立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

1、第六讲立体几何新题型的解题技巧考点 1 点到平面的距离例 1（ 20XX 年福建卷理） 如图，正三棱柱ABC A1BC的所有棱长都为2， D 为CC中点111（）求证： AB1 平面 A1 BD ；AA1（）求二面角 A A1D B 的大小；（）求点 C 到平面 A BD 的距离CDC11BB1P例 2.( 20XX 年湖南卷 ) 如图 ,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1 和 2,AB=4.( )证明 PQ平面 ABCD ；DCAMOB( )求异面直线AQ 与 PB 所成的角；( )求点 P 到平面 QAD 的距离 .Q考点 2异面直线的距离例 3 已知三棱锥SABC

2、 ，底面是边长为4 2 的正三角形，棱SC 的长为 2，且垂直于底面 . E、 D 分别为 BC、AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离 .考点 3直线到平面的距离例 4 如图，在棱长为2 的正方体AC1 中， G 是 AA1 的中点，求 BD 到平面 GB1 D1 的距离 .D1C1O1A1B1HGDCAOB考点 4 异面直线所成的角A例 5（ 20XX 年北京卷文）如图，在 RtAOB中， OAB，斜边 AB4 Rt AOC 可以通过 Rt AOB6D以直线 AO 为轴旋转得到， 且二面角 B AOC 的直二面角 D 是 AB 的中点（ I ）求证：平面 COD 平面 AOB ；（ I

3、I ）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小EOBC例 6（20XX 年广东卷）如图所示， AF、DE 分别是 O、 O1 的直径 .AD 与两圆所在的平面均垂直， AD 8,BC 是 O 的直径， AB AC 6，OE/AD .( )求二面角B AD F 的大小；( )求直线 BD 与 EF 所成的角 .考点 5直线和平面所成的角例 7.（ 20XX年全国卷理）四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD已知 ABC45o ，SAB2，BC22，SASB3（）证明SABC ；（）求直线SD 与平面 SAB 所成角的大小CBDA考点 6 二面角例 8（ 20X

4、X 年湖南卷文）如图，已知直二面角PQ，APQ ，B， C， CACB ， BAP45o ，直线 CA 和平面所成的角为 30o C（I）证明 BC PQ ；PAQB（II ）求二面角 BACP 的大小例 9( 20XX 年重庆卷 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD , DAB 为直角， AB CD， AD =CD=2AB, E、F 分别为 PC、 CD 的中点 .（）试证： CD平面 BEF ；（）设 PA k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ,求 k 的取值范围 .考点 7利用空间向量求空间距离和角例 10（ 20XX年江苏卷）如图，已知

5、 ABCD A1B1C1D1是棱长为 3的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1 上，且 AEFC1 1（1）求证： E，B，F，D1 四点共面；（2）若点 G 在 BC 上， BG2，点 M 在 BB1上，3GM BF ，垂足为 H ，求证： EM 平面 BCC1B1 ；（3）用表示截面EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小，求D1A1B1C1FEMDAHCGBtan例 11（ 20XX 年全国卷）如图 ,l1 、l2 是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A、B 在Cl 1 上， C 在 l2 上， AM =MB =MNA（I）证明 AC NB；NM

6、（II ）若ACB60 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.B考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.例 12 . 如图（ 1），将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器， 当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大 .例 13 .如图左，在正三角形ABC 中， D、 E、F 分别为各边的中点，G、H、 I、J 分别为 AF、AD 、BE、 DE 的中点，将 ABC 沿 DE 、EF、 DF 折成三棱锥后， GH 与 IJ 所成角的度数为（）GF

7、(A、B、C)ACHHGJIDEFDIJBEA、 90°B、 60°C、 45°D、 0°例 14.长方体 ABCD A1B1C1D1 中，D1 设对角线 D 1B 与自 D 1 出发的三条棱分别成、 、角C1求证： cos2 cos2cos2 1A1B1 设 D 1B 与自 D1 出发的三个面成 、 、角，求证：cos2cos2 cos2 2DCAAB考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中， AB 2 a， BC CA AA1 a，A 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上1求 AB 与侧面

8、AC1 所成角；若 O 恰好是 AC 的中点，求此三棱柱的侧面积 .例 16. 等边三角形ABC 的边长为4， M、 N 分别为AB、 AC的中点，沿MN 将 AMN 折起，使得面AMN 与面 MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A MNCB 的体积为（）A1B1OADBAM KBLC1CNC3B、33AA、C、D 、 322NMKCLB例 17.如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是一个矩形， AB 3，AD 1，又 PAAB ，PA4，PAD 60° 求四棱锥的体积； 求二面角 P BC D 的大小 .PHEDCAB例 18 .（ 20XX年全国卷）已知圆O1 是半

9、径为 R 的球 O 的一个小圆，且圆O1 的面积与球O 的表面积的比值为2 ，则线段9OO1 与 R 的比值为.ORO1rA【专题训练与高考预测】一、选择题1如图，在正三棱柱 ABC -A B C中，已知 AB=1， D 在 BB 上，1111且 BD =1，若 AD 与侧面 AA1CC1所成的角为，则的值为（）A.B.C1B134arctan 106A1C.D. arcsinD442直线 a 与平面成 角， a 是平面的斜线， b 是平面CB内与 a 异面的任意直线，则a 与 b 所成的角（）AA.最小值，最大值B.最小值，最大值2C.最小值，无最大值D.无最小值，最大值43在一个 45 的

10、二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45 角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A. 30B. 45C.60D.904如图，直平行六面体ABCD-A B C D的棱长均为2，1111D 1C1BAD 6011 1所成，则对角线 A C与侧面 DCC D的角的正弦值为（）AB111B.3DCA.2223ABD.C.425已知在 ABC 中 ，AB=9，AC=15 ，BAC 120 ，它所在平面外一点P 到ABC 三顶点的距离都是14，那么点 P 到平面ABC 的距离为（）A.13B.11C. 96如图，在棱长为3 的正方体 ABCD -A BCD中， M、N 分别1111是棱 A1B1

11、、 A1D 1的中点，则点B 到平面 AMN 的距离是（）9B.3A.265D.2C.57将 QMN60，边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQD. 7D 1NC1A1MB1DAAB折成 60 的二面角，则MP 与 NQ 间的距离等于 ()A.3 aB.3 aC.6 aD.3 a24448二面角l的平面角为 120，在内， ABl 于 B，AB=2,在内， CDl 于 D ，CD=3,BD =1, M 是棱 l上的一个动点，则 AM +CM 的最小值为 ()A.2 5B.2 2C.26D.269空间四点 A、 B、 C、 D 中 ,每两点所连线段的长都等于a, 动点 P 在线段 AB

12、 上 , 动点 Q在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 ()A.1 aB.2 aC.3 aD. a22210在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠） ，那么包装纸的最小边长应为（）A. (26 )aB.26C.(13)aD.13a2a211已知长方体ABCD -A1B1C1D 1 中， A1A=AB=2，若棱 AB 上存在点 P，使 D1PPC ，则棱 AD 的长的取值范围是 ()A.0,1B.0, 2C. 0,2D. 1,212将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使点 D 在平面 ABC 外，则 DB 与平面 A

13、BC 所成的角一定不等于（）A.30B.45C.60D.90二、填空题A11如图，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1， E 是 A1B1 的中点，则下列四个命题：E 到平面 ABC1D1 的距离是1 ；245 ；A直线 BC 与平面 ABC1D1 所成角等于空间四边形 ABCD 1 在正方体六个面内的射影围成面积最小值为 1 ；2BE 与 CD1所成的角为 arcsin10102如图，在四棱柱ABCD -A B C D中，P是 AC111111上的动点， E 为 CD 上的动点，四边形ABCD 满A1足 _时，体积 VP AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3边长为

14、 1 的等边三角形 ABC 中 ,沿 BC 边高线 AD 折起 ,使得折后二面角 B-AD-C 为 60° ,则点 A 到BC 的距离为 _,点 D 到平面 ABC 的距离A为 _.4在水平横梁上A、 B 两点处各挂长为50cm 的细绳，AM、 BN、 AB 的长度为60cm，在 MN 处挂长为60cm的木条， MN 平行于横梁，木条的中点为O，若木条绕过 O 的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了_.5多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A 在平面内 .其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别是1、 2 和 4. P 是正

15、方体其余四个顶点中的一个，则P 到平面 3； 4； 5； 6； 7.以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号）D1C1 B1EDCBD 1C1PB1DECB的距离可能是：? O16. 如图，棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔? O2（不计小孔直径）O1 、 O2、 O3 它们分别是所在面的中心.如果恰当放置? O3容器，容器存水的最大容积是 _m3.三、解答题1 在正三棱柱 ABC ABC中，底面边长为 a,D 为 BC 为中点，M 在 BB上，且 BM=B M ，1111113又 CM AC 1;（ 1） 求证： CM C1D;（ 2） 求 AA1的长.2 如图，在四棱

16、锥P-ABCD中， 底面是矩形且AD=2，AB=PA=2 ， PA底面ABCD，E 是AD的中点，F 在PC 上.(1) 求 F 在何处时， EF 平面 PBC ；(2) 在 (1) 的条件下， EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段 .若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3) 在 (1) 的条件下，求直线 BD 与平面 BEF 所成的角 .3如图，四棱锥S ABCD 的底面是边长为1 的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3 （ 1）求证 BC SC；（ 2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；（ 3）设棱 SA 的中点为 M ，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小4在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,A