空间向量及二面角地向量求法专地题目

1、第四讲空间向量、定义：(1)已知，贝V AB (X2 为山 yiZ zi)z>)；(2)已知 a (xi, yi,zi),b (X2.y2.Z2)，贝V a b (xi X2, yi y2,zi a b(XiX2, yiy2,z,z?)； a bx/?yyz2r r r r(3 )数量积：a b a b cos(2)线面平行：a mI/ (其中m为平面的法向量)2 注：a< 2 a ；r r a bJ(a b)2 ； | a | Jx2 y2z2(4)应用：已知a(xi,yi,zi),b (X2, y2, z>)r r r a / /b br aXyizi , X2 y2 z

2、2abab0XiX2yi y2ZiZ20、空间向量解决空间立体几何问题:i、位置关系判定：(i)线线平行：a/bab西/旦X2y2Z2线线垂直： a b(cos0)xi X2yi y2:zi Z202线面垂直：a/ m I(3)面面平行：m/ n/ ,其中m为的法向量，为的法向量面面垂直：2、求夹角：(1 )线线角:(2 )线面角:(3 )二面角:| cossin,其中m为的法向量，为的法向量品，其中| cosa m|a|m|，其中°，2cos m n ，其中 °,)|m| n|向量法求解二面角向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更 为直接，用向量

3、的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些 空间想象能力较差的同学提供了机遇。禾I用平面的法向量几乎可以解决所有的 立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成 的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如 何用法向量求二面角。.利用法向量求二面角的大小的原理设n 1,门2分别为平面ni,n2的夹角为，则有的法向量，二面角l的大小为（图1 ）或（图2），向量基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二 面角的平面角.如何求平面的一个法向量例题1:如图3，

4、在正方体 ABCD-A 1BC1D1中G、E、F分别y为AA1、AB、BC的中点，求平面 GEF的法向量1 1略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，贝UE(1, -,0) > F(- , 1,0)、1 1 1 1G(1,0, * 由此得:GE (0,-, 2)FE (-, -0) 设平面的法向量为n (x, y, z)由n GE及n FE可得n?GE1 1 °yz 022x yn?FE1 1z yxy 02 2令y=1取平面的一个法向量为n (1,1,1)评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量(教简单的)即可三.法向量的应用举

5、例：例题 4.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=2，BC=4，AA1=2,点 Q 是BC的中点，求此时二面角 A A1D Q的大小.评析（1 ）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的 三步曲：“找一一证一一求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的，更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本 题中若令 ai1，则门2 （ 1, 1, 2）， a cos m ,门26，二二面角 AAiD6Q的大小 是门2arccos6的补角a

6、rccos 6。所以在计算之前不妨6 6先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例5如图5，在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD中，AD/BC，/11ABC=90 0，SA 丄面 ABCD，SA= ，AB=BC=1，AD=。求侧面 SCD 与面22SBA所成的二面角的大小。SAD图5评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法 求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不 明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时，以下给出解决方案。四.当

7、直观很难判断二面角是锐角还是钝角时，通过判断法向量的方向来求解二面角原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系:uv如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”， 此时两法向量在三个坐标平面xoy, yoz, xoz的投影也uv uv可以看成是“一进一出”，这时不难得出n1,rb的夹角就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢?如图7所示：平面ABC的法向量rn若要法向量v的方向“向上”，可设n = (x, y,1)或n = (x, y, zo),其中Zo>O ;若要法向量n的方向“向前”，可设

8、 n = (1, y, z)或 n = (xo, y, z)，其中Xo 0 ;若要法向量為勺方向“向右”，可设v =(x,1, y)或 n = (x, yo, z)，其中 y° 0所以，只要我们判断两个法向量的方向是进一出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法 向量求二面角就可以做到随心所欲。求侧面SCD与面SBA所成的二x1，在底面是直角梯形的四棱锥 s ABCD中，AD/BC，/ABC=90 °, SA11丄面 ABCD , SA= - , AB=BC=1 , AD

9、=-。22面角的大小。C12如图，正三棱柱ABC ABG的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1丄平面ABD ;(U)求二面角A A1B C1的大小；3如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形,PA 平面ABCD , ABC 60°, E, F分别是BC, PC的中点.(1)证明：AE PD ;(2)若H为PD上的动点,面角E AF C的余弦值.EH与平面PAD所成最大角的正切值为-2，求二D4 如图，在底面是菱形的四棱锥PABC D中，/ ABC=60 0, PA=AC= a, PB=PD=、2a,点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.(1 )证明PA丄平面ABCD ;(2 )求以A