13　绝对值不等式的解法

1、1.3绝对值不等式的解法1.3.1|axb|c，|axb|c型不等式的解法1.3.2|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c；|xa|xb|c.基础·初探教材整理1绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a，或x<axR|x0R不等式|x|·(12x)>0的解集是()A.B.(，0)C.D.【解析】原不

2、等式等价于解得x<且x0，即x(，0).【答案】B教材整理2|axb|c，|axb|c(c>0)型不等式的解法1.|axb|ccaxbc.2.|axb|caxbc或axbc.不等式1|x1|3的解集为()A.(0,2)B.(2,0)(2,4)C.(4,0)D.(4，2)(0,2)【解析】由1|x1|3，得1x13或3x11，0x2或4x2，不等式的解集为(4，2)(0,2).【答案】D教材整理3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法1.利用绝对值不等式的几何意义求解.2.利用零点分段法求解.3.构造函数，利用函数的图象求解.质疑·手记预习完成后，

3、请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型|axb|c与|axb|c型不等式的解法解不列不等式.(1)1|x2|3；(2)|2x5|7x；(3).【精彩点拨】本题考查较简单的绝对值不等式的解法.解答本题(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式.(3)可分类讨论去掉分母和绝对值.【自主解答】(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集

4、为x|1x1或3x5.法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5.(2)由不等式|2x5|7x，可得2x57x或2x5(7x)，整理得x2或x4.所以原不等式的解集是x|x4或x2.(3)当x220且x0，即当x，且x0时，原不等式显然成立.当x220时，原不等式与不等式组等价，x22|x|即|x|2|x|20，所以|x|2，所以不等式组的解为|x|2，即x2或x2.所以原不等式的解集为(，2(，0)(0，)2，).形如|f(x)|g(x)的不等式可借助|axb|c的解法，转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，当然|f(x)|g(x)g(x)f

5、(x)g(x).如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号.再练一题1.解下列不等式.(1)x|2x1|<3；(2)|12x|3.【解】(1)原不等式可化为或解得x<或2<x<，所以原不等式的解集是.(2)原不等式化为|2x1|3，得32x13，从而22x4，得解集为x|1x2.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法解不等式|x2|x1|4.【精彩点拨】在数轴上与2,1对应的点把数轴分成三部分，在每一部分里分别讨论不等式的解，然后把所求得三个集合取并集；也可以利用绝对值几何意义求解，另外还可以构造函数通过数形结合求得.【自主解答】法一(零点分段讨论

6、法)：(1)x2时，|x2|x1|42x1x42x5x，x2；(2)2x1时，|x2|x1|4x21x410，2x1；(3)x1时，|x2|x1|4x2x142x3x，1x.因此原不等式的解集为(2,1).法二(几何法)：x为不等式|x2|x1|4的解x是与数轴上的点A(2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点.A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解，但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点.如图，我们将B向右移动个单位至点B1，此时B1与A及B距离之和增加1个单位，同理我们将A点向左移动个单位到A1，这时A1与

7、A及B距离之和也增加一个单位，从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点(包括点A1和B1)到A，B的距离之和均小于等于4，而当x或x时，x与A，B两点的距离之和都大于4.因而原不等式的解集为.法三(图象法)：将原不等式转化为|x2|x1|40.构造函数y|x2|x1|4，即y作出函数图象(如图)，当x时，y0，所以原不等式的解集为.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式可从以下三个方面去解：(1)零点分段讨论法设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集.(2)利用|xa|的几何意义|

8、xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差.(3)(构造函数法)数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题关键.再练一题2.解不等式|x1|x2|4. 【导学号：38000009】【解】当x1时，不等式化为x12x4，解得x1；当1x2时，不等式化为x12x4，解得1x2；当x2时，不等式化为x1x24，解得2x.所以原不等式的解集为.含参数的绝对值不等式的综合问题已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在

9、(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【精彩点拨】【自主解答】(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)由(1)知a2，此时f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|，于是g(x)利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m对xR恒成立，实数m的取值范围是(，5.1.第(2)问求解的关键是转化为求f(x)f(x5)的最小值，运用分类讨论思想，利用函数的单调性求解.2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动

10、向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.再练一题3.若将“本例的条件和第(1)问”改为“f(x)|2x2|x3|且关于x的不等式f(x)|2a1|的解集不是空集”，试求实数a的取值范围.【解】易知f(x)当x3时，f(x)3x18，当3<x<1时，f(x)5x是减函数，4<f(x)<8，当x1时，f(x)3x14.因此f(x)的值域是4，).要使f(x)|2a1|的解集不是空集，必须有|2a1|4，2a14或2a14，解得a或a.因此实数a的取值范围是.探究共研型含一个绝对值的不等式的解法探究1当c<0时，|axb|c，|axb|c的解集分别是什

11、么？【提示】c<0时，|axb|c的解集为.|axb|c的解集为R.探究2如何解含绝对值的不等式？【提示】利用绝对值的意义和性质，去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组，再进一步求解.也可利用函数思想通过图象求解.探究3如何解含一个绝对值的不等式？【提示】含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式.此类不等式的简单解法是等价命题法，即当a0时，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a.当a0时，|f(x)|a无解，|f(x)|af(x)0.当a0时，|f(x)|a无解，|f(x)|af(x)有意义.(2)形

12、如|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)型不等式.此类不等式的简单解法是等价命题法，即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)，|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.(3)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式.此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)af(x)b或bf(x)a.(4)形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式.此类题的简单解法是利用绝对值的含义，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)x.已知函数f(x)|x8|x4|.(1)作出函

13、数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)2.【精彩点拨】(1)去掉绝对值，把f(x)表示为分段函数，画出f(x)的图象.(2)不等式f(x)2可以看作是函数f(x)的值比2大，结合图象求出.【自主解答】(1)f(x)函数的图象如图所示.(2)不等式|x8|x4|2，即f(x)2.由2x122，得x5，根据函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(，5).含两个绝对值的不等式的解法探究4如何解含两个绝对值的不等式？【提示】(1)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较复杂；几何法和图象法直观，但只适用于数

14、据较简单的情况.(2)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)|xa|xb|c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设ab，于是f(x)这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想.(3)形如|f(x)|g(x)|型不等式，此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.解不等式|2x1|2|x1|0.【精彩点拨】去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式.【自主解答】法一：原不等式可化为|

15、2x1|2|x1|，(2x1)24(x1)2，解得x，原不等式的解集为.法二：当x时，原不等式可化为12x2(x1)0，整理得30，无解；当x1时，原不等式可化为2x12(x1)0，整理得4x10，即x，x1；当x1时，原不等式可化为2x12(x1)0，整理得30.此时不等式的解集为x1.原不等式的解集为x|x1.构建·体系1.不等式|x2|>x2的解集是()A.(，2)B.(，)C.(2，)D.(，2)(2，)【解析】原不等式同解于x2<0，即x<2.【答案】A2.不等式|x22|2的解集是()A.(1,1)B.(2,2)C.(1,0)(0,1)D.(2,0)(0,2)【解析】由|x22|2，得2x222，即0x24，所以2x0或0x2，故解集为(2,0)(0,2).【答案】D3.不等式>的解集是()A.(0,2)B.(，0)C.(2，)D.(，0)(2，)【解析】由绝对值的意义知>等价于<0，即x(x2)<0，解得0<x<2.【答案】A4.若关于x的不等式|x3|x4|<a的解集不是空集，则a的取值范围是_. 【导学号：38000010】【解析】根据绝对值的