天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式

1、第十五章 电路方程的矩阵形式内容总结目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法².三种主要关联矩阵形式： 结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N个结点、

2、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)b其中任意元素ajk的定义为：ajk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；ajk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；ajk= 0，表示结点j与支路k不关联； 回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下： lb其中任意元素bjk的定义为：bjk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联； 割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关

3、系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)b其中任意元素qjk的定义为：qjk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意： 对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =ii i2 i3 ibT。基尔霍夫电压定律的矩阵形式： u =ATun；u =ui u2 u3 ubT。 un =uni un2 un3 un(n-1)T。 对于回路关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式： i = BTil；i =i

4、i i2 i3 ibT。 il =ili il2 il3 illT基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =ui u2 u3 ubT。 对于割集关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =ii i2 i3 ibT。基尔霍夫电压定律的矩阵形式： u =QfTut；u =ui u2 u3 ubT。 ut =uti ut2 ut3 ut(n-1)T。三种矩阵之间的关系（略）2. 三种分析方法的方程的矩阵形式 回路电流方程的矩阵形式（略） 割集电压方程的矩阵形式（略） 结点电压方程的矩阵形式基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =ii i2 i3 ibT。基尔霍夫电压定律

5、的矩阵形式：u =ATun；u =ui u2 u3 ubT。 un =uni un2 un3 un(n-1)T。结点电压方程的矩阵形式的形成过程：第一步：建立复合支路：由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k条支路如下：由基尔霍夫电流定律得：所以：对该式 进行讨论，目的是得出一般规律。 复合支路中无受控源时：由KCL得： 变成 将代入得：又 所以 对整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。同理可以分析一下两种情况 复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：

6、复合支路中含有受控源时：都可以推导出第二步：写出A、Y、IS、US等矩阵；第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：3、典型例题分析【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。电路如图15.1（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。图15.1（a） 图15.1（b）解：由图15.1（b）得节点关联矩阵A,节点电压的列向量，支路电流的列向量，支路电压的列向量，支路导纳矩阵，节点导纳矩阵，结点电压方程的矩阵形式为： 【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。电路如图15.2（a）所示，以为

7、状态变量，列出电路的状态方程。 图15.2（a） 图15.2（b）解：方法 1直观法KVL：KCL ：； 消去：；代入上式：然后整理成矩阵形式（略）。方法 2系统法选图（b）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支含电感单连支回路的 KVL ：含电容单树支割集的 KCL ：【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。图15.3解：设 uc ,i1 ，i2 为状态变量其中：从以上方程中消去非状态量，得：写成矩阵形式：【例题4】：图15.4所示图G的关联矩阵A=_。图15.41 2 3 4 5 6 7 8 9A(每错一个元素扣2分，扣完为止)3、典型习题【题1】：已知图G的关联矩阵如下，画出图G

8、。【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL、KVL方程数分别为： 答（ ）A.3个，3个； B.3个，4个； C.4个，3个； D.4个，4个。图15.5【题3】：图15.6所示电路的图G已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）图15.6【题4】：图15.7所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为： 答（ ）图15.7【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Yb为： 答（ ）图15.8【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为时，标准支路的形式为图15.9中所示的： 答（ ）图15.9【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。（直接写出

9、无分）图15.10【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：1.有向图;（编号按元件参数下标）2.出所需的各矩阵;3.出节点电压方程的矩阵公式;4.出节点电压方程的矩阵形式。图15.11【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。图15.12【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。图15.13【题11】：图15.14所示电路中，R=5W；C1=2F；C2=1F；L=2H.。求该电路的状态方程。图15.14【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。图15.15【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。图15.16【题14】：图15.17所示电路中，R1=1000W；R2=3000W；C=250mF；L=0.1mH.。试建立电路的状态方程。图15.17【题15】：图15.18所示电路中，R1=1000W；R2=30W；R3=10W；