求导数的一般方法与高阶导数

1、高等数学高等数学主要内容n一、基本初等函数的导数一、基本初等函数的导数n二、函数四则运算求导法则二、函数四则运算求导法则n三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则n四、隐函数求导法则四、隐函数求导法则高等数学高等数学一、常数和基本初等函数的导数一、常数和基本初等函数的导数 )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(xxxxxxxC )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc lnxaaxeaxln/1x/121/1

2、x 21/1x )1/(12x )1/(12x 高等数学高等数学2(1) ( )( )( )( );(2) ( )( )( ) ( )( )( );( )( ) ( )( )( )(3)( ( )0).( )( )f xg xfxg xf xg xfx g xf x g xf xfx g xf x g xg xg xgx 二、函数的四则运算的求导法则二、函数的四则运算的求导法则定理定理 如果函数如果函数( ),( )f xg x在点在点x处可导，则它处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处可处可导，并且导，并且高等数学高等数学证证(3)(3),0

3、)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 高等数学高等数学hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf高等数学高等数学推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()(

4、)()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf高等数学高等数学vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu 推论推论uCCu )(高等数学高等数学例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2 求函数求函数3coslgyxx.cos x 的导数的导数.解解13( sin )lg3cosln10yxxxx 3cos3sinlgln10 xxxx 高等数学高等数学例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossi

5、ncos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得高等数学高等数学例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得高等数学高等数学定理定理3).()(,)(,)()(,)(xgufdxdyxxgfyxguufyxxgu 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对

6、中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则高等数学高等数学推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 高等数学高等数学例例6 6.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .3的导数的导数求函数求函数xey 解解,3xueyu dxdududydxdy .33223xexexu 例例5 5高等数学高等数学例例7 7

7、.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解xu2109 xx2)1(1092 .)1(2092 xxdxdududydxdy 1,210 xuuy高等数学高等数学例例6 6.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解xxsincos xcot .3的导数的导数求函数求函数xey 解解.323xex 3xe xxee )()(3 x)sin(ln xxsin1 xx1)(ln )(sin x)(3 xe例例5 5高等数学高等数学例例7 7.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解92)1(10 xdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx91010)(xx )1(2 x

8、熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。由外及里、逐层求导。 高等数学高等数学复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。 如设如设 那么对于复合函那么对于复合函数数 ，我们有如下求导法则：，我们有如下求导法则： ( ),( ),( ),yf u uv vx ( )yfx vxuxyyuv( )( )( )yf uvx 例例8求求 的导数的导数2tan2xy 解：解： 设设 ,2uy 2,tanxvvu由由 得得 ( )( )( )yfuvx2sec2tan21sectan2)2

9、(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy 即即高等数学高等数学例例9 9.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy22122xax.22xa )0( a2222222222121xaaxaxxa 222xa x20 22a2)(1ax a1xx21)( 211)(arcsinxx 高等数学高等数学例例1010.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy11212 xy)2(3112 xxx例例1111.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解xey

10、1sin xe1sin .1cos11sin2xexx x2 )2(31 x)1(sin xx1cos )1( x xe1sin.1cosx 21x 高等数学高等数学四、隐函数的导数四、隐函数的导数1.1.定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.高等数学高等数学例例121222

11、22xyab求求由由方方程程+=1+=1所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数y.y 解解 将方程两边分别关于将方程两边分别关于x求导，求导，22220 xyyab 得得22b xya y 高等数学高等数学例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解:,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,

12、xy 即即显然通过原点显然通过原点.高等数学高等数学例例1414.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 高等数学高等数学例例1515生物群体总数的生长规律为生物群体总数的生长规律为011rtlxxle ( )xx t 为生物群体在为生物群体在t t时刻的总数，时刻的总数，0lrx、 、均为常数，且均为常数，且0.l 试求生长率试求生长率( ).x t 高等数学

13、高等数学解解 原方程原方程整理得整理得0(1)0rtxlexxl 方程两边对方程两边对t求导求导0rtrtxrlexlex1rtrtrlexxle 02(1)(1)rtrtx rll ele 高等数学高等数学参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t高等数学高等数学),()(1xttx 具有单调

14、连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx高等数学高等数学例例9 9解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax高等数学高等数学.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程

15、为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即高等数学高等数学例例1010.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1111.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 高等数学高等数学五、高阶导数的定义五、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度

16、加速度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 高等数学高等数学记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以

17、上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf高等数学高等数学高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1212).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 高等数学高等数学例例1313.),()(nyRxy求求设设 解解1

18、xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 高等数学高等数学例例1414.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得高等数学高等数学( )( )xtyt )(22dxdydxddxyd ( )()( )dtdxdttdt )(1)()()()()(2tttttt

19、.)()()()()(322tttttdxyd 即即例例15 15 求函数求函数的二阶导数的二阶导数.解解高等数学高等数学小结小结1.注意注意);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;高等数学高等数学3.已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或或初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.4.任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本高等数学高等数学练习练习.,00 xyxdx