椭圆难题包括答案

1、椭圆难题包括答案关于焦点三角形与焦点弦(1)椭圆上一点P与两个焦点倂，耳所构成的PF/?称为焦点三角形。ikZFPF2=0,则有：>2cos<9 = -1,当斤(即P为短轴顶点)时,此时COS& = 工a“牌的面积孰sin 器 "tan*c|y°|>0=b (即P为短轴顶点)时，S最大，且Smax = be F Fb2-c2<PFPF<b2(2)经过焦点片或巴的椭圆的弦A3,称为焦点弦.设 A3, yj, B(x2, y2) , AB的中点为 M(x0, y0), 则弦长 | AB = 2a± e(x, +x2) = 2a&#

2、177; 2ex0(左焦点取“+“，右焦点取“-“)2b2当A3丄X轴时，最短，且ABn.n =关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去y,得到关于兀的一元二次方程， 设交点坐标为3，), (x2, y2),则有> 0 ,以及xi +x2, xx2 ,还可进一步求出 刃+力，*2。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2点差法：设交点坐标为(知yj,(花，力)代入椭圆方程，并将两式相减，可得 乂工 =,在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法西一兀2 犷(必+儿)典例剖析描圆难题包括答案1求椭圆的标准方程【例2设椭圆二+二=1 (“>b

3、>0)的左焦点为F,上顶点为A,过A点作AF的垂线 cT b"、一.ft,分别交椭圆于P,交x轴于Q, AP = -PQ(1) 求椭圆的离心率。(2) 若过A, F, 0三点的圆恰好与直线x + V5y + 3 = 0相切，求椭圆的方程。 2【解】(1)由已知可得：F(c, 0), A(0, b 0(, 0)cq肪2 Sh由AP = -PB可得：P(，),将P点坐标代入椭圆方程可得：513c 13cb2 3* a2 -c3 小 c小八1ac 2ac 22(2)由(1)得：0(3c, 0),圆心为(c, 0),半径r = 2c于是有：- = 2c=>c = l (圆心到直线

4、距离)，所以a = 2, b = y/3o2,2 2故椭圆方程为：= 143【例4】已知椭圆的中心在原点O,短轴长为2血，右准线交x轴于点A,右焦点、为F ,且|OF| = 2|E4|,过点A的直线/交椭圆于P, 0两点(1) 求椭圆的方程(2) 若芳 OQ = Of求直线/的方程(4)求、OPQ的最大面积_2 2【解】(1)c = 2 , b =近,a = y/6 , 4(3, 0) 椭圆方程为：* + * = 1(2)设直线/的方程为:兀一3 =紗,且设(西,”)，0(勺,y2)描圆难题包括答案29乂丄=162 消去兀，得：（疋+3）：/+6炒+ 3 = 0x-3 = ky6k3则）1 +

5、 y? =, Vi y9 = r二疋+3一丄2疋+3nr. $ 仲18一6/ + 27从而求付：壬+兀=戸肓，召兀2= 疋+3由丽苑 =0得：旺吃+必兀=0 ,求得k= 土躬所以/的方程为：x±y/5y-3 = 0由(1)得5处>|SgPQ3=空网山_儿|=空32令=，°)，则S卄退/ t + 2t当且仅当t = ±- 即&=±时，取“=” 所以OPQ的最大面积为J亍2椭圆的性质2 2【例6已知椭圆二+ g = l (d>b>0)的两个焦点分别为斥(-。0),耳(c, 0),在椭 圆上存在一点P,使得耳西=0(1)求椭圆离心率的

6、取值范围(2)当离心率取最小值时，aPFR的面积为16,设A, 3是椭圆上两动点， 若线段A3的垂直平分线恒过定点Q(0, -V3)o求椭圆的方程；求直 线A3的斜率R的取值范围。描圆难题包括答案【解】(1)设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得：Zf；Bf；>Zf；Pf；=90()所以ZOBE,>45°,从而 tanZOB/；>l,即->1 二> c2>b 又b2=a2-c2, - b7C"7所以c >a2 -c,得：二、丄，所以CT 2(2)当e取得最小值半时，P在短轴顶点,所以S呼f厂bc = 6,又沽孕宀*2,27故求得

7、：W a所以椭圆方程为:扫詁】设4（州，yj, B（x2, y2）,设直线AB的方程为y = kx + b9 4B的垂直平分线方程为：y = -丄兀一巧ky = kx + by2 消y去得：（1 + 2疋"2+4俎川+ 2戸一32 = 0 .32 + T6 _则有 = 6k2b2 -4（1 + 2k2）（2fe2 -32）>0 即 b? <16（1 +2k又有兰从+121 + 2/J + 2ki所以的中点为M-2kb _b_l + 2/' 1 + 2 巴£ （ -2kb 门1 + 2疋又M在AB的垂直平分线上,亍一馆，即勿=馅(1 + 2疋)将代人求得：

8、迈VRV逅6 6求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况:(1)已知不等式；(2)椭圆上的点的横坐标满足-c/<x0<t/;(3) A>0;描圆难题包括答案2 2(4)椭圆內部的点(x0, y0)满足乎+齐1；【例7椭圆的中心在原点，焦点在兀轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点&与椭圆交 于A, B两点，丙+西与向量“ =(3, -1)共线。(1)求椭圆的离心率w(2)设M为椭圆上任一点，若OM+p £ R),求证:A 2(2)由(1)得：a2=3b2fc = yj2bt所以椭圆方程为：上;+匚=1 ,3b- tr + p2为定值【解】(

9、1)设椭圆方程为 + M = i (d>Z?>0),设4(X , yj, B(x2 , y2),由已知：直线AB的方程为：y = x c,代入椭圆方程，得：(/ +b-)x-2acx + ac -crkr =0,2a2c. _.由韦达定理得：兀+兀2二-】'/ 易知：OA + OB = (Xj + x2 , y + y2) 因为 OA + OB 与向量方=(3, -1)共线，所以 3(y)+y2) + (x1 +x2) = 0, 而+” =西 +勺一2c，所以 3(X +x2 一2c) + (X + 占)=0,即坷+匕=竺，于是有抄笃=竺=/=3，1-2a2+b22又 b1

10、 = a -c,所以二 = ?,故有:e = - = ocT 3a 3椭圆难题包括答案即x2 + 3y2 = 3b2,直线AB的方程为：y =近b,于是有：再 +x2 = 3 弋b，X x2 =¥，从而” +»2> X ” = 一?心=Ax. + LIX,y0 = 6 + “乃将M的坐标代入椭圆方程得：(入¥ 4-+3(/1” + /y2 )2 = 3Z?2,即22 (x,2 + 3y,2) + “2 (x22 + 3y22) + 2(召 x2 + 3y -y2) = 3b2, 于是有：才352+23尸=3戻。故22+/2 =-1为定值。2 2【例8已知A为

11、椭圆二+右=1 (d>b>0)上一动点，弦AB, AC分别过焦点倂，F2f 当AC丄x轴时,恰有AF=3AF2.(1)椭圆的离心率(2)设丽=人丽，疋=人*,判断2,+2,是否为定值？,2 2【解】(1)当AC丄x轴时，卜一 从而 AF.='a ,Qj #2依定艾有AF + AF2 = 2a f 所以 = 2a>a2 =3b2而 b2 = a2 c2 f 所以 a2 2c =x> = 即 e =a 2 , 2 .2 2(2)由 可知椭圆方程为：* += 1,片(_c, 0),竹(c, 0)设人(忑，y°)，B(“, yj, c(x2, y2) 若AB,

12、 AC的斜率都存在，则直线AB的方程为y =(x + c) 勺+c代入椭圆方程，并整理得：(2cx0 + 3c2)y2 -2cy0(x0 +c)y-c2y02 = 0 由韦达定理有療"弧"品由已知：人= _A=3c±2x1；同理可得：入=竺2勺 XCC所以人+入=6 若45 AC有一个斜率不存在，不妨设AC丄x轴3(7 + 2c则入=1,= 5 所以入+入=6c"综上所述凡+入=6为定值。3o最值问题99【例11】已知椭圆C:宁+匚1卫是垂直卄轴的弦，直线*4心轴于点为椭圆C的右焦点，直线AF与交于点M(1)证明：点M在椭圆C上 (2)求AMN面积的最大

13、值2 2【解】(1)由已知F(l, 0), N(4, 0)。设心,町，则B(g -切(心0)JL + = 1,AF与 BN 的方程分别为：AF:y = -(x-) BN: y = -(x-4) m-m-4联立两直线的方程求得："茶|尸生即M5/W-82m - 5V 加 _8丫、2加-5丿|4312(2W5)y-l,所以点M在椭圆C上12( 2加 5)2因为g土阳 35+36x3 12(2？ 5)23/2、2/n - 5)2 1Q4丿12(2w-5)2(2)设直线AM的方程为x- = ky (过焦点)且y) M (x2, y2)二+ 21 = 143=（3R，+4）y，+6灯_9 =

14、0x- = ky令ht) =+ y (r>l),函数的)递增，所以当r = l时，“取得最小值4,18 9 故当"0时，取得最大值一二一2【例14已知椭圆C: + = l的左，右焦点分别为件F2,过片的直线与椭圆交于A, 3两点(1)求厶AF.B的面积的最大值(2)当厶AF?B的面积最大值时，求tanZF/代的值 【解】(1)由已知得：斥(一1, 0),场(1, 0)设直线A3的方程为x + l = ky 9且设A(X, yj,y2)x + =kyy2 一 6好一9 = 0rJ由已知可得：Sw,8 =LFlF2.yi-y2 = |>«- y2| =（必+儿）2一

15、4卩2椭圆难题包括答案3612松+112松 + 112+ 3宀4 3F+4 一 3(/+1) + 1 一土R7丄1+1令 (r) = 3r + -(r>l)易证函数在1,乜)上递增(*),所以当=1时,g(f)取得最小值4 ,故当R=0时,Fg _433血+ 1+_= 取得最小值4,故孔宀的最大值为3。 膺+ 12(2)当S/b最大值时,k=0,从而AFX = -，而闪笃| = 2所以tanZF/片二24直线与椭圆的位置关系【例16】已知斥，打是椭圆C: + /=l的左，右焦点，直线/与椭圆相切。(1)分别过片，场作切线/的垂线，垂足分别为M,N，求FM-F2N的值(3)设直线/与兀轴，

16、y轴分别交于两点A, 3,求|A3|的最小值。【解】(1)设直线/的方程为y = kx + m，由已知：巧(石，0),鬥(巧，0)。所以同M| =卜瘠罗!；応N| =3k + mJl + k?于是|印叶|护|£ j?»k + m _ 3k2 -nr Jl + 疋 + ky = kx + mQ 7<一+ V" = 14消去 y,的：(1 + 4£，)十 + Skmx + Am1 -4 = 0.因为直线/与椭圆相切，所以=(弘加)2 - 4(1+ 4/)(4/_ 4) = 0 => 肿=4疋 + 1所以网恥|"2：（誓+i）L=i为定值

17、.l + k2（2）易知：Ain ,0 L 5（0，加）。所以|AB| =4疋+- i- + 5>V4 + 5 =3o 当且仅当 4*2討心±¥时取等号。2 2【例17】已知椭圆C：t + * = 1,过点P（0, 3）作直线/与椭圆顺次交于A, 3两点（A在p s求誹取值范围;是否存在这样的直线人使得以杠为直径的圆经过坐标原点？若存在，求/的方程，若不存在，说明理由。【解】（1）方法一：（联立方程法）i ）当直线/的斜率存在时，设直线的方程为y = kx + 3且设A（Xi，yj, B（x2, y2）oy = kx +3联立< F y2 ,消去），并整理得:（

18、9疋+4）兀2+54 + 45=0 94则有二（54R ）A 5 - 4（9/ + 4）.45 >0, 求得:Z:2>|又有心产誥45kY=2 （0<2<1），则有工=八艮卩x, = Ax.X2 '"舟所以”呼_<茅而心），故求得：ii ）当直线/的斜率不存在时，A =-综上所述,借的取值范围是方法二:（点差法）设 A（X, yj, （兀2, >2），=（0<2<1）则有：PA = APBf 所以x, = Ax2 , y严;1儿一（3兄一3）,即 A（Ax2,几儿 一（3人一3）（兄勺）?，（久2 -（3兄一 3）H= 1于是有

19、9V2 V 2 汇+h = l94(1)(2)(1) x2- (2)得®(八小匚，,即 = 13A-5由已知，一2»2所以一2叮<2十<5而/lw(O, 1),所以 1<A<1（2）假设满足条件的直线存在，设yj, 3（兀2，儿），则心2 +'12=°由（1）可知：為+左=二fL兀无=上竺一1-9/+41 -9宀4从而求得：）卩2=（鋼+3）（也+3）=冷启? 于是有：45 + 36-36L=o=>£=±° 满足2故满足条件的直线/存在，且直线方程为:323°) = x + 3 A y

20、=x + 32 2椭圆难题包括答案过点7(6 m)的直线刀4,彷分别交椭圆于点M(引yj, N(p，%)(牙>°，2<°)(1) 设动点P,满足耳-|皿=4,求点P的轨迹方程(2) 当州二2, x2=-时，求T点的坐标设f = 9,求证：直线MN过x轴上的定点【解】(1)由题意知：F(2 , 0) , A(3 , 0),设P(x , y),则9 (x - 2)2 + y2 - (x - 3)2 - y2 = 4,化简整理得：x = -2(2)把召=2,乞=*代人椭圆方程，分别求出：M(5、Kr(20)2 ,-9 N -,13丿l3直线AM:)' = *(%+ 3)；直线3W: y = -|(x-3)、联立，得：10T(3)由已知：T(9 , m)9直线7X:y = (x + 3)与椭圆联立，得：Mf 3(龙80)m2 + 8040jtt + 80)直线TB；y = *(x-3)与椭圆联立，得：N(3(m2 - 20)< m + 2020m2 + 204020m2 + 80 + m2 + 2070直 4 MN 的方程为：y + 加2