医学数字信号处理6章滤波器设计

1、第六章 数字滤波器设计滤波器在实际信号处理中起到了非常重要的作用。任何检测的信号都含有噪声，而滤波是去除噪声的基本手段。本章介绍IIR滤波器和FIR滤波器的设计。IIR滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和双线性变换法的数字化变换方法；数字高通、带通和带阻滤波器的设计。而FIR滤波器是直接采用的数字式设计方法。针对FIR滤波器特征，首先介绍了其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和频率抽样法的设计方法。6.1 概述一.滤波器的分类这里主要讨论经典滤波器的设计。按功能划分经典滤波器又可分为低通、高通、带通、带阻四种滤波器如图6-1所示.图6-1 理想低通

2、、高通、带通和带阻滤波器幅度特性经典滤波器设计从实现方法上分为IIR滤波器和FIR滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如果滤波器用单位脉冲响应序列h(n)表示，其输入x(n)与输出y(n)之间的关系可以表示为：y(n)=x(n)*h(n)h(n)的Z变换称为系统函数。IIR滤波器和FIR滤波器的系统函数分别是： 二.数字滤波器的性能要求与设计步骤这种方法在实际中都是用有限精度算法实现的线性非移变离散系统，一般的设计步骤包括：根据实际需要确定滤波器的技术指标，例如滤波器频率响应的幅度特性和截止频率等。用一个稳定的因果系统逼近这些指标，具体说，就是有这些指标计算系统函数H（z）。用有限精度的运

3、算实现H（z），包括选择运算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长。第一步与实际应用有关。第三步关于滤波器的结构问题已在上节讨论了，而有关滤波器的误差分析和存储器字长的选择等问题将在后面章节中研究。一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是一常数；相频特性相应为零或是频率的线性函数。但一个实际的滤波器是不可能得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。如图62所示。图62 逼近理想低通滤波器的容限其中1 ：通带衰减；2：阻带衰减；p：通带截止频率;T：阻带截止频率;TP：过渡带通带最大衰减p p越小，通带越平坦阻带最小衰减T T越大，阻带衰减越大当幅度下降到

4、0.707时，w=wp，此时p3dB，称wp为3dB通带截止频率。按图6-2的规定给出滤波器的一组技术指标后，下一步就是寻找一个频率响应符合允许指标的离散时间线性系统。这样，滤波器的设计问题便归结为数学逼近问题。显然，对于IIR系统，可以应用有理函数去逼近所希望的频率响应；对于FIR系统，则可用多项式逼近所希望的频率响应。三.数字滤波器设计方法概述设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：1. 利用模拟滤波器的理论来设计:首先根据实际要求设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。这种设计方法又可分为

5、冲激响应不变法、阶跃响应不变法和双线性变换法等三种。2.计算机辅助设计：这种方法直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。这种方法就是使用最优化技术进行设计。这种设计方法在本书不讨论，可参考其它文献。6.2 无限冲激响应数字滤波器的设计一.设计的一般方法IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟/数字变换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方法。 如图63所示。图6-3 IIR滤波器的设计流程二.脉冲响应不变法(Impuls

6、e Invariance)1.变换原理数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期。如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即 数字滤波器的系统函数就是h(n)的Z变换H（z）。下面我们分析从模拟滤波器到数字滤波器S平面和Z平面之间的映射关系。设抽样信号 抽样信号的拉氏变换序列h(n)的z变换 所以 图6-4 S平面与Z平面的映射关系当0时，：s2s2 z|1 z:-；即S平面虚轴j：s2s2映射到Z平面单位圆上。当0时,r1,z|1，:-s2s2;即S左半平面的-s2s2带映射到Z平

7、面单位圆内。当0时,r1,z|1;即S右半平面的-s2s2带映射到Z平面单位圆外。其余区间内：Ha(s)的S平面上每条带均重复映射到同一z平面。所以模拟滤波器的ha(t)的拉氏变换Ha(s)在s平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过z=esT的映射关系，将Ha(s)映射到z平面上，得到H(z)。2.混叠失真利用抽样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得由采样定律可知，如果模拟滤波器的频率响应带限于折叠频率s2以内这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。但任何一个实际的模拟滤波器，其频率响应都不可能是严格带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即产生频率响应的混叠失真。这样数字滤波

8、器的频率响应就与原来模拟滤波器不同，即产生了失真。但是，如果模拟滤波器在折叠频率以上的频率响应衰减很大，那么这种失真很小，采用冲激不变法设计数字滤波器就能得到良好的结果，这是就有原模拟信号的频带不是限于±T之间，则会在±T的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到Z平面上，w±附近产生频率混叠。这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在w±附近的频率特性，程度不同的偏离模拟滤波器在w±T附近的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。解决混叠的方法：1)滤波器指标以模拟域形式给出，此时ha(t)，Ha（j），Ha（s）已确定，采样频率增加，混叠

9、减小。2)滤波器指标以数字域形式给出，此时ha(t)，Ha（j），Ha（s）未确定，但p和T已定，采样频率增加，为保证T不变，必有s增加，增加滤波器的阶数N，混叠减小。3.数字化设计1)设模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数NM，则可表达为部分分式形式 其拉氏反变换为 2)使用冲激响应不变法求数字滤波器的冲击响应h(n)3) 再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数可以看出，经冲激响应不变法变换之后，S平面的极点sk变换成Z平面的极点，而H（z）和Ha（s）的系数相等。如果模拟滤波器是稳定的，那么由冲激响应不变法设计得到的数字滤波器也是稳定的。当采样频率很高时，即

10、T很小时，数字滤波器有很高的增益。但是人们常常不希望增益太高，为此，在高采样频率时，一般用下式这样，数字滤波器的增益不随T变化。【例6.1】已知一模拟滤波器的传递函数为，使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。解：将Ha（S）展开成部分分式得于是极点分别为-1和-3，其反变换为由冲激响应不变法得求H（z）得（设T=0.1667s）【例6.2】考虑一个由下式给定的模拟系统函数Ha(s):则相应的冲激不变数字滤波器传递函数为因而数字滤波器在原点处有一个零点，在z=e-aTcos(bT) 处也有一个零点。图6-5绘出了Ha(s)在s平面上的极点-零点和H(z)在z平面上的极点-零点图，图中还画出了

11、相应的模拟和数字频率响应函数。在这种情况下，模拟系统的频率响应随取样频率下降得相当慢，因此，在数字频率响应上的混叠效应非常明显。图6-5(a) 某二阶模拟系统的极点-零点分布图和频率响应图6-5(b) 系统经取样后得到时域离散系统的极点-零点和频率响应三双线性变换法（Bilinear Transform)1.变换原理s平面到z平面的映射关系二次映射法 SS1Z为了将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的T到T一段上，可通过以下的正切变换实现：这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C。当由0时,1由T经过变化到T，即S平面的整个j轴被压缩到S1平面的2T一段。式又可以写成将这一关系解析扩展至

12、整个S平面，js，j1s1则得到S平面到S1平面的映射关系： 再将S1平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 从而得到s平面与z平面的单值映射关系 2.变换常数的选择常数C的选择可以使模拟滤波器的频响特性和数字滤波器的频响特性在不同的频率范围有对应的关系，起到调节二者频带间关系的作用。选择的方法有两种。使模拟滤波器和数字滤波器的频响特性在低频部分有较确切的对应关系(=1)，即当1较小时，有 由此得 C=2/T所以 使数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率c1cT与模拟原型滤波器的特定频率c严格对应，即由于在待定的模拟频率和待定的数字频率处频率响应应严格相等，因而可以较准确的控制截止频率位置。3

13、.双线性变换可以消除频率混叠的原因映射过程：Ha（s）映射为Ha（s1）将整个S平面(:-)映射至S1平面的一条带(1:-/T/T)Ha(s1)映射为H(z) z=es1TS1的左半平面z平面的单位圆内S1平面的虚轴z平面的单位圆上S1的右半平面z平面的单位圆外图6-64.模拟角频率和数字角频率的映射关系图6-7 特点：周期性，以2为周期；在主值区间内：，；这就说明模拟滤波器的全部频率特性，被压缩成数字滤波器，频率范围内的频率特性，与是单调递增关系。在0附近，与接近线性关系。这种频率标度之间的非线性在高频段较为严重，而在低频段接近于线性，因此数字滤波器的频率特性能够逼近模拟滤波器的频率特性。在

14、其余周期内，将Ha（j）影射为H（ej）的周期重复。4.数字化设计总结计算H(Z)步骤如下：设给定数字低通滤波器的通带截止频率p、阻带截止频率T、通带波动1和阻带波动2。利用公式2arctan(T/2)对通带和阻带截止频率p和T进行预畸变，求出模拟低通滤波器的通带和阻带截止频率p和T。预畸变函数式为(2/T)tan(/2)求满足指标p、T、1和2要求的模拟低通滤波器的传输函数Ha（s）。利用双线性变换公式S=(2/T)(1-z-1)/(1+z-1)将Ha（s）映射成H(z)。【例6.3】分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器代替如下性能的模拟低通滤波器: fp=50Hz，fT=12

15、5Hz；p3dB,T15dB；采样频率fs=1kHz。解:用脉冲响应不变法确定数字滤波器的技术指标：ppT0.1 TTT0.25将数字滤波器指标转换为归一化低通滤波器指标查表求Ha(s) N=2将Ha(s)转换为H(z)双线性变换法确定数字滤波器的技术指标：ppT0.1 pTT0.25将数字滤波器指标转换为归一化低通滤波器指标查表求Ha(s) N=2将Ha(s)转换为H(z) 四巴特沃思低通滤波器1基本性质巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征a.

16、对所有的N，Ha(j0)1b.  对所有的N，Ha(jc)0.707，即c.Ha(j)2是的单调下降函数。d.Ha(j)2随着阶次N的增大而更接近于理想低通滤波器。如图6-8，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N的增加而变得越来越好，在截止频率c处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。图6-8 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数在以后的设计和分析时，经常用归一化巴特沃思低通滤波器为原型滤波器，一旦归一化低通滤波器的系统函数确定后，其它巴特沃思低通滤波、高通、带通、带阻滤波器的传递函数都可以通过变换法从归一化低通原型的传递函数Ha(

17、s)得到。归一化原型滤波器是指截止频率c已经归一化成c1的低通滤波器。对于截止频率为某个c的低通滤波器，则令s/c代替归一化原型滤波器系统函数中的S，即Ss/c ，对于其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的频带变换法，由其变换得出。2系统函数和极点分布 设巴特沃斯的系统函数Ha(s)，则频率响应是令上式分母为零可以得到Ha(s)Ha(s)的2N个极点Sk从上式可以看出，Ha(s)Ha(s)的2N个极点均匀分布在s平面的半径为c的圆上，共有2N个角度间隔为p/N的极点，极点关于jw轴对称，不会落在虚轴上。N为奇数时，实轴上有两个极点；N为偶数时，实轴上无极点；各极点间的角度距为p/N。知

18、道了巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由S平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)。即上式中sk是s左半平面的极点，sr是s右半平面的极点，A和B都是常数。因此巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚轴，所以可将左半平面的极点分配给Ha(s)，以便得到一个稳定的系统。把右半平面的极点分配给Ha(s)，Ha(s)不是需要的，可以不管它，于是有当N为偶数时N为奇数时式中sk，sk*是共轭极点，sp是左半实轴上极点。A由滤波器在0处的单位响应来确定，即或于是 所以当N为偶数时N为奇数时3设计过程根据实际需要规定滤波器在数字截止频率p和T处的衰减p和T；即 由数字截止频率p和T处的衰减计算模拟巴特沃思滤

19、波器的阶数N和频率c；P=p/T和T=T/T 由上两式，都取等号得 化简后得 两式相比消去后得由此得取满足上式的最小整数N作为滤波器的阶数。把N再代入式或式可得截止频率求模拟巴特沃思低通滤波器的极点，并由S平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)。左半平面极点 当N为偶数时传递函数为当N为奇数时传递函数为使用冲激响应不变法或双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H（z）。【例6.4】设计一个数字巴特沃思低通滤波器，在通带截止频率p0.2处的衰减不大于1dB，在阻带截止频率T=0.3处衰减不小于15 dB。解：1.用冲激响应不变法设计根据数字滤波器在截止频率p和T处的衰减p=1dB和

20、T=15dB；得 设T=1，得P=p=0.2和T=T=0.3，所以 根据上两式计算模拟巴特沃思滤波器的阶数N和频率c；由上两式，都取等号得化简后得 两式相比消去后得由此得 解得N=5.8858 取N=6带入式或式可得截止频率求模拟巴特沃思低通滤波器的极点，并由S平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)。左半平面极点极点对1：-0.1820±j0.6792极点对2：-0.4972±j0.4972极点对3：-0.6792±j0.1820传递函数为将Ha(s)分解成部分分式，用冲激响应不变法得H（z） 从上式可明显看出，根据冲激不变法设计出来的系统函数可以直接用并联形式

21、实现。若要求用级联形式或直接形式实现，各个单独的二阶项必须以恰当的方式加以合并。图6-9示出了上述系统的频率响应，我们记得，我们设计的这个滤波器在通带边缘上正好满足技术指标，而在阻带边缘上超过了技术指标，事实上图中表现的情况正是这样。这就说明了模拟滤波器是充分限带的滤波器，不出现混叠问题。但有的情况却不是这样。若得到的数字滤波器不满足技术指标，我们可以试用更高阶滤波器或是保持阶数不变而用各种方式调整滤波器参数加以解决。图6-9 冲激不变法变换来的六阶比特沃斯数字滤波器频率响应2.用双线性变换法设计利用双线性变换设计时，数字频率指标必须对于相应的模拟频率作预畸变，使得考虑了双线性变换中固有的频率

22、失真后，模拟临界频率能够映射成正确的数字临界频率。对于我们具体讨论的滤波器来说，若|Ha(j)|表示模拟滤波器的幅度函数,则我们要求 为了方便起见,设T=1，解如下方程: 两式相比消去后得由此得 取N=6带入式或式可得截止频率对于这个C值,通带技术指标已经超过,阻带技术指标刚好满足。对于双线性变换来说，这个结论是合理的，因为我们没必要涉及混叠问题。这样是说，利用适当的预畸变，我们可以确信设计出来的数字滤波器在要求的阻带边缘上将恰好满足技术指标。将Ha(s)（T选1）作双线性变换，于是得到数字滤波器的传递函数H(z)为图6-10示出了数字滤波器频率响应。从图中可以看到，在=0.2处幅度下降0.5

23、632分贝，在=0.2处幅度正好下降15分贝。图6-10 六阶比特沃斯滤波器双线性变换后的频率响应还必须指出，图6-10中的幅度函数比图6-9中的幅度函数下降快得多，这是由于双线性变换法将s平面的整个j轴映射成单位圆。由于模拟比特沃斯滤波器在s=处有一个六阶零点，所以得到的数字滤波器在z=-1处有一个六阶零点。【例6.5】用双线性变换法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，设取样频率fs=10kHz，在通带截止频率fp=1kHz处的衰减不大于1dB，在阻带截止频率fT=1.5kHz处衰减不小于15 dB。解：将模拟截止频率转换成数字截止频率p=TP=2fp/fs=0.2 T=TT=2fT/fs=0.

24、3计算模拟巴特沃思滤波器的阶数N和频率c；将模拟截止频率进行预畸变，即T是一个无关紧要的参数，为计算方便令T=1，则得所以 由上两式，都取等号得化简后得 两式相比消去后得由此得 取N=6带入式或式可得截止频率求模拟巴特沃思低通滤波器的极点，并由S平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)。左半平面极点极点对1：-0.7401±j0.1983极点对2：-0.5418±j0.5418极点对3：-0.1983±j0.7401传递函数为使用双线性变换求得数字巴特沃斯滤波器的系统函数H（z） 这个滤波器由3个2阶节级联构成。如果每个2阶节都采用直接II型，那么这个滤波器的流程

25、图如图6-11所示。图6-11 实现6阶数字巴特沃斯滤波器的级联结构验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ej代入H（z）表达式，计算幅度响应和相位响应看是否满足要求，不满足要求重新设计。【例6.6】 设计一巴特沃思低通滤波器，使其满足以下指标:通带边频P=20rad/s,通带的最大衰减为p=2dB，阻带边频为T=30rad/s,阻带的最小衰减为T=10 dB。解:根据滤波器技术指标确定阶次N和c； 取N=4查表得四阶巴特沃思多项式，得归一化系统函数表达式用s/c替换H(s)中的s，构成巴特沃思滤波器传输函数Ha(s)为使用双线性变换或冲激响应不变法求得数字巴特沃斯滤波器的系统函数H（

26、z）五切比雪夫I滤波器切比雪夫滤波器在通带内的幅度响应是等波纹的,而在阻带内是单调下降的;或者在通带内是单调下降的,而在阻带内是等波纹的.1基本性质切比雪夫I型滤波器的幅度平方函数为VN(x)是N阶切比雪夫多项式，实三角定义为二项式定义为复三角函数定义为N=0，V0(x)=1N=1, V1(x)=xN=2,V2(x)=2x2-1=2xV1(x)-V0(x)迭代公式：VN(x)=2xVN-1(x)-VN-2(x) N>1N=偶数,VN(x)为偶函数;N=奇数，VN(x)为奇函数。不同N值的切比雪夫多项式的函数曲线如图6-12所示。当|x|<1时，VN(x)具有等波纹性质，即在-1和1

27、之间呈等幅震荡，且N越大，震荡越快；x>1时，VN(x)曲线按双曲余弦函数单调上升，N越大曲线上升越快；x<-1时，偶数N对应的VN(x)按双曲余弦函数单调下降，奇数N对应的VN(x)按双曲余弦函数单调上升。越大曲线上升越快；偶数N对应的VN(x)为偶函数，奇数N对应的VN(x)为奇函数。图6-12 切比雪夫多项式的曲线Ø x=0,N=偶数,|VN(0)|=1, N=奇数,VN(0)=0Ø x=1,VN(1)=1Ø |x|1,VN(x)在-1,1之间波动，N增加，波动次数增加Ø |x|>1,VN(x)单调上升，N增加，上升速度增加。2切

28、比雪夫滤波器的幅度平方函数及其极点分布切比雪夫滤波器的幅度平方函数定义为式中称为纹波参数，它与通带内幅度响应的纹波有关；c为有效通带截止频率，它与巴特沃斯滤波器的c有效不同，巴特沃斯滤波器的幅度响应在c处衰减为3dB，而切比雪夫滤波器只有当=1时，其幅度响应在c处的衰减才为3dB；N是滤波器的阶数。图6-13分别给出了N为奇数（N=3）和N为偶数（N=4）时的切比雪夫滤波器的幅度响应曲线。切比雪夫滤波器由、c和N等3个参数确定。图6-13 模拟切比雪夫滤波器幅度响应从图6-13可看出切比雪夫滤波器的幅频响应有如下特点：0<<c时，|Ha(j)|在1与1/(1+2)1/2之间等幅波动

29、，越大，波动幅度越大。0时，当N为奇数，则|Ha(j0)|1 ，当N为偶数，则|Ha(j0)|1/(1+2)1/2。c时，对所有的N值，|Ha(jC)|=1/(1+2)1/2。>c时，曲线单调下降, 越大，N越大，曲线衰减越快。切比雪夫滤波器有极点，而零点在处。现在来确定模拟切比雪夫滤波器的极点分布。令|Ha(j)|2的分母等于0，得令x=s/jc, ,则上式变为由上式和切比雪夫多项式的复三角函数定义，可以求得切比雪夫多项式的反函数为即 令 得令 得由此看出，极点分布于一个复椭圆上，椭圆的长半轴为bc，椭圆的短半轴为ac，切比雪夫滤波器共有2N个极点，他们关于虚轴对称地分布在一个椭圆上，

30、虚轴上无极点，极点的纵坐标和横坐标分别由长轴园（大圆）和短轴园（小圆）上等角距为p/N的点所确定；N为偶数时实轴上无极点，N为奇数时，实轴上有两个极点。图6-14所示的是N=3时极点分布情况。图6-14 3阶切比雪夫滤波器的极点位置3. 参量的、c和N确定确定由允许的通带纹波确定。如果在c处允许的通带衰减为pdB,那么可以这样确定：由此可得 由此式可以求得不同p所对应的值如下：p（dB）0.51230.349310.508850.764780.99762c的确定c是切比雪夫有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，c常常是给定的。滤波器阶次N的确定切比雪夫滤波器的阶次N

31、是由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率T处的允许衰减为dB，即由此可算出4. 数字切比雪夫滤波器的设计步骤数字切比雪夫滤波器的设计步骤可归纳如下：根据要求的滤波器指标确定波纹参数和阶数N。由允许的通带衰减p确定。则。滤波器的阶数N由阻带允许的衰减确定。 计算常量、a和b，并求出极点sk。 由s左半平面的极点构成传递函数Ha(s)，即当N为偶数时传递函数为当N为奇数时传递函数为式中sk，sk*是共轭极点，sp是左半实轴上极点。A由滤波器在s0处的单位响应来确定，当N为奇数时，|Ha(0)|=1; 当N为偶数时，即或于是使用冲激响应不变法或双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H（

32、z）。【例6.7】采用冲激不变法设计一个数字切比雪夫低通滤波器。在通带截止频率P0.2处的衰减p不大于1dB，在阻带截止频率T0.3处的衰减不小于15dB。解：根据滤波器的指标求、c和N。设T=1，则T=T/T=0.3,p=p/T=0.2;因此，有效通带截止频率c=p=0.2。取N=4。验算表明，通带内满足技术指标，在阻带截止频率T=0.3处的幅度响应衰减为20lg|Ha(j0.3)|=-21.5834dB,超出了指标。计算常量、a和b，并求出极点sk。 ac=0.2291， bc=0.6688得极点对：-0.0877±j0.6177,-0.2117±j0.2558。由s左

33、半平面的极点构成传递函数Ha(s)，即由=0.8912；得A=0.8912×0.3894×0.1103=0.03828采用冲激响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。值得注意的是，由于混叠现象，阻带边缘=0.3处的衰减要比模拟滤波器稍差一些。然而在模拟设计时，由于N要取成整数而使此处的衰减比指标规定的大，所以设计出来的数字滤波器的衰减仍然满足技术指标。图6-15示出了数字滤波器的幅度和相频响应。图6-15 四阶切比雪夫低通滤波器经冲激不变法变换后的频率响应【例6.8】采用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器。在通带截止频率P0.2处的衰减p不大于1d

34、B，在阻带截止频率T0.3处的衰减不小于15dB。解：根据滤波器的指标求、c和N。设T=1，则T=2tan(T/2)= 1.0191,p=c=2tan(p/2)=0.6498。取N=4。计算常量、a和b，并求出极点sk。 ac=0.2369， bc=0.6917得极点对：-0.0906±j0.63899,-0.21889±j0.26468。由s左半平面的极点构成传递函数Ha(s)，即由=0.8912；得A=0.8912×0.4166×0.1180=0.04381采用双线性变换将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。图6-16示出了该数字滤波器的幅

35、频和相频响应。图6-16四阶切比雪夫低通滤波器经双线性变换后的频率响应【例6.9】IIR低通滤波器的设计指标如下：通带截止频率P0.1rad，阻带起始频率T0.25rad；通带最大衰减p=3dB，阻带最小衰减T=15dB。解：根据数字滤波器指标,将数字滤波器指标转换为归一化低通滤波器指标根据归一化低通滤波器指标, 查表求Ha(S)；N=2，选巴特沃斯滤波器 将Ha(S)化成部分分式之和求H(z)因为 当T很小时，H(ej)增益太高，所以一般情况下，令h(n)=Tha(nT)；此时H(ej)Ha(jT) 六椭圆滤波器我们已经知道，若把误差均匀地分布在整个通带上(如切比雪夫滤波器)，比子让误差在通

36、带内单调增加(如比特沃斯滤波器)，可以用阶数较低的滤波器来满足技术指标。我们换注意到，在切比雪夫和比特沃斯两种设计中，阻带误差仍然是频率的单调减函数，若我们也使误差在阻带上均匀分布，就有可能进一步改善滤波器的性能。例如我们讨论如图6-17所示逼近方式的滤波器。事实上可以证明，在通带和阻带内都是等波纹的逼近方式，是滤波器阶数N已给定的情况下的最好的逼近方式。所谓最好是指p、1和2已知时，过渡带(T-p)最小。这就是说，这类逼近方式能给出锐截止的选频滤波器。图6-17 通带和阻带都是等波纹的逼近方式对于模拟滤波器而言，这种逼近为式中UN()是雅各比椭圆函数。为在通带和阻带内都得到等纹波误差，椭圆滤

37、波器必须极点和零点两者皆有。如图6-17所见，这种滤波器的零点位于s平面的j轴上。有关椭圆滤波器的讨论已超出本书的内容范围。有关它的更详细讨论，可参考其它文献。在这里只不过是指出，这种逼近方法在前述意义下导致最好的幅度响应。由于双线性变换只引起频率轴失真，所以在s和p预畸变后，从模拟滤波器得到的数字滤波器，对于给定N、p、1和2值来说，就具有最小过渡区的意义而言，是最佳的。与此相反，冲激不变法将会破坏滤波器的这种最佳性。【例6.10】用椭圆滤波器设计一个低通滤波器。该滤波器在通带截止频率P0.2处的衰减p不大于1dB，在阻带截止频率T0.3处的衰减不小于15dB。解：在这种情况下，图6-17的

38、参数为1=10-0.05，p=0.2，T0.3,20lg2=-15分贝。若固定1、p和T不变，结果N=3时的20lg2=-26.71分贝，已经超过了技术指标。将临界频率预畸变，使p=2tan(0.2/2)和T=2tan(0.3/2)，得到系统函数经双线性变换将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。图6-18 三阶椭圆滤波器经双线性变换后的频率响应由此可见，对于同样的技术指标，在我们讨论过的几个例子中，椭圆滤波器的阶数最低。七低通无限冲激响应滤波器的频率变换法前面的一些例子已经说明了如何应用冲激不变法和双线性变换法，根据具有选频特性的低通模拟系统函数来设计无限冲激响应数字滤波器。图6-1

39、9画出了四种常见的选频滤波器的理想频率响应，图6-19(a)、(b)、(c)和(d)分别表示低通、高通、带通和带阻滤波器的理想频率响应。设计这样一些选频滤波器的传统方法是首先设计一个归一化频率的原型低通滤波器。然后利用代数变换，从原型低通滤波器推导出要求的低通、高通、带通和带阻滤波器。在设计数字选频滤波器时，一种方法是先设计一个对应类型的模拟选频滤波器，然后将它变换成数字滤波器。这种方法的缺点是，由于会产生混叠失真，不能用冲激不变法来变换高通和带阻滤波器。另一种方法是先设计一个数字原型低通滤波器，再对它施以代数变换，得到要求的数字选频滤波器。不管数字低通滤波器是用那种设计方法得到的，这种方法都

40、适用。图6-19 理想滤波器的频率响应:(a)低通；(b)高通；(c)带通；(d)带阻我们曾经用双线性变换将模拟系统函数变换成数字系统函数，对于低通、高通、带通和带阻型选频滤波器来说，也可以利用一种和双线性变换非常相像的有理变换从低通数字滤波器变换出来。为了掌握如何作，我们将复变量z和低通系统函数Hl(z)结合起来考虑，将复变量Z和要求的系统Hd(Z)结合起来考虑。然后定义一个从z平面到Z平面的映射使得式中G-1()表示逆映射，即映射必须是：一个对应于稳定、因果的低通数字滤波器的有理系统函数Hl(z)所变换成的有理系统函数Hd(Z)，要对应于稳定、因果的选频数字滤波器。所以我们要求：1.必须是

41、Z-1(或Z)的有理函数。2.z平面单位圆的内部必须映射成Z平面单位圆的内部。因此，若和分别是z平面和Z平面的频率，即和，则由得并且要求和上式规定了z平面和Z平面频率之间的关系。可以证明，满足上述全部要求的函数的一般形式为为使系统稳定，式中|k|<1。选择各种合适的N值和常数k，可以得到很多种映射。最简单的一种映射是将一个低通滤波器变换成另一个低通滤波器。对于这种情况，若令和，则得 由此可以得出 图6-20给出了这个关系在不同的值下的性质。图6-20 低通-低通变换的频率刻度畸变虽然图6-20中频率刻度的畸变非常明显(=0情况除外)，但若原始系统具有截止频率为p的逐段恒定的低通频率响应，

42、则变换后的系统也将具有类似的低通响应，其截止频率p由的选择决定。解出并用p和p表示之，可得到 因此，为利用这些结果，从已有的截止频率为p的低通滤波器Hl(z)求得截止频率为p的低通滤波器Hd(Z)我们可以按类似的方式，推出由低通滤波器到高通、带通和带阻滤波器的变换式。表6-1给出了这些变换式。表6-1 根据截止频率为p的数字低通滤波器原型作变换的公式滤波器类型变换公式有关设计公式低通到低通其中p是要求的截止频率低通到高通其中p是要求的截止频率低通到带通其中2、2分别是要求的上、下截止频率低通到带阻其中2、2分别是要求的上、下截止频率【例6.11】低通切比雪夫滤波器为其p=0.2，将其变换成截止

43、频率p=0.6的数字高通滤波器。解：由表6-1可知因此将带入Hd(Z),得到幅度和相位响应，如图6-21所示.图6-21 经频率变换得到的高通滤波器的频率响应 请注意，除了频率刻度有些失真外，高通频率响应好像是低通响应在频率上移动了。另外，低通滤波器在z=-1处的四阶零点现在出现在高通滤波器的z=1处。八数字高通、带通和带阻滤波器的其它设计前面我们学习了模拟低通滤波器，数字低通滤波器的设计，对于数字高通和带阻的设计，可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的模拟滤波器，再通过双线性变换将其换算成所需类型的数字滤波器。1.高通滤波器p和s分别是低通的归一化通带截止频率和归一化阻带截止频率，

44、p和s分别是高通的归一化通带下限频率和归一化阻带上限频率。如图6-22所示。图6-22 低通和高通滤波器的幅频特性低通的从经过s和p到0时，高通的则从0经过s和p到，因此和之间关系为=1/，即是低通到高通的频率变换公式。总结步骤为：确定数字高通滤波器的技术指标P、T。将数字高通滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的技术指标p、T，转换公式为=(2/T)tan(/2)。 利用频率变换=1/将模拟高通滤波器技术指标转换成归一化模拟低通滤波器G(p)的技术指标。设计模拟低通滤波器G(p)。将模拟低通滤波器G(p)通过频率转换转换成模拟高通滤波器H(s)，并去归一化后得Ha(s)=H(p)|p=p/s

45、。采用双线性变换，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器【例6.12】设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率T=0.5rad,阻带衰减不小于18dB。采用巴特沃斯型滤波器。解：数字高通的技术指标为p=0.8rad,p=3dB;T=0.5rad,T=18dB模拟高通的技术指标计算如下：令T=2，则有p=(2/T)tan(p/2)= tan(0.4)=3.0777,p=3dBT=(2/T)tan(T/2)= tan(0.25)=1, T=18dB设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下:p=p/C=1 T=T/

46、C=1/3.0777=0.3249p=1 T=1/s=3.0777 Tp=T/p=3.0777取N2查表得到归一化模拟低通传输函数G(p)为为去归一化，将p=s/c代入上式得到：将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：用双线性变换法将模拟高通Ha(s)转换成数字高通H(z)：2.带通滤波器 1、3分别是模拟带通滤波器通带的下限和上限频率，sl是下阻带的上限频率，sh是上阻带的下限频率，令B=3-1为通带带宽，用B做为归一化参考频率，令为通带的中心频率，归一化图6-23可以找到和的转换关系，所以有由此可以得到低通滤波器的技术指标s和p，可以设计低通滤波

47、器的转移函数G(p)。，将s1=j代入得到去归一化，将s1=s/B代入上式得：可得模拟带通滤波器的传递函数是数字带通滤波器的传递函数【例6.13】某系统采样频率f=2kHz,设计一个为此系统使用的数字带通滤波器，要求：f=400Hz,fl=300Hz,p=3dB，fs2=500Hz，fs1=200Hz，s=18dB。解：给出数字带通滤波器指标=0.4，l=0.3，s2=0.5，s1=0.2指标转换归一化LPF指标为：求求H(z)3.带阻滤波器1、3分别是模拟带阻滤波器通带的截止频率，sl是下限频率，sh是上限频率，与带通模拟滤波器一样，令B=3-1为通带带宽，用B做为归一化参考频率，图6-24

48、和的转换关系，所以有由此得出可得模拟带阻滤波器的传递函数是数字带阻滤波器的传递函数6.3 FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器的设计方法利用了模拟滤波器的研究成果，设计方法简单而有效，能够得到较好的幅度特性，特别是双线性变换方法由于没有频谱混叠，因而很受欢迎。但是，由于IIR数字滤波器的相位特性是非线性的，因而相位特性不好控制，这是它的主要缺点。FIR数字滤波器的独特优点是容易得到严格的线性相位。此外，FIR数字滤波器的极点都位于原点，所以FIR数字滤波器总是稳定的。FIR滤波器可以采用非递归结构，也可以采用一些递归环节来实现，但是主要采用非递归结构。在后面会看到，在有限字长的情况下，非

49、递归结构不会出现递归结构中的极限环振荡现象，而且舍入噪声可以很小。FIR滤波器还可以用FFT来计算，从而大大提高运算效率。正是这些特点才使得FIR滤波器越来越为人们所重视，其应用也越来越广泛。FIR滤波器的主要缺点是，必须用很长冲激响应才能很好地逼近锐截止滤波器，这意味着需要很大的运算量。另外一个缺点是，线性相位FIR滤波器的时延不一定总是样本间隔的整数倍，在某些信号处理中，这种非整数时延会带来一些不希望有的问题。FIR数字滤波器的设计方法与IIR数字滤波器的设计方法很不一样，它不能利用模拟滤波器的设计方法。FIR数字滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率取样法和等波纹逼近法等3种。一窗函数法设

50、计有限冲激响应滤波器最直接的方法就是把无限时宽冲激响应序列截断，得到有限长度的冲激响应。若假设是要求的理想频率响应，则 式中 一般来说，选频滤波器的可能逐段恒定的，并且在频带边界上有不连续点。在这种情况下，序列是无限时宽的。为了得到有限时宽冲激响应，必须将它截断。因此用截断理想冲激响应的办法，来逼近理想滤波器的指标，和研究傅里叶级数的收敛性是等同的。自十八世纪以来，对这个收敛性课题，已作了大量的研究。这个理论中我们最熟悉的一个问题就是吉布斯现象。下面的讨论中将会看到，在设计有限冲激响应滤波器时，这种非一致收敛现象会表现出来。若是无限时宽的，得到有限时宽因果冲激响应h(n)的一种办法是单纯地截断

51、，即一般来说，我们可以把h(n)表示成理想的冲激响应和一个有限时宽的窗序列w(n)的乘积，即 对于上面的窗函数来说，就是一个矩形窗，其表达式为因此这就是说，是理想的频率响应和窗函数傅里叶变换的卷积，因此，频率响应就是理想的频率响应的轮廓被模糊后的表现形式。图6-25(a)是和。图6-25 (a)理想滤波器和窗函数幅频特性(b)H(z)的幅频响应若比和的变化要窄得多，则看上去就越和接近。因此选择窗函数时，一方面应该要求w(n)的时宽尽可能窄，使实现滤波器的计算量减至最小；另一方面还应要求在频域上尽可能宽，以便正确地复现理想的频率响应。这是相互矛盾的两个要求，以矩形窗为例，可以看出在该式中图6-2

52、6示出了N=8时的幅度特性，此外，相位特性是线性的。当N增加时，幅度特性的主瓣宽度减小（规定=-2/N和=2/N之间的区域为主瓣）。图6-26 矩形窗函数傅里叶变换的幅度特性（N=8）然而，对于矩形窗来说，旁瓣也是比较重要的。事实上，当N增加时，主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加，与此同时还保持每一波瓣下的面积恒定不变，所以每一个波瓣的宽度随着N增加而减小。结果当增大时，要滑过的间断点，乘积的积分每逢的各波瓣移过间断点时，都会呈现振荡方式的变化。图6-25(b)画出了这种变化。因为N增加时，每一个波瓣下的面积保持不变，所以N增加时只是振荡得更快，幅度却不减小。在傅里叶变换中为减轻这种非一致收敛现象（

53、即吉布斯现象），可以使用不是这样突然截断的傅里叶变换。把窗函数的顶部缩窄同时使窗函数的两端平缓地过渡到零，就可以降低旁瓣的高度，但这样做付出的代价是加宽了主瓣，从而加宽了间断点处的过渡区。图6-27画出了几种常用的传函数。这些窗函数分别由下列各式定义：图6-27 设计有限冲激响应滤波器常用的几种窗函数巴特利特(Bartlett)窗(三角形窗)：汉宁(Hanning)窗哈明(Hamming)窗布莱克曼(Blackman)窗图6-28绘出了N=51时各窗函数的20lg|W(ej)|。请注意，由于这些窗函数全都是对称的，所以相位是线性的。显然矩形窗的主瓣最窄，因此对于给定的长度N，它在的间断点上给出的过渡区域最陡峭。但是，它的第一旁瓣