拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

1、4.11 4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 主要内容主要内容 重点：重点：从函数拉氏变换求傅氏变换从函数拉氏变换求傅氏变换 难点：难点：判断函数傅氏变换的存在判断函数傅氏变换的存在引言引言从函数拉氏变换求傅氏变换从函数拉氏变换求傅氏变换 演演变变为为拉拉氏氏变变换换作作傅傅氏氏变变换换对对其其乘乘以以一一个个衰衰减减因因子子可可积积条条件件不不满满足足绝绝对对是是针针对对时时我我们们在在引引出出拉拉氏氏变变换换 , , , tetf )()()(jstsFtuetfFtfL 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系右右半半平

2、平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s 左左半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 一、引言一、引言傅氏变换与拉氏变换的区别和联系傅氏变换与拉氏变换的区别和联系 tjs 双边拉氏变换双边拉氏变换 tjs 傅氏变换傅氏变换 tjs0 单边拉氏变换单边拉氏变换0)(0 tft当当0 )( jsetutfFtfLt 1.1.O j 平平面面右右半半边边收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s )0()()( tuetft ssF1 : 其其拉拉氏氏变变换换。求求不不存存在在，不不能能由由)()()( FsFF : 收敛域收

3、敛域Ot tuet 2.2.0 j Ot tuet 平平面面左左半半边边收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 )0()( tuetft衰减函数，傅氏变换是衰减函数，傅氏变换是存在存在: : 1ssF 1)( jjF :收收敛敛域域 jssFjF )( 3.3.收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 。异函数项异函数项因为傅氏变换中包括奇因为傅氏变换中包括奇关系关系之间不再是简单的置换之间不再是简单的置换与与是存在的，是存在的，,sFFsF tutf ， 1ssF jjF1)()( 例如：例如：NnnnajsKsFsF1)()( 若收敛坐标若收敛坐标0 0=0=0，F(sF(s) )

4、的收敛域为的收敛域为ReRes s0 0，F(sF(s) )的收敛域不包含的收敛域不包含jj轴，故轴，故F(sF(s) )在在jj轴上不收敛。若令轴上不收敛。若令s=js=j，则则F(sF(s) )不等于不等于F(jF(j) )。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为为m m个一阶极点个一阶极点jji i(i(i=1, 2, =1, 2, , m), m)。将。将F(sF(s) )展开为部分分式，展开为部分分式，表示为表示为 式中，式中，F Fa a(s(s) )表示左半平面极点对应的分式。令表示左半平面极点对应的分式。令F Fa a(s(s) )的原函数的原

5、函数为为f fa a(t(t) )，则，则F(sF(s) )的原函数为的原函数为 )()()()()()(11tftfatueKtfsFLtfMNntjnanNntjnMtueKtfn1)()( 的傅里叶变换为的傅里叶变换为)(tf)()()()(tfFtfFtfFjFMajsaasFtfF)()(由于由于 是是 的原函数，并且的原函数，并且 的极点在左半面，故的极点在左半面，故)(tfa)(sFa)(sFa其中其中根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于(t)的傅里的傅里叶变换为叶变换为， 因此得因此得 j1)()()()(1nNnnjsKsF

6、jFNnnnnMjjktfF11)()(NnnnNnnnjsaNnnnnjsaKjjKsFjjKsFjF111)()(1)()()(例例 : :已知已知f(tf(t)=e)=e-2t-2tcos tcos t(t(t) )的单边拉氏变换为的单边拉氏变换为 1)2(2)(2sssF求求 傅里叶变换傅里叶变换)(tf).(jF解解 F F（S S）的收敛坐标）的收敛坐标 ，即，即 。因此。因此00201)2(2)(2jjjF另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于21)(2jteFt所以有所以有1)2(22) 1(12) 1(121cos)()(22jjjj

7、tteFjFt思考题思考题 根据函数拉氏变换，如何判断它的傅氏变根据函数拉氏变换，如何判断它的傅氏变 换是否存在？换是否存在？ 本章小结本章小结例例1 1 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1?)0(,1)(:fssF求已知1)(lim)(lim)0(0 ssFtffst例例2 2?)0(,12)( fsssF求求 21212 ssssF sssksssFfss2122lim)(lim)0(2112lim12lim sssss2)0( f 项项中有中有ttf 2初值定理证明初值定理证明 ttfLfssFd)(d0)(tettfstdd)(d0 tettftettfststdd)(

8、ddd)(d000 tettffssFstdd)(d0)(0 0dlimd)(ddd)(dlim00 tettftettfstssts由原函数微分定理可知由原函数微分定理可知 tettfffstdd)(d000 时移特性例题时移特性例题 22211111ssssssF 。求求已知已知)(,4cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsFsess 112【例【例1】 sFttutf求求,1 已知已知【例【例2 2】 tttttfsincos4sinsin24coscos2 已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程

9、。描述此系统的微分方程。 313111 ssssH 31 ssEsRsH sEsRssR 3)()(3d)(dtetrttr sE sR s13(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换 )(6)(2)(6)(5)(22ssEsEssRssRsRs 24222)( ssssEsRsH则则)(4)(2)(2tuettht )()()(tethtrzs (2)()()( sEsHsRZS 或或)1(1222)( ssssssRZS1226)1)(2()12(2 sssss)(6)(2)(2tuetuetrttZS 。和零状态响应和零状态响应，求系统的冲激响应

10、，求系统的冲激响应，激励为，激励为已知系统已知系统)( )()()1()(d)(d6d)(d2)(6d)(d5d)(d2222trthtuetettettetrttrttrzst 例例 题题 211 sssG sG sF sY sX k当常数当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？满足什么条件时，系统是稳定的？ skYsFsX 加法器输出端的信号加法器输出端的信号 sXsGsY 输出信号输出信号如图所示反馈系统，子系统的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数 sYskGsFsG sFsYsH 的的极极点点sHkp 49212, 1则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为 04921049

11、OR 049kkk时时系系统统是是稳稳定定的的。即即可可得得2, 2 kk为使极点均在为使极点均在s左半平面，必须左半平面，必须 skGsG 1kss 212本章小结本章小结 1. 1.拉普拉斯变换是本课程介绍的第二个对信号的拉普拉斯变换是本课程介绍的第二个对信号的变换方法，目的是为了解决傅里叶变换在实际应用变换方法，目的是为了解决傅里叶变换在实际应用中面临的一些实际问题，它的引入是从一些增长型中面临的一些实际问题，它的引入是从一些增长型的信号固不满足傅里叶变换存在的条件而不能进行的信号固不满足傅里叶变换存在的条件而不能进行傅里叶的分析开始的。傅里叶的分析开始的。2.2.拉普拉斯变换中值得我们着重注意的是变换收拉普拉斯变换中值得我们着重注意的是变换收敛域的概念，以及拉氏变换与傅氏变换相互之间的敛域的概念，以及拉氏变换与傅氏变换相互之间的关系。另一方面要了解的是拉氏变换在系统分析中关系。另一方面要了解的是拉氏变换在系统分析中的应用。就变换的性质而言，大部分与傅氏变换是的应用。就变换的性质而言，大部分与傅氏变换是相似的（或本质上是相一致的）但也有不同的新特相似的（或本质上是相一致的）但也有不同的新特点，如初、终值定理。点，如初、终值