2012年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题1：函数问题(共54页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题1：函数问题1. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代

2、入到y=a(x-6)2+h，即2=a(06)2+2.6， 当h=2.6时， y与x的关系式为y= (x6)2+2.6（2）当h=2.6时，y= (x6)2+2.6当x=9时，y= (96)2+2.6=2.452.43，球能越过网。当y=0时，即 (18x)2+2.6=0，解得x=18，球会过界。（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。x=9时，y= (96)2+h2.43 x=18时，y= (186)2+h=0 由 解得h。若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h。【考点】二次函数的性质和应用。【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。（2）利

3、用h=2.6，当x=9时，y= (96)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论。（3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y2.43；由x=18时球不出边界得到y0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。2. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出

4、的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：每天售出瓶数17181920频数1225根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.【答案】解：（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为y=5x60 当5x600时，x12，当天至少应售出12瓶

5、酸奶超市才不亏本。（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5 。（3）小明说的有道理。理由如下：在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元.而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y=5x57 在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，总获利为28+33×2+38×7=360>355 。小明说的有道理。【考点】一次函数的

6、应用。【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，从而得出总利润，比较即可得出答案。3. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，ADE=90°

7、;，tanDAE=，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当ECA=OAC时，求t的值【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），解得。这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90°，DEF+EDF=90°，EDF+ODA=90°。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）抛物线的解析式为：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点E

8、CA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG与OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EMx轴于点M，则在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：。在RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质

9、，勾股定理。【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。 （2）先证明EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在RtECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。4. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求-的值；（）当y0

10、0恒成立时，求的最小值【答案】解：（）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。 y=x2+4x+10=（x+2）2+6，抛物线的顶点坐标为P（2，6）。点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7。（）由02ab，得。由题意，如图过点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1。连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1。过点A作AFBC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。则FAA1=CBD。RtAFA1RtBCD。 ，即。过点E作EGAA1于点G，易

11、得AEGBCD。，即。点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=ax12+bx1+c，化简，得x12x12=0，解得x1=2（x1=1舍去）。y00恒成立，根据题意，有x2x11。则1x21x1，即1x23。的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。将A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）分别代

12、入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算的值即可。（）根据02ab，求出，作出图中辅助线：点A作AA1x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1连接BC，过点C作CDy轴于点D，则BD=yByC，CD=1过点A作AFBC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。证出RtAFA1RtBCD，得到，再根据AEGBCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y00恒成立，得到x2x11，从而利用不等式求出 的最小值。 5. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12

13、000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1x6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7x12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a0)其图象如图所示1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元（1）请观察题中的表格和图象

14、，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值（参考数据：15.2，20.5，28.4）【答案】解：（1）根据表格中数

15、据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，（1x6，且x取整数）。根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：，解得：。y2=x2+10000（7x12，且x取整数）。（2）当1x6，且x取整数时： =1000x2+10000x3000=1000（x5）2+2200。a=10000， 1x6，当x=5时，W最大=22000（元）。当7x12时，且x取整数时：W=2×（12000y1）+1.5y2=2×（12000x210000）+1.

16、5（x2+10000）=x2+1900。a=0，对称轴为x=0，当7x12时，W随x的增大而减小，当x=7时，W最大=18975.5（元）。2200018975.5，去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×1+（a30）%×（150%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t13=0，解得：。28.4，t10.57，t22.27（舍去）。a57。答：a整数值是57。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。【分析】（1）利用表格中数据可以

17、得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。（2）利用当1x6时，以及当7x12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×1+（a-30）%×（1-50%）=18000，进而求出即可。6. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)

18、，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。(1)(2分)求c的值； (2)(6分)若al，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求ADE的面积S的最大值；(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F。当BF1时，求抛物线的解析式【答案】解：(1)抛物线过点A(0，3)，c3。(2) al， 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x6的交点应落在C点或C点下方。 当x6时，y0。，即。 又对称轴在y轴右侧，b0。0。 由抛物线的对称性可知： 。 又ADE的高BC3，S×b&

19、#215;3。0，S随b的增大而增大。当b时，S的最大值。 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线x6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即03。当x6，则，06b333，b6。BE3(6b33)366b。SAD·BE·b·(366b)3b2+18b。对称轴b3，随b的增大而减小。当b时，S的最大值。综上所述：S的最大值为。 (3)当a0时，符合题意要求的抛物线不存在。 当a0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点M、N分别在AB、OC边上时如图过M点作MGOC于点G，连接OM MGOA32MNO90°。 OF垂直平

20、分MNOMON，1MNO=90°，12。 FB1，FC312。 tan1，tan2tan1。GNGM1。设N(n，0)，则G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在RtAOM中， ，解得n5。M(4，3)，N(5，0)。把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得，解得。抛物线的解析式为。当点M、N分别在AB、BC边上时如图，连接MF OF垂直平分MN，1NFO90°，MFFN。 又0CB90°，2CFO=90°。 12。 BF1， FC2。tan1tan2。 在RtMBN，tan1，BN3MB。设N(6，n)则FN2n，BN3一n。MF2

21、n，MB。在RtMBF中，。解得： (不合题意舍去)，。AM6，M(，3)，N(6，) 。把M(，3)，N(6，)分别代人，得，解得。抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。 （2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。 （3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边

22、两种情况应用待定系数法分别求解。7. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线yk1xb与双曲线y（k20）的交点（1）过点A作AMx轴，垂足为M，连结BM若AMBM，求点B的坐标；（2）设点P在线段AB上，过点P作PEx轴，垂足为E，并交双曲线y（k20）于点N当 取最大值时，若PN ，求此时双曲线的解析式【答案】（1）解：点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y（k20）上， ck23d 。 k20， c0，d0。 A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。 AM3d。过点B作BTAM，垂足为T。 BT2，TMd。 AMBM， BM3d。在RtBTM中

23、，TM 2BT2BM2，即 d249d2， d。点B(3，)。（2） 点A(1，c)、B(3，d)是直线yk1xb与双曲线y（k20）的交点，ck2,，3dk2，ck1b，d3k1b。k1k2，bk2。 A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限， 点P在第一象限。设P（x，k1xb）， x2xx2x。当x1，3时，1，又当x2时， 的最大值是。1.。 PENE。 1。当x2时，的最大值是。由题意，此时PN， NE。 点N(2，) 。 k23。此时双曲线的解析式为y。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）过点B作BTAM，由点A（1，c

24、）和点B（3，d）都在双曲线y（k20）上，得到c=3d，则A点坐标为（1，3d），在RtBTM中应用勾股定理即可计算出d的值，即可确定B点坐标。（2）P（x，k1xb），求出关于x的二次函数，应用二次函数的最值即可求得的最大值，此时根据PN求得NE，从而得到N(2，)，代入y即可求得k23。因此求得反比例函数的解析式为y。8. （2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1x2，x1x2把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，

25、B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB|x1x2|。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；(2)当ABC为等边三角形时，求b24ac的值【答案】解：（1）当ABC为直角三角形时，过C作CEAB于E，则AB2CE。抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，则|b24ac|b24ac。a0，AB。又CE，。，即。b24ac0，b24ac4。（2）当ABC为等边三角形时，由(1)可知CEAB，。b24a

26、c0，b24ac12。【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析】（1）当ABC为直角三角形时，由于ACBC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CEAB于E，则AB2CE根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b24ac的值。（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACE，得CEAB，据此列出方程，解方程即可求出b24ac的值。9. 2012广东深圳9分）如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(4，0)、B(1，0)、C(2，6)(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求

27、证：AE=CE;来源:Z&xx&k.Com(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与ABC相似吗？ 请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过A(4，0)、B(1，0)，设函数解析式为：y=a（x4）（x1）。又由抛物线经过C（2，6），6=a（24）（21），解得： a=1。 经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=（x4）（x1），即y=x23x4。（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得： ，解得：。直线BC的解析式为y=2x+2点E的坐标为（0，2）。 AE=CE。（3）相似。理由如下：设直线AD的解析式为y=k

28、1x+b1，则 ，解得：。直线AD的解析式为y=x+4。联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。点F的坐标为（ ）。则。又AB=5，。又ABF=CBA，ABFCBA。以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出；由题意得ABF=CBA， 即可作

29、出判断。10. （2012广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，（1）求证： ；（2）求m、n的值；（3）当p0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值【答案】（1）证明：二次函数图象的顶点横坐标是2，抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+4m=0。（2）解：二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，OA=x1，OB=x2；。令x=0，得y=p，C（0，p），OC=|p|。由三角函数定义得：。tanCAOtanCBO=1，即 ，化简得：。将 代入得：，化简得：。由

30、（1）知n+4m=0，当n=1时，；当n=1时，。m、n的值为： ，n=1（此时抛物线开口向上）或 ，n=1（此时抛物线开口向下）。（3）解：由（2）知，当p0时，n=1， ，抛物线解析式为：。联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，化简得： 。二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，一元二次方程根的判别式等于0，即=02+16（p3）=0，解得p=3。抛物线解析式为：。当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。当p0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义

31、，二次函数的性质。【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式，化简即得n+4m=0。（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解当p0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。 11. （2012贵州六盘水10分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包

32、括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量（吨）水费（元）4225152045（1）求该市每吨水的基本价和市场价（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？【答案】解：（1）根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，市场价收费标准为：（5145）÷（2220）=3（元/吨）。设基本

33、价收费为x元/吨，根据题意得出：15x+（2215）×3=51，解得：x=2。该市每吨水的基本价和市场价分别为：3元/吨，2元/吨。（2）当n15时，m=2n，当n15时，m=15×2+（n15）×3=3n15。m与n之间的函数关系式为。-（3）小兰家6月份的用水量为26吨，她家要缴水费3×2615=63元。【考点】一元一次方程和一次函数的应用。【分析】（1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（5145）÷（2220）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本价。（2）利用（1）中所求不同水

34、价，再利用当n15时，m=2n，当n15时，分别求出即可。（3）根据（2）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费。12. （2012贵州黔东南12分）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？【答案】解：设总人数是x，当x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择

35、甲宾馆比较便宜；当x45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x35）=108x+420；乙宾馆的收费是y乙=45×120+0.8×120（x45）=96x+1080。当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55。综上所述，当x35或x=55时，选择两个宾馆是一样的；当35x55时，选择甲宾馆比较便宜。当x55时，选乙宾馆比较便宜。【考点】一次函数的应用。【分析】当x35时，选

36、择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜，当x35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可。13. （2012贵州铜仁12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪

37、念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【答案】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元， 根据题意得方程组得：， 解方程组得：。购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元。（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100x）个，解得：50x53。x 为正整数，x=50，51，52，53。共有4种进货方案。（3）B种纪念品利润较高，B种数量越多总利润越高。选择购A种50件，B种50件。总利润=50×20+50×30=2500（元）。当购进A种纪念品50件，B种纪念品

38、50件时，可获最大利润，最大利润是2500元。【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 购进A种纪念品8件B种纪念品3件=950元购进A种纪念品5件B种纪念品6件=800元。（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：购买这100件纪念品的资金不少于7500元，不超过7650元。 （3）因为B种纪念品利润较高，所以选取B种数量多的方案即可求解。14. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线C1的顶点坐

39、标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设， 是C2上的两个不同点，且满足： ，.请你用含有的表达式表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则P，Q两点间的距离）【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x2bx x2bx=的两根为x1，x2且，且b。b。抛物线的顶点坐标为（，）。（2）x，。当时，即当x时，有。 （3）由平移的性质，得C2的解析式为：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB为直角三角形，OA2OB2=AB2。m

40、2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化简得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）

41、结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由 得 ，即。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。15. （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数

42、图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。综上所述，k的取值范围是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x

43、2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。所求k值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由图象知：当x=1时，y最小=3；当x=时，y最大=。y的最大值为，最小值为3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值

44、。16. （2012湖南长沙10分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：.（年获利=年销售收入生产成本投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多

45、少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围【答案】解：（1）252830，把28代入y=40x得， y=12（万件）。答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件。（2）当 25x30时，W=（40x）（x20）25100=x2+60x925=（x30）225，当x=30时，W最大为25，即公司最少亏损25万。当30x35时，W=

46、（250.5x）（x20）25100=x2+35x625=（x35）212.5，当x=35时，W最大为12.5，即公司最少亏损12.5万。综合，得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。（3）当 25x30时，W=（40x）（x201）12.510=x2+59x782.5，令W=67.5，则x2+59x782.5=67.5，化简得：x259x+850=0，解得 x1=25；x2=34。此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25x30；当30x35时，W=（250.5x）（x201）12.510=x2+35.5x547.5，令W=67.

47、5，则x2+35.5x547.5=67.5，化简得：x271x+1230=0，解得x1=30；x2=41。此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30x35，综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25x35。【考点】一、二次函数的应用。【分析】（1）因为252830，所以把28代入y=40x即可求出该产品的年销售量为多少万件。（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入生产成本投资成本，得到w和x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。 （3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=

48、67.5，求出对应x的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。17. （2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如图，过点B作直线BE：y=x1交C1于点E（2，），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保

49、持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线C1、C2都过点A（3，0）、B（3，0），设它们的解析式为：y=a（x3）（x+3）。抛物线C1还经过D（0，3），3=a（03）（0+3），解得a=。抛物线C1：y=（x3）（x+3），即y=x23（3x3）。抛物线C2还经过A（0，1），1=a（03）（0+3），a=抛物线C2：y=（x3）（x+3），即y=x2+1（3x3）。（2）直线BE：y=x1必过（0，1），CBO=EBO（tanCBO=tanEBO=）。由E点坐标可知：tanAO

50、E，即AOECBO，它们的补角EOBCBx。若以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，只需考虑两种情况：CBP1=EBO，且OB：BE=BP1：BC，由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OBBP1=。P1（，0）P2BC=EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2OB=。P2（，0）综上所述，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（，0）。（3）如图，作直线l直线BE，设直线l：y=x+b。当直线l与抛物线C1只有一个交点时：x+b=x23，即：x2x（3b+9）=0。由=（1）24（3b+9）=0。得。此

51、时，。该交点Q2（）。过点Q2作Q2FBE于点F，则由BE：y=x1可用相似得Q2F的斜率为3，设Q2F：y=3xm。将Q2（）代入，可得。Q2F：y=3x。联立BE和Q2F，解得。F（）。Q2到直线 BE：y=x1的距离Q2F：。当直线l与抛物线C2只有一个交点时：x+b=x2+1，即：x2+3x+9b9=0。由=324（9b9）=0。得。此时，。该交点Q1（）。同上方法可得Q1到直线 BE：y=x1 的距离：。，符合条件的Q点为Q1（）。EBQ的最大面积：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距

52、离，平行线的性质。【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。（2）根据直线BE：y=x1知，该直线必过（0，1）点，那么EBO=CBO，若以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标。（3）EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最大；由于点Q可能在抛物线C1或C2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使EBQ面积最大的Q点首先作直线lBE，分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和EBQ的面积最大值。18. （2012江苏连云港12分）如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点(1)请说明甲、乙两人