准确性【教学过程】一.复习：1平面向量的基本定理：；2在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对

4、实数表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？二.新课讲解：1向量的坐标表示的定义：分别选取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于任一向量，（），实数对叫向量的坐标，记作其中叫向量在轴上的坐标，叫向量在轴上的坐标。说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；（2），；（3）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。2.(1)如，,则等价于.(2)已知向量，且点，则3.坐标运算:已知，(1)(2)(3)例1.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为、，求顶点的坐标。变式练习:1.已知,以为一组基底来表示向量.2.设向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量4a、4b

5、2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )3.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量,设起始P(-10,10),则5秒钟后点P的坐标为( ).例2.书例4.变式练习:设满足(1)为何值时,点P在直线上?(2)设点P在第三象限,求的范围.【课堂小结】1正确理解平面向量的坐标意义；2掌握平面向量的坐标运算；3能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题【课后作业】【课题】向量平行的坐标表示【教学目标】1掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；2能利用两向量平行的坐标表示解决有关问题。【教学重点】平面向量的坐标运算【教学难点】利用向量平行的坐标表示解题【教学过程】一.复习1.平面

6、向量的坐标运算2.向量与非零向量平行的充要条件是：.二.新课向量平行的坐标表示：设，（），且，则，.，.归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：；且设，（）例1.已知，且，求.变式练习:1.已知,且,求.2.已知,当实数为何值时,向量与平行?并确定它们是同向还是反向.例2.已知，求证、三点共线.变式练习:1.如三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,求m.2.如果,且A,B,C三点共线,求k.3.已知A(-1,6),B(3,0),在直线AB上求一点P,使4.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)(1)求AC和BD交点的坐标.(并据此法推导三角形重心的坐标公

7、式)(2)求证四边形ABCD是梯形.例3.已知是坐标原点,点满足,其中,求点的轨迹方程.【课堂小结】1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3明白判断两直线平行与两向量平行的异同。【课后作业】【课题】平面向量的数量积【教学目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义，2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.【教学重点】平面向量的数量积定义【教学难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【教学过程】一.复习引入：1向量共线定理2

8、平面向量基本定理3平面向量的坐标表示4平面向量的坐标运算5 (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=06. 物理课中，物体所做的功的计算方法：（图1）（其中是与的夹角）二.新课讲解：1向量的夹角：已知两个向量和（如图2），作，则（）叫做向量与的夹角。（图2）当时，与同向；当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作2向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即说明：两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；规定，零

9、向量与任一向量的数量积是3.数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则；当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；若是与方向相同的单位向量，则4.数量积的运算律已知a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：a·bb·a (交换律)(a)·b (a·b)a·(b) (数乘结合律)(ab)·ca·cb·c (分配律)说明：(1)一般地，(a·b)ca(b·c)(2)a·cb·c，c0ab(3)有如下常用性质：a2a2，(ab)·(cd)a·ca

10、3;db·cb·d(ab)2a22a·bb2例1. 已知：a3，b6，当ab，ab，a与b的夹角是135°时，分别求a·b.变式练习:1.已知a8，b10，ab16，求a与b的夹角.2.已知，,且的夹角为(1)求 (2)当为何值时,向量与平行?垂直?例2.已知正的边长为，设，求变式练习:1. 已知，且，求2.已知是两个非零的向量且,求与的夹角.【课堂小结】要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的几个重要性质解决相关问题.【课后作业】【课题】平面向量数量积的坐标表示【教学目标】1.掌握平面向量数量积的

11、坐标表示2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件【教学重点】面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式【教学难点】向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用【教学过程】一.复习：1两平面向量垂直的充要条件；2两向量共线的坐标表示；3轴上单位向量，轴上单位向量，则：，二.新课讲解：1向量数量积的坐标表示：设，则.从而得向量数量积的坐标表示公式：2长度、夹角、垂直的坐标表示：长度：Þ ；两点间的距离公式：若，则；夹角：；垂直的充要条件：，即（注意与向量共线的坐标表示的区别）例1.设，求变式练习:1.已知a(1，)，b(1，1)，则a与b的夹角是多少?2.已知，,且求(1) (2

12、)与的夹角.3.书例3.例2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.变式练习:1. 如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标。AOBBB解：设，则， ，即：，又， ， 即：，由或，或， 2. 在ABC中，(1，1)，(2，k)，若ABC中有一个角为直角，求实数k的值.3.已知,如果与的夹角为钝角,求的取值范围.【课堂小结】【课后作业】【课题】习题课1.在ABC中，a，b，且a·b0，则ABC的形状是( )2. 已知a，b，c两两垂直，且|a|1，|b|2，|c|3，求rabc的长及它与a，b，c的夹角的余弦.3.与向量平行的单位向

13、量是( )4.已知,是不平行于轴的单位向量,且,则=( )例1.四边形ABCD中，a，b，c，d，且a·bb·cc·dd·a，试问四边形ABCD是什么图形?例2. 已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.例3.如果且,又与是两个不同时为零的实数(1)如与向量垂直,求关于的函数关系式(2)求函数的值域.例4.设函数，其中向量，且的图象经过点（）求实数的值；（）求函数的最小值及此时值的集例5.已知点A(2,0),B(0,2),点为坐标原点.(1)如果,求与的夹角(2)如果,求的值.【课题】平面向量的应用【教学目标】1.能用向量解决几何问题2.能用向量解决简单的物理问题【教学过程】例1.如图，是的三条高，求证：相交于一点。ABCDEFH证：设交于一点，,则得，即， ，又点在