《第13章-三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

1、 安徽滁州市第五中学胡大柱 打造中国一流的学习资料?第13章 三角形中的边角关系、命题与证明?学习要求：1理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。2掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。3掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。4了解三角形的稳定性。知识要点：一、三角形中的边角关系1三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。注意：三角形的中线平分三角形的面积。2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。   注意：判断三条

2、线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。3三角形各角之间的关系：    三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。    三角形的外角和等于360°每个顶点处只取一个外角；    三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；    三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：三角形按角的关系可以如下分类：5三角形具

3、有稳定性。知识结构：二、命题与证明1判断一件事情的句子是命题，疑问句、感慨句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。2命题都可以写成：“如果，那么。的形式。为了语句通顺往往要加“字，但不改变顺序。3命题由题设、结论两局部组成。“如果后面的是题设，“那么后面的是结论。4命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。5将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。6公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。7定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。8命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：1两直线平行同位角相

4、等。同位角相等两直线平行。2两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。3角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。4线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。5三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。6三角形全等：“SSS、“SAS、“ASA。全等三角形的对应边相等，对应角相等。7等腰三角形的判定与性质。8直角三角形的判定与性质。9反证法假设，推理，矛盾，结论。?第13章 三角形中的边角关系、命题与证明?练习题一、填空题：1三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，那么第三边是_ _，这个三角形是_ _三角形。2三角形两边的长分别为1和

5、2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_ _。3三角形的三边长分别为，那么的取值范围是_ _。4三角形的三边为，那么的取值范围是_ _。5a，b，c为ABC的三条边，化简|bac|_ _。6在ABC中，ABAC，AD是中线，ABC的周长为34cm，ABD的周长为30cm， 求AD的长。7如图，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周长为28 cm，那么DB_ _。8. 等腰三角形两边长分别为4和9，那么第三边的长为_ _。9. 等腰三角形的周长为20cm， 1假设其中一边长为6cm，那么腰长为_ _；2假设其中一边长为5cm，那么腰长为_ _。10等腰ABC中，

6、ABAC，BC6cm，那么ABC的周长的取值范围是_ _。11等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两局部，那么此三角形的底边长为_ _。12等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两局部，那么此三角形的底边长为_ _。13写出“等腰三角形两底角相等的逆命题_。14一个等腰三角形两内角的度数之比为14，那么这个等腰三角形顶角的度数为_ _。15三角形的最小角不大于_ _度，最大角不小于_ _度。16三角形的三个内角中至少有_ _个锐角，三个外角中最多有_ _个锐角。17在ABC中，假设C2AB，那么C_ _度。18在ABC中，A BC，那么B_ _。

7、19如果ABC的一个外角等于150°，且BC，那么A_ _。20如图，120°，225°，A50°，那么BDC的度数是_ _。21如图，在ABC中，A80°，ABC和ACB的外角平分线相交于点D，那么BDC_ _。22纸片ABC中，A65°，B75°，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内如图，假设120°，那么2的度数为_ _。第20题图 第21题图 第22题图23纸片ABC中，A65°，B75°，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外如图，假设220°，那么1的度数为_ _。24认真阅

8、读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。探究1：如图1，在ABC中，O是ABC与ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现BOC90° A，理由如下：BO和CO分别是ABC和ACB的角平分线，1ABC，2ACB12 (ABCACB)又ABCACB180°A12 (180 °A)90°ABOC180°12180°90°A90°A。探究2：如图2中，O是ABC与外角ACD的平分线BO和CO的交点，试分析BOC与A有怎样的关系？请说明理由。探究3：如图3中，O是外角DBC与外角ECB的平

9、分线BO和CO的交点，那么BOC与A有怎样的关系？只写结论，不需证明。结论： 。 25如图，A80°，1假设点O为两角平分线的交点，那么BOC_ _；2假设点O为两条高的交点，BOC_ _。26. 如图，ABC的面积等于，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE2EC，O为DC与BE交点，假设DBO的面积为，CEO的面积为，那么_ _。27如图，ABC的B的外角的平分线与C的外角的平分线交于点P，连接AP。假设BPC50°，那么PAC_ _度。第25题图 第26题图 第27题图202728如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，假设BPC40&

10、#176;，那么CAP_ _度。二、选择题：1在以下长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的 A7cm B4cm C3cm D10cm2假设ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，那么这个三角形的最大边长为 A.7 B.6 C.5 D.43假设ABC的三边之长都是整数，周长小于10，那么这样的三角形共有 A6个 B7个 C8个 D9个4三角形的三边分别为3，12a，8，那么a的取值范围是 A.6a3 B.5a2 C.2a5 D.a5或a25. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2021，那么满足条件的三角形的个数是   

11、    A. 3               B. 4               C. 5               D. 66四条线段的长度分别

12、为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为A.4 B.3 C.2 D.17等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两局部，那么此三角形底边之长为 A7 B11 C7或11 D不能确定8一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形一定是 A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形9一个三角形三个内角度数的比是156，那么其最大内角的度数 A60° B75° C90° D120°10如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形11三角形的一个外角大于相邻的一个内角，那么

13、它是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定12在ABC中，如果AB90°，那么ABC是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形13. 三角形中，最大角的取值范围是    A.         B.  C.        D. 14在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，那么A的度数为 A30° B36° C45° D72°

14、15直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是 A.45° B.135° C.45°或135° D.以上答案都不对16如图，ABC中，A50°，点D、E分别在AB、AC上，那么12的大小为 A130° B.230° C.180° D.310°17如图，A32°，B45°，C38°那么DFE等于 A.120° B.115° C.110° D.105°ADB1CE2第16题图 第17题图18在ABC中，B50°，ABAC，那么

15、A的取值范围是 A0°A180° B0°A800C50°A130° D80°A130°19假设、是三角形的三个内角，而，那么、中，锐角的个数的错误判断是 C A可能没有锐角 B可能有一个锐角C可能有两个锐角 D最多一个锐角20如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形21在ABC中如图1，假设P点是ABC和ACB的角平分线的交点，那么P90°A；如图2，假设P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，那么PA；如图3，

16、假设P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，那么P90°A。上述说法正确的个数是 A0个 B1个 C2个 D3个22. 如下图，在ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE 的中点，且，那么S阴影等于 A.2cm2 B.1cm2 C 2 D 223如图，ABC为直角三角形，C90°，假设沿图中虚线剪去C，那么12等于 A315° B270° C180° D135°5. 如图，在ABC中，D是BC上一点，假设BC，13，那么1与2的关系为    A. 122   

17、0;                B. 212180°C. 132180°         D. 312180°24. 如图，在ABC中，D是BC上一点，假设BC，13，那么1与2的关系为        A. 122     &

18、#160;              B. C.          D. 第22题图 第23题图 第24题图25如图，把ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部A/的位置，那么A、1与2的数量关系，结论正确是A12A B1222AC212A D12A226如图，ABC的两个外角的平分线相交于D，假设B50°，那么ADCA60° B80° C65&#

19、176; D40°27如图，ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，假设BPC35°，那么CAPA.45° B.50° C.55° D.65°第25题图 第26题图 第27题图三、解答以下各题： 1ABC的三边长分别为4、9、x，求x的取值范围；求ABC周长的取值范围；当x为偶数时，求x；当ABC的周长为偶数时，求x；当ABC周长是5的倍数时，求x；假设ABC为等腰三角形，求x。2ABC的三条边为整数，且，求的值。3对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出以下五个论断：1ab；2bc；3ab；4ac；5ac。以其中两个论断为

20、条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。4证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。5有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？6如图，在ABC中，A96°，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于，BC与CD的平分线相交于，依此类推，BC与CD的平分线相交于，那么的大小是多少？7在ABC中，A50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求BOC的度数。 81如图a，在ABC中，CB，ADBC于D，AE平分BAC，那么EAD与B，C有何数量关系？    2如图b，AE平

21、分BAC，F为其上一点，且FDBC于D，这时EFD与B、C又有何数量关系？    3如图c，AE平分BAC，F为AE延长线上一点，FDBC于D，这时AFD与B、C又有何数量关系？    9如图，P为ABC内任意一点，求证：BPC A；BPCABPAACP；ABACPBPC。10. 如图中的几个图形是五角星和它的变形  1图1中是一个五角星，求ABCDE。  2图1中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？即CADBCDE如图2，说明你的结论的正确性。  3把图2中点C向上移动到BD上，

22、五个角的和即CADBACEDE有无变化？如图3，说明你的结论的正确性。11如图ABC中，B和C外角平分线相交于点P。1假设ABC30°，ACB70°，求BPC度数。2假设ABC，BPC，求ACB度数。12ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是ABC边上的两点。1如果纸片沿直线脚折叠，使点A正好落在线段AC上，如图1，此时A与BDA的关系是 ；2如果纸片沿直线DE折叠，使点A落在ABC的内部，如图2，试猜测A和BDA、CEA的关系是 BDA+CEA=2A；3如果纸片沿直线DE折叠，使点A落在ABC的外部，如图3，那么此时A和BDA、CEA的关系是 BDA-CEA=2A，请说

23、明理由。13如下图，BE、CD交于A点，C和E的平分线相交于F。1试求：F与B，D有何等量关系？2当BDF24x时，x为多少？14假设ABC的三边之长都是整数，周长小于10，那么这样的三角形共有几个？15有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“ABC的三边长分别是a，b，c。且a、b、c的值满足等式|bc2a|bc520，求b的取值在什么范围？。你能解答这道题吗？16在 ABC中，ABC ，且A4C，求B的范围。17在ABC中，A是最大角，C是最小角，且A2C，求C的取值范围。?第13章 三角形中的边角关系?练习题答案一、填空题：18，等腰。 22。 3。 4 52b2c。 6AD13c

24、m。 78cm； 8. 9。9.16cm或7cm；2cm。 10周长12。 111。 1210厘米或厘米。 13有两个角相等的三角形是等腰三角形； 1420°或120°； 1560，60； 162，1； 17120°； 1860°； 1930°或120°； 2095°； 2150°； 22解：如图，CEFCFECABC，CEFCFEAB85°55°140°，又将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内，CEFCFCEFCFE140°，CECCEC140°140°

25、280°，120°，2180°×2CECCEC1360°280°20°60°故答案为：60。23解：如图，A65°，B75°，C180°AB180°65°75°40°；又将三角形纸片的一角折叠，使点C落在ABC外，CC40°，而325C180°，54C440°，220°，320°440°40°180°，3480°，1180°80°100&

26、#176;。故答案为100。24BOCA，BOC90°A； 25. 1130°；2100°或80°； 26. 2； 27解：延长BA，做PNAD，PFBA，PMBC，设PCDx°，CP平分ACD，BCPPCDx°，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，APC50°，BAPPACx50°，ABCBCDBAC2x°x°50°x°50°100°，CBF100°，在RtPFB和RtPMB中，PAPA，PMPF，RtPFBRtPMB，

27、FAPPAC40°。2850°。二、选择题：1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26C 27C。考点：三角形内角和定理。分析：根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案。解：延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCDx°，CP平分ACD，ACPPCDx°，PMPN，BP平分ABC

28、，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC35°，ABPPBCx35°，BACACDABC2x°x°35°x°35°70°，CAF110°，在RtPFA和RtPMA中，PAPA，PMPF，RtPFARtPMA，FAPPAC55°。应选C。三、解答以下各题：15x13；18ABC的周长26；当x为偶数时， x6、8、10、12；当ABC的周长为偶数时， x7、9、11；当ABC周长是5的倍数时，x7、12；假设ABC为等腰三角形，x9。2，那么整数。3答案不惟一，如果，那么；如果，那么；如果，那么

29、等。4要画图，写、求证、证明。56种4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、1263°。7BOC50°或130°；8解：1ADBC，ADC90°， CAD90°C AE平分BAC， EACBAC，BAC180°B CEAC180°B C90°B C，EADEAC CAD90°B C90°C (CB)。    2如图b，过A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，FDBC，AGCFDG90°，FDAG，EFDEAG，EFD(CB)。    3如图c，过点A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，FDBC，AGBFDC90°，FDAB，AFDEAG，AFD(CB)。    说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像此题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。9延长BP交AC于D。BPCPDCA；BPCPDCACP；PDCAABP；BPCAABPACP。ABADBD。PDDCPC。ABADPDDCBDPC。