静定结构内力分析

1、.第四章 静定结构的内力分析第一节 多跨静定梁、斜梁一、多跨静定梁若干根梁用中间铰连接在一起，并以若干支座与基础相连，或者搁置于其他构件上而组成的静定梁，称为多跨静定梁。在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。图131a所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图131b所示。 在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图132a所示为木檩条的构造图，其计算简图如图132b所示。 连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(图131a)，而在木结构中常采用斜搭接或并用螺栓连接(图132a)。从几何组成分析可知，图1

2、31b中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。且梁AB本身不依赖梁BC和CD就可以独立承受荷载，所以，称为基本部分。如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。同样道理在图132b中梁AB，CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，分别如图131c和图132c所示，我们称它为关系图或层叠图。从受力分析来看，当荷载作用于基本部分时，只有该基本部分受力，而与其相连的附属部分不受力；当荷载作用于附属部分时

3、，则不仅该附属部分受力，且通过铰接部分将力传至 与其相关的基本部分上去。因此，计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。例如图131c，应先从附属梁BC计算，再依次考虑CD、AB梁。这样便把多跨梁化为单跨梁，分别进行计算，从而可避免解算联立方程。再将各单跨梁的内力图连在一起，便得到多跨静定梁的内力图。【例13-1】 试作图13-3a所示多跨静定梁的内力图。解：（1）作层叠图如图13-3b所示，AC梁为基本部分，CE梁是通过铰C和D支座链杆连接在AC梁上，要依靠AC梁才能保证其几何不变性，所以CE梁为附属部分。（2）计算支座反力从层叠图看出，应先从附属部分C

4、E开始取隔离体，如图13-3c所示。 （） （）将反向，作用于梁AC上，计算基本部分 4010+VB8+1084-64=0 402108464+VA8=0 VA=58kN （） VB=18kN（）校核：由整体平衡条件得Y80十12018十581080， 无误。 (3)作内力图。 除分别作出单跨梁的内力图，然后拼合在同一水平基线上这一方法外，多跨静定梁的内力图也可根据其整体受力图(图133a)直接绘出。将整个梁分为AB、BD、DE三段，由于中间铰C处是外力的连续点，故不必将它选为分段点。由内力计算法则，各分段点的剪力为 =58108=22kN=5810818=40 kN =80120=40 kN

5、=80 kN =80 kN据此绘得剪力图如图133d所示。其中AB段剪力为零的截面F距A点为58m。由内力计算法则，各分段点的弯矩为MAB=64 kNmMBA=64+5881084=80 kNmMDE=802=160 kNmMED=0MF=64+585.8105.85.8/2=104.2 kNm据此作弯矩图如图13-3e所示。其中AB段内有均布荷载，故需在直线弯矩图（图中虚线）的基础上叠加相应简支梁在跨中间（简称跨中）荷载作用的弯距图。多跨静定梁比相同跨度的简支梁的弯矩要小，且弯矩的分布比较均匀，此即多跨静定梁的受力特征。多跨静定梁虽然比相应的多跨简支梁要经济些，但构造要复杂些。一个具体工程，

6、是采用单跨静定梁，还是多跨静定梁或其它型式的结构，需要作技术经济比较后，从中选出最佳方案。二、斜梁1. 斜梁的荷载梁式结构的特点是，在竖直荷载作用下只产生竖向支座反力。梁不一定是水平放置的，由楼梯简化成的斜梁，也是梁式结构，如图134所示。斜梁通常承受两种形式的均布荷载： （1） 沿水平方向均布的荷载q(图135a)。楼梯斜梁承受的人群荷载就是沿水平方向均匀分布的荷载。 （2） 沿斜梁轴线均匀分布的荷载q(图135b)。等截面斜梁的自重就是沿梁轴均匀分布的荷裁。 2荷载q换算成q 由于斜梁按水平均匀分布的荷载计算起来更为方便，故可根据总荷载不变的原则，将q等效换算成q后再作计算，即由得 （13

7、-1）式（13-1）表明：沿斜梁轴线分布的荷载q除以cos就可化为沿水平分布的荷载q。这样换算以后，对斜梁的一切计算都可按图13-5c的简图进行。【例132】 斜梁如图136a所示。已知其倾角为，水平跨度为，承受沿水平方向集度为q的均布载荷作用。试作该斜梁的内力图，并与相应水平梁的内力图作比较。解：（1） 求支座反力；以全梁为分离体，由静力平衡条件求得支座反力为 HA=0， VA= （2）求内力 列弯矩方程。设任一截面K距左端为，取分离体如图136b所示；由0，可得弯矩方程为 故知弯矩图为一抛物线，如图136c所示，跨中弯矩为。可见斜梁中最大弯矩的位置（梁跨中）和大小（）与直梁是相同的。 求剪

8、力和轴力时，将反力VA和荷载沿截面方向(v方向)和杆轴方向(u方向)分解(图136b)，由v = 0，得 由，得 根据以上二式分别作出剪力图和轴力图，如图136d、e所示。 图136f所示，为与上述斜梁的水平跨度相等并承受相同载荷的简支梁。由截面法可求得任一截面K的弯矩、剪力和轴力的方程为 ， ， 作得内力图如图136g、h、i所示。 将斜梁与水平梁的内力加以比较，可知二者有如下关系：， ， 第二节 静定平面刚架(一)、静定平面刚架的特点1刚架(亦称框架)是由横梁和柱共同组成的一个整体承重结构。刚架的特点是具有刚结点,即梁与柱的接头是刚性连接的，共同组成一个几何不变的整体。如图137a所示简支

9、刚架，图137b所示悬臂刚架，图137c所示三角刚架，图137d所示门式刚架，其中的梁与柱均用刚结点连接。 刚架中的所谓刚结点，就是在任何荷载作用下，梁、柱在该结点处的夹角保持不变。如图137a、b、c、d所示刚架在荷载作用下均产生变形，刚结点因而有线位移和转动，但原来结点处梁、柱轴线的夹角大小保持不变。2在受力方面，由于刚架具有刚结点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构，所以刚架结构在工业与民用建筑中，被广泛地采用。(二)、静定刚架的内力计算及内力图1、 内力计算 如同研究梁的内力一样，在计算刚架内力之

10、前，首先要明确刚架在荷载作用下，其杆件横截面将产生什么样的内力。现以图138a所示静定悬臂刚架为例作一般性的讨论。刚架是在任意荷载作用下，现研究其中任意一截面mm产生什么内力。先用截面法假想将刚架从mm截面处截断，取其中一部分隔离体图138b。在这隔离体上，由于作用荷载，所以截面mm上必产生内力与之平衡。从，知截面上将会有一水平力，即截面的剪力Q，与荷载在x轴上的投影平衡；从，知截面将会有一垂直力，即截面的轴向力N，与荷载在y轴上的投影平衡；再以截面的形心O为矩心，从，知截面必有一力偶，即截面的弯矩M，与荷载对O点之矩平衡。因此可得出结论：刚架受荷载作用产生三种内力：弯矩、剪力和轴力。 要求出

11、静定刚架中任一截面的内力(M、Q、N)也如同计算梁的内力一样，用截面法将刚架从指定截面处截开，考虑其中一部分隔离体的平衡，建立平衡方程，解方程从而求出它的内力。 因此，关于静定梁的弯矩和剪力计算的一般法则，对于刚架来说同样是适用的。现将计算法则重复说明如下(注意与前面的提法内容是一致的)： “任一截面的弯矩数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)对该截面形心的力矩的代数和”。 “任一截面的剪力数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)沿该截面平面投影或称切向投影的代数和”。 “任一截面的轴力数值等于该截面任侧面所有外力(包括支座反力)在该截面法线方向投影(或称法向投影)的代数和”。2 内

12、力图的绘制在作内力图时，先根据荷载等情况确定各段杆件内力图的形状，之后再计算出控制截面的内力值，这样即可作出整个刚架的内力图。对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。 在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。 为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个脚标，第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示杆的另端。如AB杆A端的弯矩记为MAB，B端的弯矩记为MBA；CD杆C端的剪力记为QCD 、D端的剪力记为QDC等等。 全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔

13、离体，按静力平衡条件进行校核。【例133】计算图139a所示刚架结点处各杆端截面的内力。解：（1） 利用整体的三个平衡方程求出支座反力，如图139a所示；（2） 计算刚结点C处杆端截面内力 刚结点C有Cl 、C2两个截面，沿Cl和C2切开，分别取Cl下边、C2右边，即ClA（包括A支座）和C2B（包括B支座）两个隔离体，分别建立平衡方程，确定杆端截面Cl和C2的内力。 对C1A隔离体(图139b)，则 ， ， ， ， ， ， (AC杆内侧即右侧受拉) 对C2B隔离体(图139c)，有 ， ， ， ， ， (CB杆内侧即下侧受拉) （3）取结点C为隔离体校核(图139d)。 校核时画出分离体的受

14、力图应注意：a）必须包括作用在此分离体上的所有外力，以及计算所得的内力M、Q和N；b）图中的M、Q和N都应按求得的实际方向画出并不再加注正负号。 ， 88=0 ， 66=0 ， 2424=0 无误。【例13-4】 计算图1310所示刚架刚结点C，D处杆端截面的内力。解： （1） 利用平衡求出支座反力，如图1310所示；（2） 计算刚结点C处杆（3） 端截面内力取ACl(相当取ACl段为研究对象，包括支座A)，得 ， kN ， ， kNm (AC杆内侧即右侧受拉。) 取AC2杆(相当取AC2为研究对象，包括支座A)，得 ， ， kN ， kNm (CD杆内侧即下侧受拉)（3）计算刚结点D处杆端截

15、面内力。 取BDl杆(相当取BD1为研究对象，包括支座B)，得 ， kN ， kN ， 取BD2杆(相当取D2DB为研究对象，包括刚结点D和支座B)，得 ， kN ， kN ， 4 取结点C或D为分离体进行校核。(略)第三节 继续讨论刚架内力计算【例13-5】 作图13-11a所示刚架的内力图。解：（1） 计算支座反力（图1311a）； （2）计算各杆端内力取CD杆：kNm（左侧受拉）kN取DB杆： kNm（下侧受拉）kN取AD杆： kNm（右侧受拉） kN kN Kn（3）作M、Q、N内力图弯矩图画在杆的受拉侧。杆CD和BD上无荷载，将杆的两端杆端弯矩的纵坐标以直线相连，即得杆CD和BD的弯

16、矩图。杆AD上有均布荷载作用，将杆AD两端杆端弯矩值以虚直线相连，以此虚直线为基线，叠加以杆AD的长度为跨度的简支梁受均布荷载作用下的弯矩图，即得杆AD的弯矩图。叠加后，AD杆中点截面E的弯矩值为 kNm(右侧受拉) 刚架的M图如图1311b所示。剪力图的纵坐标可画在杆的任一侧，但需标注正负号。将各杆杆端剪力纵坐标用直线相连(各杆跨中均无集中力作用)，即得各杆的剪力图。刚架的剪力图如图1311c所示。 轴力图的作法与剪力图类似，可画在任意一侧，需注明正负号。 刚架的轴力图如图1311d所示。 4校核取结点D为隔离体（如图13-11e所示） ， 44=0 ， 77=0 ， 4+2428=0 无误

17、【例13-6】 作图1312a所示刚架的弯矩图。解：（1） 利用平衡方程计算支反力；（2） 计算杆端弯矩取AC杆：求CE杆E端弯矩时，可取ECA隔离体（从C面截开）KNm（左侧受拉）取EA杆（包括刚结点E，从C2面截开）：KNm（上侧受拉）取DB杆（从C5面截开）： ， KNm（右侧受拉）取DB杆（从C6面截开）：KNm（右侧受拉）取FB杆（从C3面截开）：KNm（右侧受拉）取FB杆（从C4面截开）：KNm（上侧受拉）（3）作M图杆EF上作用均布荷载，将杆EF两端的弯矩值用虚线相连，以虚直线为基线，叠加简支梁受均布荷载作用的弯矩图（杆中央截面弯矩叠加值为），由此得杆EF上的弯矩图，其余各杆将杆

18、端弯矩的纵坐标用直线相连。注意D截面弯矩有突变。刚架的弯矩图如图13-12b所示。（4）校核取结点E为隔离体。（略）【例13-7】 试作图1313a所示刚架的弯矩图。解：（1）利用平衡方程计算支反力；（2）计算杆端弯矩 取AC杆（杆上荷载不包括力偶）： KNm（下侧受拉）取BC杆（从C左边截开，杆上荷载不包括力偶）： KNm（下侧受拉）取DE杆： KNm（右侧受拉） DC杆的D端弯矩与ED杆D端弯矩值相同，即 KNm（右侧受拉） 求DC杆C端弯矩时可取CDE隔离体（杆上荷载不包括力偶）： KNm（右侧受拉）。（3）作M图 AC杆中央截面弯矩 KNm（4）校核 取结点C为隔离体，如图13-13c所示。显然满足。通过以上例题可看出，作刚架内力图的常规步骤，一般是先求反力，再逐杆分段、定点、联线作出。在作弯矩图之前，如果先