含绝对值的不等式解法练习题及答案

1、例1不等式|83x|>0的解集是A.B.R88C.x|x*yD-一8分析:|83x|>0,83xw0,即xw.3答选C.例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是A. 3B. 2C. -2D. -5分析列出不等式.解根据题意得2<|x|<5.从而5Wxv2或2vxW5,其中最小整数为5,答选D.例3不等式4V|1-3x|<7的解集为.分析利用所学知识对不等式实施同解变形.解原不等式可化为4v|3x1|W7,即4<3x1W7或一758<3x-1<-4解之得5<x&8或2&x<1,即所求不等式解集为33558x|2<x&

2、lt;1或-<x<-.33例4集合A=x|2V|62x|V5,xCN,求A.分析转化为解绝对值不等式.解.2<|62x|<5可化为2V|2x-6|<5即-5<2x-6<5,2x6>2或2x6<2,1<2x<11,即2x>8或2x<4,11,、1解之得4<x<一或一<x<2.22因为xCN,所以A=0,1,5.说明：注意元素的限制条件.例5实数a,b满足ab<0,那么A. |ab|v|a|+|b|B. |a+b|>|ab|C. |a+b|v|ab|D. |ab|v阿+|b|分析根据符

3、号法那么及绝对值的意义.解.a、b异号，|a+b|v|ab|.答选C.例6设不等式|x-a|vb的解集为x|1vxv2,那么a,b的值为A. a=1,b=3B. a=-1,b=3C. a=-1,b=31D. a= 2，3 b=2分析解不等式后比拟区间的端点.解由题意知，b>0,原不等式的解集为x|a-b<x<a+b,由于解集又为x|1vxv2所以比拟可得.ab=-1,解之得a=a+b=2答选D.说明：此题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.例7解关于x的不等式|2x1|<2m-1(mCR)分析分类讨论.1斛右2m100即mW,则|2x1|<2m1恒不成乂，此

4、时原不等2式的解集为；_1i右2m1>0即m>,则一(2m1)<2x1<2m1,所以1m<x<m.1综上所述得：当m01时原不等式解集为；2，1，一一“，当m>2时，原不等式的解集为x|1m<x<m.说明：分类讨论时要预先确定分类的标准.例8解不等式上凶>-.|x|+22分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母.解注意到分母|x|+2>0,所以原不等式转化为2(3|x|)>|x|+2,整理4一，44-44|x|<,从而可以解得Wx<,解集为x|<x<.33333说明：分

5、式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便.例9解不等式|6|2x+1|>1.分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax+b|vc或|ax+b|>c型的不等式来解.解事实上原不等式可化为6-|2x+1|>1或6|2x+1|V1由得|2x+1|<5,解之得一3vxv2;由得|2x+1|>7,解之得x>3或xv4.从而得到原不等式的解集为x|xV4或一3<x<2或x>3.说明：此题需要屡次使用绝对值不等式的解题理论.例10关于x的不等式|x+2|十|x3|va的解集是非空集合，那么实数a的取值范围是.分析可以根据对|x+2|十|x

6、3|的意义的不同理解，获得多种方法.解法一当xw2时，不等式化为x2x+3va即2x+1va有解，而-2x+1>5,.a>5.当一2vxW3时，不等式化为x+2x+3va即a>5.当x>3是，不等式化为x+2+x3<a1P2x1<a有解，而2x1>5,，a>5.综上所述：a>5时不等式有解，从而解集非空.解法二|x+2|十|x3|表示数轴上的点到表示一2和3的两点的距离之和，显然最小值为3(2)=5.故可求a的取值范围为a>5.解法三利用|m|+|n|>|m±n|得|x+2|+|x3|刁(x+2)(x3)|=5.所以a

7、>5时不等式有解.说明：通过多种解法锻炼思维的发散性.例11解不等式|x+1|>2-x.分析一对2x的取值分类讨论解之.解法一原不等式等价于：°2-x>0x+1>2x或x+1<x2x<2由得1x>或1<一22x<2即11x>-,所以1<x<2；22由得x>2.，、一1一一1综合得x>-所以不等式的解集为x|x>2.分析二利用绝对值的定义对|x+1|进行分类讨论解之.解法二因为|x + 1| =x+1,x>1x1,x<一1原不等式等价于:1>01>2x 1< 0x 1

8、>2实用文档.x>1rr1由得1即x>x>22tx<1-由得即xT>2-1所以不等式的解集为x|x>2.例12解不等式|x5|2x+3|V1.分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分_3一区间讨论，事头上，由于x=5时，|x5|=0,x=2时|2x+3|=0.3所以我们可以通过-一，5将x轴分成三段分别讨论.2£图3解当xw3时，x-5<0,2x+3W0所以不等式转化为(x5)+(2x+3)V1,得xv7,所以xv7;3当一2<x05时，同理不等式化为(x5)(2x+3)V1,1.1解之得x>w，所以-<x<5;33当x>5时，原不等式可化为x5(2x+3)V1,解之得x>9,所以x>5.1综上所述得原不等式的解集为x|x>-或x<7.3说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值是根本策略.例13解不等式|2x1|>|2x3|.分析此题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂.如果采取两边平方，即根据|a|>|b|a2>b2解之，那么更显得流畅，简捷.解原不等式同解于(2x-1)2>(2x-3)2,即4x24x+1>4x212x+9,即8x>8,得x>