电路的暂态分析

1、第第4 4章章 电路的暂态分析电路的暂态分析 4.1 4.1 电压、电流初始值和终止值的计算电压、电流初始值和终止值的计算4.2 4.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 4.3 4.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 4.4 4.4 阶跃函数和阶跃响应阶跃函数和阶跃响应4.5 RC4.5 RC电路对矩形脉冲的响应电路对矩形脉冲的响应4.6 4.6 一阶电路的全响应一阶电路的全响应4.7 4.7 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法4.8 4.8 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应这一章主要讨论这一章主要讨论RCRC、RLRL、RLCRLC电路的暂态分析，即一阶电路和电

2、路的暂态分析，即一阶电路和二阶电路分析。二阶电路分析。一阶电路一阶电路：只含有一个动态元件的线性电路，用一阶线性、：只含有一个动态元件的线性电路，用一阶线性、 常系数微分方程来描述的电路。常系数微分方程来描述的电路。二阶电路二阶电路：用二阶微分方程来描述的电路。：用二阶微分方程来描述的电路。 在暂态分析中，要用第一章的内容，即电容电流在暂态分析中，要用第一章的内容，即电容电流为有限值时，则电容电压不能突变。电感电压为有为有限值时，则电容电压不能突变。电感电压为有限值时，电感电流不能突变。限值时，电感电流不能突变。4.1 4.1 电压、电流初始值和终止值的计算电压、电流初始值和终止值的计算 i(

3、0),u(0), du/dt(ti(0),u(0), du/dt(t=0),di/dt(t=0)=0),di/dt(t=0)i i和和u uR2R2跃变的原因是，电阻上的电压和电流之间的关系为跃变的原因是，电阻上的电压和电流之间的关系为线性关系：线性关系：u=iu=iR R而而C C： ; L:; L: 综上所述：在换路的瞬间综上所述：在换路的瞬间( t = 0),电容的电压和电感的电容的电压和电感的电流都不能突变应保持原值，称为连续性原理（在电流都不能突变应保持原值，称为连续性原理（在ic有界，有界，ul有界时）。有界时）。在换路时：在换路时：dtduciccdtdiLuLL例：求开关例：求

4、开关K K闭合闭合1 1、电流、电压的初始值及、电流、电压的初始值及 2 2、t=t=的稳态值。的稳态值。 已知：已知：K K闭合前电容、电感均无贮能。闭合前电容、电感均无贮能。ocodtdudtdi,3解：由已知条件可得：解：由已知条件可得： u uc c(0(0- -)=0, i)=0, i3 3(0(0- -)=0)=0例例2 2、求、求t=0t=0，t=t=时各电压、电流。已知：电路原已稳定时各电压、电流。已知：电路原已稳定. .解：解：t=0t=0- -时等效电路时等效电路4.24.2 零输入响应（零输入响应（Zero input responseZero input respons

5、e）零输入响应：零输入响应：电路在没有外加输入时的响应，仅由于非零初始状电路在没有外加输入时的响应，仅由于非零初始状 态所引起的响应。态所引起的响应。4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 （RCCircuit Zero input response） 假设电容器假设电容器C在在t t=0时刻已充满电，且时刻已充满电，且u uc c（0 0- -）=Uo=Uo。即。即t=0t=0时，时，K K1 1开，开，K K2 2闭。闭。 这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。 由数学知识可知：该微分方程的解具有下列形式：由数学知识可知：该微

6、分方程的解具有下列形式： u uc c = Ae = AeststS S、A A为待定常数将上式代入微分方程为待定常数将上式代入微分方程RCSAeRCSAestst+Ae+Aestst=0, Ae=0, Aestst（RCS+1RCS+1）=0 Ae=0 Aestst0 0 故有故有 RCS1tRCcAeu1积分常数积分常数A A，由初始条件来确定由初始条件来确定 u uc c(0)=Ae(0)=Aeo o=Uo A=U=Uo A=Uo oS为特征方程根为特征方程根固有频率固有频率 由以上可知：由以上可知：u uc c、u uR R、i ic c都是按同样的指数规律变化的，都是按同样的指数规律

7、变化的， 故在故在R0R0时，时，u uc c、i ic c、u uR R均按指数规律不断衰减，最后到均按指数规律不断衰减，最后到0 0。t 0 2 3 4 t 0 2 3 4 55u uc c U Uo o 0.368U 0.368Uo o 0.135U 0.135Uo o 0.05U 0.05Uo o 0.018U 0.018Uo o 0.007U0.007Uo o0 0RC电路的零输入响应是电容电压的初始值电路的零输入响应是电容电压的初始值U0和和RC来确定。来确定。4.2.2 RL4.2.2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 (RL(RLCircuit ZeroCircuit Ze

8、roinputinput Response) Response)0)(0)()(tAeItAeItitotLRoRL令令 时间常数时间常数 (单位为单位为s)(veIRRiutooR to;)(veRIdtdiLutoLto 零输入响应是由非零初状态产生的，它取决于电路的初零输入响应是由非零初状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。始状态和电路的特性。4.34.3 零状态响应零状态响应 （Zero State Responseero State Response） 零状态响应即零初始状态响应，这是在零初始状态下，在初零状态响应即零初始状态响应，这是在零初始状态下，在初始时刻仅由施加于电

9、路的输入所产生的响应。显然，这一响应只始时刻仅由施加于电路的输入所产生的响应。显然，这一响应只与输入有关。与输入有关。（只讨论直流输入）（只讨论直流输入）u uc c（0 0）=0=0或或 i iL L（0 0）=0=0时的响应时的响应4.3.1 RC4.3.1 RC电路的零状态响应电路的零状态响应解：由解：由KCLKCL：i ic c+i+iR R=I=Is sdtduCiccRuicR；齐次解（通解）齐次解（通解）+ +特解特解 即：即：u uc c（t t）=u=uchch+u+ucpcp输入为零时的解（齐次解）可设为输入为零时的解（齐次解）可设为: :tchAeu=RC=RC （特解）

10、即：（特解）即：u ucpcp=K =K 代入微分方程得：代入微分方程得：K=RIK=RIs s 这是一种方法这是一种方法方法方法2 2：求特解可根据：求特解可根据tt时电路的状态来定时电路的状态来定 u uc c（t t）=u=ucpcp+u+uchch t= t=时；时； u uc c（）=u=ucpcp（）+ 0 =I+ 0 =Is sR R 故微分方程的完全解为：故微分方程的完全解为： u uc c=chch+u+ucpcpstcRIAetu)(u uc c（o o）=A+RI=A+RIs s=o A=-RI=o A=-RIs s 由此可知电容电压随时间变化的全貌，它从零值开始按指数规

11、由此可知电容电压随时间变化的全貌，它从零值开始按指数规律上升趋向于稳态值律上升趋向于稳态值RIRIs s。stscRIeRItu)()(1 (veRIts故有：故有：toto)(AeIdtduciRCtscc)(1 (veRIRiutsRRtO;tO;tO;tO;)(1 (AeIeIIiIitstsscsRtOtO 从分析过程中可以看出，在从分析过程中可以看出，在K K打打开的瞬间，电容器上的电压为开的瞬间，电容器上的电压为0 0；但；但电流变化率最大电流变化率最大cIdtdusc在微分方程的完全解中的齐次解又称为固有响应，特解为强制在微分方程的完全解中的齐次解又称为固有响应，特解为强制响应。

12、响应。故：电路的完全响应为故：电路的完全响应为=固有响应分量固有响应分量+ +强制响应分量强制响应分量当当R0R0，输入为常数或为周期函数时：，输入为常数或为周期函数时： 完全响应完全响应=暂态响应暂态响应+ +稳态响应。稳态响应。4.3.2 RL4.3.2 RL电路的零状态响应电路的零状态响应 （请同学们自己看）（请同学们自己看）零状态响应小结：零状态响应小结：1 1）)1)()(teftf一般形式一般形式2）f f（t t）取决于）取决于u uc c（），），i iL L（）和）和值值3 3）R0R0时，响应，（固有时，响应，（固有+ +强制强制= =暂态暂态+ +稳态）稳态）4）输入增大

13、输入增大K K倍，响应增大倍，响应增大K K倍。倍。 4.4 4.4 阶跃函数和阶跃响应阶跃函数和阶跃响应(Step function and step Response)(Step function and step Response) 4.4.1 4.4.1单位阶跃函数的意义单位阶跃函数的意义 4.4.2 4.4.2 延时单位阶跃函数延时单位阶跃函数 有了阶跃函数的定义，我们可以把具有有了阶跃函数的定义，我们可以把具有t=0t=0时刻的开时刻的开关变化电路改画成：关变化电路改画成：例：例：4.4.3 4.4.3 单位阶跃响应单位阶跃响应 零状态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应，零状

14、态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应，用用S S（t t）表示。）表示。若设若设i is s（t t）=I=Is s1 1（t t）表示信号在表示信号在tOtO时刻加上。时刻加上。则：则：)(1)1()(teRItutsc可以写成：可以写成：u uc c(t(t)=I)=Is sS(t)S(t)例题：例题：已知：已知：p(t)=Ip(t)=Is s1(t)-1(t-t1(t)-1(t-to o)=p(t)+p(t)=p(t)+p(t)显见：显见：p(t)=Ip(t)=Is s1(t); 1(t); p(t)=-Ip(t)=-Is s1(t-t1(t-to o) )4.54.5 RC电路对

15、矩形脉冲的响应电路对矩形脉冲的响应 根据输入矩形波的脉冲宽度根据输入矩形波的脉冲宽度t tp p和电路的时间常数和电路的时间常数，分为，分为RCRC微分电路和积分电路。微分电路和积分电路。4.5.1 RC4.5.1 RC微分电路：微分电路： （C C上无贮能上无贮能) )电路结构如图所示，构成微分电路的条件：电路结构如图所示，构成微分电路的条件：由电路可知：由电路可知：dtduRCRtituc)()(2dtdutuc)(2我们需要：我们需要：u1(t)uc(t) u1(t) = uc(t) + uR(t)则要：则要： uc(t) uR(t) 上式即满足上式即满足即：即： 要成立要成立Rtidt

16、tict)(.)(1i(t)i(t)dtdtRCRCi(t) tpi(t) IIs sRCRC u u1 1(t)u(t)uc c(t) (t) 即即 u uc c(t)u(t)uR R(t(t) )则有：则有： 成立成立, ,一般情况下一般情况下tpotiRCdtt)()(dttduRCtu)()(12pt )5131(作用：突出了输入信号变化的部分。作用：突出了输入信号变化的部分。4.5.2 RC 4.5.2 RC 积分电路积分电路在零初始条件下在零初始条件下：dtuRCdtRucdttictuRR11)(1)(2要使：要使：u u2 2与与u u1 1成积分关系则有成积分关系则有u u1

17、 1uuR R , ,u1(t) = uc(t) + uR(t)即：即：u uR R(t)u(t)uc c(t(t) )dtticRti)(1)(只要只要RCRC有足够大上式即可满足。故有有足够大上式即可满足。故有dttuRCtu)(1)(124.64.6 一阶电路的全响应一阶电路的全响应4.6.1 完全响应完全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 此微分方程解为：此微分方程解为：uc(t)=uch(t)+ucp(t)代入初始条件：代入初始条件：A+IsR=Uo A=Uo-IsR故可得：故可得：)()()(VRIeRIUtustsoct0RIAest当当:Is=0时时 零输入零输入

18、当当:Uo=0时时 零状态零状态故上式可写成：故上式可写成：toceUtu)()1 ()(tsceRItu)1 ()(tstoceRIeUtu4.6.2 完全响应完全响应=固有响应固有响应+强制响应强制响应 （有条件的相等）（有条件的相等）RIeRIUtustsoc)()(固有（暂态）固有（暂态） + 强制（稳态）强制（稳态）全响应全响应=零输入零输入+零状态零状态4.74.7 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法指数曲线由三个值所确定：指数曲线由三个值所确定：a.起点，即参考时间（起点，即参考时间（t=0)t=0)的纵坐标的纵坐标f(0f(0+ +) )点。点。b.终点，即终点，即t=t=时

19、指数曲线最终将趋近的值时指数曲线最终将趋近的值f()f()点。点。c.由初始点到终点变化的快慢，即时间常数由初始点到终点变化的快慢，即时间常数。由零输入响应可得通式由零输入响应可得通式: :teoftf)()(由零状态响应可知：由零状态响应可知：)1)()(teftf由全响应可知（零输入由全响应可知（零输入+ +零状态）零状态）)1)()0()(ttefeftf整理得：整理得：teffftf)()0()()(这就是三要素公式。这就是三要素公式。f=(0f=(0+ +) )表示电压、电流的初始值。表示电压、电流的初始值。f()f()表示电压、电流的稳态值。表示电压、电流的稳态值。表示时间常数表示

20、时间常数=R=Ro oC C或或oRLR0-由动态元件看进去的代维南等效电路。由动态元件看进去的代维南等效电路。例例1 1：已知：已知u uc c(0)=0(0)=0，求，求t0t0时的时的u uc c(t(t)=?)=?代入三要素公式代入三要素公式teffftf)()0()()()(1) 10(1)(2Veetuttc t0t0例例2 2、（微分方程、三要素法）、（微分方程、三要素法）由由KCL（节点（节点a）得：i1=4-iL 代入下式4141LiLudtdiLuLL42141LLidtdi得：471LLidtdi0171S特征方程： S=-7kstLiAeti)(iLp)K 代入微分方程

21、，可知代入微分方程，可知k=4 i(0)=A+4=0 A=-4故：故： t0)(1 ( 444)(77AeetittL是一个零状态响应。是一个零状态响应。 下面用三要素求解：下面用三要素求解： 已知：已知：iL(0)=0 iL()=4A 由三要素公式：由三要素公式：tLeti)40(4)()1(4te求求，（求，（求R Ro o）（外加电压法）（外加电压法）例例3 3、已知、已知 u us s(t)=1(t)(t)=1(t)， 且且 u uc c(o)=5(v)(o)=5(v)，求，求u uo o(t(t) )，t0t0解：把电路视为二个独立的部分，分别求解：解：把电路视为二个独立的部分，分别

22、求解： u uo o(t(t)=-0.5)=-0.52u2uc c(t)(t) 先求出先求出u uc c(t(t) ) ，利用三要素法：，利用三要素法：u uc c(o(o)=5(V)=5(V)(52251)(vuctcetu278.052552)()(52352278.0Vett0t0)(52352()(278.0Vetuto=-(0.4+4.6e=-(0.4+4.6e-0.278t-0.278t)(v) t0)(v) t0 例例4 4、已知、已知i i（o o）=2A=2A，求，求to to ，u u（t t）解：这是一个零输入响应，解：这是一个零输入响应，把电路结构换一下。把电路结构换一

23、下。故：故：i iL L(t(t)=2e)=2e-2t-2t A t0 A t0)(16822VeedtddtdiLuttLLt0t0例例5 5：若：若t=0t=0- -时，电路处于稳态，试求时，电路处于稳态，试求i(t)i(t)及及u(t)u(t)。t0t0解：利用三要素法，依题意先求出解：利用三要素法，依题意先求出t=0t=0- -时时u uc c(t(t) )， i iL L(t(t) )求求t=t=时值：时值：开关闭合后，电路变成两个独立的部分，开关闭合后，电路变成两个独立的部分，2 2个个。RCRC：1=100k1=100k1F=101F=10-1-1s s，RLRL：)(1010)

24、51/3(101004332SRL故：故：u uc c(t(t)=45e)=45e-10t-10t(v) t0(v) t0 i iL L(t(t)=-60+-15+60e)=-60+-15+60e-10+4t-10+4t(mA)(mA)(4560410mAett0t0)(45.0)(10mAedtduCtitc)(45)(410VedtdiLtutt0t0t0t04.84.8 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。有三种类型：用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。有三种类型：看一个看一个RLCRLC串联电路串联电路 (RLC(RLCSriveseSr

25、ivese Circuit Zero input response) Circuit Zero input response)在电路中以在电路中以uc为求解对象为求解对象由数学知识可知：此二阶方程的解由其特征方程根来定由数学知识可知：此二阶方程的解由其特征方程根来定故有特征方程为：故有特征方程为：012LCSLRS显见这一方程有二个根显见这一方程有二个根S1、S2 LCLRLRS1)2(222, 1由于由于R、L、C参数不同，参数不同，S1、S2可能出现三种不同的情况。可能出现三种不同的情况。先讨论第一种情况先讨论第一种情况 （过阻尼）（过阻尼）1、过阻尼、过阻尼：LCLR1)2(2时；时；

26、即：即：CLR42时S1.S.S2为不相等的负实数为不相等的负实数微分方程的解答为：微分方程的解答为：tstscekektu2121)(其中其中K1、K2由初始条件确定由初始条件确定解得：解得：ocVSSScoiouSSSK21221211)()(11211212)()(1SSVScoiouSSSKOc设初始条件设初始条件 uc(0)=Vo i(0)=0则有：则有：OVSSSK212111212SSSVKo; )()(211221AeeSSSSCVdtductitstsoct0)(211221VeSeSSSVtstsotstsceKeKtu2121)(t0由：由： （韦达定理）（韦达定理）LC

27、SS121* * t tm m的大小决定于电路的参数。的大小决定于电路的参数。在在t=tt=tm m时，时， u uL L=0=0由由u uL L的表达式的表达式 ：故有：故有： (t=tm),0dtdi0)(212112tstsoLeSeSSSVu02121tstseSeS)(1221sstmeSS取对数：取对数： 电流的最大值出现在换路的瞬间。电流的最大值出现在换路的瞬间。整个过程，能量的转换可以用下图表示。整个过程，能量的转换可以用下图表示。)(2112SStSSmn12211SSSStnm2.Critically damped 2.Critically damped 临界阻尼临界阻尼当

28、当S S1 1.S.S2 2为相等的负实数时，当为相等的负实数时，当 时时固有频率为相等的负实数。固有频率为相等的负实数。微分方程解为：微分方程解为： u uc c(t(t)=(K)=(K1 1+K+K2 2t)et)estst积分常数由初始条件确定积分常数由初始条件确定：u uc c(0)=V(0)=Vo o,i(0)=0 ,i(0)=0 ， u uc c(0)=K(0)=K1 1=V=Vo oLCLR1)2(2tstsctekektu2121)(LRSSS221CoiSKSKdtdutc)(0210故有：故有：K K1 1=V=Vo o , K , K2 2=-V=-Vo oS S)()1

29、 ()()(VestVestVVtustostooct0t0)()1 ()(VestVdtdiLtustoLt0t0)()(AteLVdtductistocL)()(VteVLRRitustoRt0t0；t0t0 由电路各式可以看出，它们均单调衰减而最后趋于由电路各式可以看出，它们均单调衰减而最后趋于0，所以仍属，所以仍属于非振荡类型。但这是一个临界点。（振荡和非振荡）于非振荡类型。但这是一个临界点。（振荡和非振荡）所以它们的变化曲线类似。所以它们的变化曲线类似。3、欠阻尼、欠阻尼 (Under damped ) S S1 1. .2 2=-=-jdjdtstscekektu2121)(ttj

30、tjtjtjeekekekekdddd21)(2)(1u uc c(t)=e(t)=e-t-t(ACon(ACond dt+BSint+BSind dt t) ) 其中：其中：A=KA=K1 1+K+K2 2 B=j(K B=j(K1 1-K-K2 2) )式中：式中： ；22BAK)(1ABtgA、B、可由初始条件确定。可由初始条件确定。 u uc c(0)=V(0)=Vo o i(0)=0 i(0)=0u uc c(0)=A=V(0)=A=Vo o u uc c(t)=e(t)=e-t-t(ACon(ACond dt+BSint+BSind dt t)0)(coiBAdtdudotcodV

31、B1u uc c(t(t) )的曲线如下：的曲线如下： 当电路中当电路中R较小时，符合较小时，符合 这一条件时是振荡性的，称这一条件时是振荡性的，称为欠阻尼情况。为欠阻尼情况。理想情况理想情况R=0。无损耗的：。无损耗的：=0这时两个特征方程根是虚数这时两个特征方程根是虚数 S1=jjo o S S2 2=-j=-jo ouc(t)=KCon(o ot-t-)是一个等幅振荡。由贮能元件确定是一个等幅振荡。由贮能元件确定o o称电路的谐振角频率。称电路的谐振角频率。CLR2为衰减系数。为衰减系数。d d衰减振荡的角频率衰减振荡的角频率。 习题课习题课1、求网络结构、求网络结构 已知：电源作用一阶

32、网络时所到的响应如图所示。已知：电源作用一阶网络时所到的响应如图所示。解：（解：（1）看波形：由数学上可知：）看波形：由数学上可知：totdt满足这种关系的电路是一个纯电容元件满足这种关系的电路是一个纯电容元件dttictu)(1)(2)(2)由波形可知，充放电过程。由波形可知，充放电过程。 设想一种结构设想一种结构（3）从波形上看，输出电压在此从波形上看，输出电压在此0 0点点3V3V。能满足此要求是电感。能满足此要求是电感。 电感电压可以跃变电感电压可以跃变. 0tt1 i(t)=1A u(0+)=3(v) 由波形可知由波形可知=1s =1s 可取可取R=3 R=3 ； 取取L=3HL=3

33、H t1 t1时时 i(t) =0 i(t) =0 电感放电。通过电感放电。通过R R上电流反向。由负方向衰减到上电流反向。由负方向衰减到0 0 放电时，通过放电时，通过R R上电流反向（电感放电以电流的形式）上电流反向（电感放电以电流的形式）2 2、求、求t0t0时时u uo o(t(t) )的响应，零输入零状态全响应。的响应，零输入零状态全响应。解：解：u uo o(t)=u(t)=uc c(t(t) ) 显见：显见：u uo o(0(0- -)=u)=uc c(0(0- -)=V)=V2 2=R=Ro oC C=(1+)R=(1+)R2 2C C由三要素法：由三要素法：toeRRVVVRRVVtu)()()(211222112)