微积分及其应用第三章习题解答

1、1.（1）=14.03（2）2.（1）= =(2)(3) =(4)3. (1) =(2)(3) =(4) =4.(1) = =(2) =5.解：6（1）首先判断函数的连续性时连续，时连续，在时，由于所以函数在处连续下面判断可导性在处 = = =由于故函数在处可导（2） 函数在处不连续，从而在处不可导。(3) 由于 即所以函数在处连续。又由于 即所以函数f(x)在处可导(4)由于所以函数在处连续又由于则所以在处不可导7解：时 时时所以在处可导 且 且8解：由于处连续故又由于在处可导故只需时，函数在处可导9解：由于 又由于在处连续，所以则10解：由于 则 故 在处的切线方程为在法线方程为11解：要

2、使只需 即 解得和则 在和处 抛物线 12解：在处由于为有界函数，则由于故13.证明： 在曲线上任取一点（），曲线在处的切线方程为令 解得 令 解得 所以，切线与两坐标轴围成的三角形面积为由的任意性即证结论成立练习3.21.求下列函数的导数 2.（1）.由于 所以 （2）. 由于 故 (3). 由于 故 3.4.(1)方程两边关于求导解出得（2）方程两边关于求导解出得（3）方程两边关于求导解出（4）方程两边关于求导解出得5.(1)方程两边取自然对数则（2）方程两边取自然对数上式两边关于求导则（3）方程两边取自然对数上式两边关于求导则（4）方程两边取自然对数上式两边关于求导则6.（1）由参变量方

3、程求导法则可得（2）（3）（4）7.解：在等式中令，则故由导数定义得：8.解：由于在处连续，则故又由于有连续的导数，且当时 当时 则当时 即联立求解可得：9.对方程两边取自然对数得对上式两边关于求导解出，可得10.解：由于故11.解：由于又当时当时在处故12.（1）（2）(3)(4)13.(1)设可导，且对上式两边关于求导，且由复合函数的求导法则可得即可知为奇函数（2）不妨设可导，且为奇函数。则上式两边关于求导即则函数为偶函数（3）不妨设可导且周期为,则对任意的，有对上式两边关于求导，则则知仍为周期函数，且周期为。14.解：设圆的半径为，则由于与都是时间的函数，且3.41.解：由于所以又由于则

4、故 2.（1）（2）（3）（4）（5）对两边关于求导解出则3.（1） （2） （3） （4） （5） （6）4.解：由则（1） 令，则（2） 令，（3） 令，（4） 令，5.解：（1）令，则当很小时，由近似公式可得（2）解：令，则当很小时，由近似公式可得6.解：由于 则7.解：令球的半径为，体积为，则可知是的函数。，则由近似公式3.51.证明：由于在上连续，在内处处存在，且。故在上满足罗尔定理。则在内至少存在一点，使得即解得证明：由于函数在上连续，在内处处存在，且。则令解得3.证明：由于和在上连续，且和在内处处存在，且在内恒不等于0.则在上满足柯西中值定理，且令 解出 则满足条件中的 4、解：

5、由于在、内连续，且在区间、内可导，且、，可见 在、内满足罗尔定理的条件，这由罗尔定理可知，在、内至少存在一个，使得，则可知至少有三个根，又由于是三次方程，故只有三个根。 5（1）令 易见在上连续，且在内可导，则由拉格朗日中值定理，存在.使得 又由于 ，则 即 6. 令，易见在上连续，在内可导，则由拉格朗日中值定理，存在，使得又由于，则即又由于，则即则6.（1）证明：令由于在上连续，在内可导，且在上由罗尔定理可得又由于故对任意的，即证。（2）令由于在上连续，在内可导，且对任意的=0又由于 故对任意的7.证明：令由题意 在内连续，在内可导，且则，由罗尔定理可得，在内存在一点，使得故 方程至少有一根

6、介于0与之间。（2）证明：令，易见、在上连续，在内可导，则由柯西中值定理可得，存在使得 即 整理可得，即证。8证明：由于，由题意可得：在上连续，在内可导，且，则由罗尔定理，在内至少存在，使得同理，在上连续，在内可导，且，在内至少存在一点，使得让在上应用罗尔定理，则存在，使得，即证。9解：由于 不妨猜想下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时，显然成立。当n=k时，当时=则证猜想成立。故 则 的n阶迈克劳林展示为=习题3.6练习3.61. 求下列极限（1） ； （2）（为常数）； （3）； （4） ；（5）； （6） ；（7）； （8）；（9）； （10）.解(1) 从而(2) （3）(4) （

7、5）（6）(7) 由于则故有（8）(9) 由于 则故有 (10) （太难！）2. 求下列极限：（1） ； （2）;（3） ； （4）；（5）； （6） ； （7） ； （8） ；（9）； （10）.解（1） (2) （3） (4)(太难) (5) 由于 则 (6) (7) 由于 .(8) 由于则(9) 由于则(10) 3. 求下列极限（1）； （2） ；（3）； （4） ；（5）； （6）（）.解 (1) 由于且 则 (2) (3) (4) 其中 (5) 由于则(6) (太难) 4.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出.（1） ； （2） .证明： 由于则但是(2) 但是5. 求下列极限：

8、（1） ；（2） ；（3） ； （4）解 (1) (2) (3) (4) 由于则6. 设二阶可导，且，试求.解 ：习题3.71. （1）函数的定义域为，令解得用它们把定义域可分成三个区间： ,利用导数判定单调性表.-1300由此可看出，函数在和内单调增加；在上单调减少.(2)函数的定义域为令，得用它把定义域可分成两个区间： 利用导数判定单调性表.0 由此可看出，函数在内单调增加；在上单调减少.（3）函数的定义域为，令解得用它把定义域可分成四个区间： 利用导数判定单调性表.000由此可见函数函数在内单调增加；在,上单调减少.(4) 函数的定义域为，令解得用它把定义域可分成两个区间： 利用导数判定

9、单调性表.000由此可见函数函数在内单调增加；在上单调减少.(5) 函数的定义域为，令解得用它们把定义域可分成三个区间： ,利用导数判定单调性表.-2000由此可看出，函数在和内单调增加；在上单调减少. (6) 函数的定义域为，由于 所以函数在上单调增加. 2. (1) 令由于时且则即（2）令由于时且则即 (3) 令由于且由于当时则在时单调递增，又由于则单调递增又由于即有 （4）令由于则当时单调递增，即，则 （5）令由于再令由于在时则从而在时从而单调递减，则当时，有即 3. 证：令由于则在0,1上单调递增. 又由于在0,1上连续，在(0,1)内可导，且则由介值定理可知存在，使得即知方程在(0,

10、1)内有根，又有单调性可知有且只有一个根. 4.证：令由于则单调递减. 又由于连续，可导，且则由介值定理可知方程在有根，又有单调性可知有且只有一个根. ？、5. 令由于则单调递减. 6.当时，令解得且即单调递增，由于单调递减.当时，从而单调递增. 由此可知在单调递增，在内单调递减. 7. (1) 函数的定义域为 令得驻点以这些点把定义域分成三个部分，列表如下：2+00+极大值28极小值1 (2) 函数的定义域为 令得驻点以这些点把定义域分成四个部分，列表如下：+0+00+无极值极大值极小值0 (3) 函数的定义域为 令得驻点函数在时不可导，以这些点把定义域分成四个部分，列表如下：010+0不可

11、导+极小值0极大值极小值0 （4）函数的定义域为令得驻点以这些点把定义域分成两个部分，列表如下： 00极小值0 (5)函数的定义域为令得驻点以这些点把定义域分成两个部分，列表如下： +0极大值 (6) 函数的定义域为函数的定义域为 令得驻点以这些点把定义域分成三个部分，列表如下：020+0极小值0极大值 8. 由, 由于函数在和处均取得极值，则解得 又由于则从而函数在出取得极小值，在处取得极大值. 9.解：（1）在上连续，且，由得驻点，且，在上的最大值为3，最小值为0. （2）由可得，又，有最小值且无最大值. (3),即为单减函数，最小值为最大值为 （4）令得，又所以的最大值为最小值为.10.

12、解：设圆柱形的底半径为，高为，由体积可得.则圆柱形的表面积， 由得又，底半径时有极小值，即用料最省，此时，高11.解：设截掉的小正方形的边长为，则，所得方盒的底边长为，高为，则其体积为，由得驻点，且 ，所以，时体积有极大值即最大值为12.解：设圆柱形的底半径为，则高为，制作这一容器的费用则由得驻点，且，当时容器有极小值即最小值，此时高为13.解：平均成本，则由可得驻点，且，产量时，有最小值，即平均成本最低.14.解：产量，收益，由得驻点，且，即时收益有极大值即最大值，且.15.解：牛仔裤的需求量，收益，成本，则利润.由得驻点，且，即时利润有极大值即最大值. 16.解：设分批进货，则手续费与运输

13、费为元，库存费为元，则总费用为由0得，又取值为整数，时，时，？17.解：设税收为每件元，则总税收为于是利润函数为，令得唯一驻点又所以就是利润最大时的销售量；将带入得，令得，又，所以，时，总税收额最大.18.解：略.19.解：，令得，且时，函数单调递增时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以，时，有极值时，有极值20.解：21.解：（1），令得拐点：，,且在内为凸函数，在内为凹函数.（2），对有即在内，函数为凸的，且五拐点.（3），因此，在内，函数为凹的，且五拐点.（4），令得且,则在内，函数为凸的；在内函数为凹的；在内函数为凸的；在内，函数为凹的；拐点为.（5）， 令得，且在内函数为凸的，在内

14、，函数为凹的，拐点为（6）令得且在内函数为凸的，在内，函数为凹的，拐点为22.解：证明：（1）令则曲线在内是凹的，对，有，即（2）令时，即曲线是凹的，对有，即（3）令则时，曲线是凹的，即对,有，所以，即23.解：.由已知 ，即 即 即 联立方程得24解： ，令得，此时，时，得拐点，此点处的切线斜率为，法线斜率为，法线方程为，法线过原点可得，即时，得拐点此点处的切线斜率为，法线斜率为，法线方程为，过原点得，即25.解：，由得即即得曲线的拐点为26.证明：，由可得，即解得，即得3个拐点，即，即三点在一直线上.27.解：（1）时，为铅直渐近线，时，为水平渐近线； （2）时，为铅直渐近线，时，为斜渐近

15、线；（3）时，为铅直渐近线，由 为斜渐近线；（4）时，为水平渐近线， 时，为铅直渐近线.28.略.29略.练习3.81. 求下列函数的边际函数（1） ； （2） .解 (1) 函数的边际函数为(2) 函数的边际函数为2.设生产某种产品个单位的总成本为：，求当时的总成本、平均成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义.解 总成本平均成本边际成本边际成本的经济意义：当产量为10 个单位时，再增加一个单位，成本将增加5个单位.3. 某商品的价格关于需求量的函数为，求：（1）总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；（2）当个单位时的总收益、平均收益和边际收益.解：(1) 收益函数 平均收益函数为 边际收

16、益函数 (2) 当个单位时的总收益、平均收益和边际收益分别为： 4. 设巧克力糖每周的需求量（单位：公斤）是价格（单位：元）的函数求当元）时，巧克力糖的边际需求量，并说明其经济意义. 解：由于，其经济意义为：巧克力糖的价格由原来的10元在增加1元，则需求量将减少0.432公斤. 5. 某企业的总利润函数为，其中表示总利润，单位：元，表示每月的产量，单位：吨，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并作出经济解释. 解：由于边际利润函数为每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润分别为经济解释为：当产量为每月20吨时，再增加1吨，利润将增加50元；当产量为每月25吨时，再增加1吨，利润不变

17、；当产量为每月35吨时，再增加1吨，利润将减少100元. 6. 设某产品的成本函数和收入函数分别为，其中表示产品的产量，求：（1）边际成本函数，边际收入函数、边际利润函数；（2）已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会有多少利润？ 解： (1) 边际成本函数，边际收入函数边际利润函数 (2) 已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会利润为145个单位. 7. 求下列函数的弹性函数： （1） ；（2） ； (1)弹性函数为(2) 弹性函数为 8. 设供给函数为：求供给弹性函数及时的供给弹性，并说明的经济意义. 解：供给弹性函数时的供给弹性其经济意义为：当价格时，若价格上涨（或下跌）1

18、则供给量将增加（或减少）约3.3. 9. 设某商品的需求函数为. 求需求的价格弹性函数； 求时的需求的价格弹性，并说明其经济意义. 解：（1）需求的价格弹性函数 (2) 表示当价格时，若价格上涨（或下跌）1则需求量将减少（或增加）0.6；表示当价格时，若价格上涨（或下跌）1则需求量将减少（或增加）1；表示当价格时，若价格上涨（或下跌）1则需求量将减少（或增加）1.2； 10.设某城市化纤布的恩格尔函数为：（单位：米/人季）问：当人均每季收人为多少时，需求收入弹性大于1？ 解： 11.设某商品的需求函数为 ，试求：（1）需求的价格弹性函数；（2）当时的需求的价格弹性，并说明其意义；（3）当时，若价格上涨1%，其总收益是增加还是减少？将变化百分之几 解：(1) 需求的价格弹性函数 (2) 当时的需求的价格弹性其经济意义：当价格时，若价格上涨（或下跌）1%，则需求量将减少（或增加）0.6