椭圆与双曲线常见题型归纳

1、椭圆与双曲线常见题型归纳一曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系 ”的综合型试题的分类求解1向量综合型例1在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,.3),(0, .3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线y kx 1与C交于A, B两点。(I)写出C的方程;uuu(n)若 OAuuuOB，求k的值。例1.解:(I)设P (x, y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,、,3),(Q.、, 3)为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b _22(；'3)21 ,2故曲线C的方程为x21 .42()设 A(x,yi), B(x2,y2)，其坐标满足x2冷1,kx 1.消去y并整理得(k24)x2

2、2kx 3 0,故 x-ix2uuu 若OA2k kF uuu OB，即3k2 4k2x1x2曰是也y2化简得 4k21X1X2yiy2k(xi X2)3k240，所以k3k22k2k2 4x2例2 .设&、F2分别是椭圆41的左、右焦点.(I)若P是该椭圆上的一个动点，求unr ujluPF1 PF2的最大值和最小值；(n)设过定点 M (0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点I的斜率k的取值围B，且/AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线例2.解：(I)解法一：易知 a2,b1,c所以 F1.3,0 ,F2 .3,0，设P x,y，则uuir uuunPF1 PF2x, yy2 3

3、UUU因为x 2,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，PF1uuuaPF2有最小值 2UULTP为椭圆长轴端点时，PF1uuuuPF2有最大值1解法二二：易知a2,b1,cUULTUUUUUULTuuuuPF1PF2PF1PF2cos、3，所以F1F1PF2当x 2，即点.3,0 ,F2 x3,0，设 P x,y，则uuur uuuuPF1 PF2uuur 2PF1uuuu 2F1F2Uuu-uuuU2PF1PF23 （以下同解法一）uuuu 2PF2.3x .3y212 x联立- Xi又00显然直线y2 x4X24kkx4kk2A0Buun0不满足题设条件,可设直线l:ykx 2,A x

4、ny2 ,BX2, y2，消去X2整理得:3.2 1 k44k2k2x2 4kx 30 得:900cosA0BuuuOAuuuOBuuu- OA OB x1x2y2 0kx-) 2kx2 2,2k X1X2 2k 为X23k2.2 1 k4k28k14k2 J4k2321k4k20，即 k24故由、得例3.设F1、F2分别是椭圆41的左、右焦点,B(0,1) UULU(I)(n)(出)P是该椭圆上的一个动点，C为椭圆上异于B一点，且P是该椭圆上的一个动点，求uultPF1 PF2的最大值和最小值；BF1CF1，求的值；PBF1的周长的最大值.例 3.解：（I）易知 a 2,b1,c盏馋峯含&#

5、39;乜, 所以 f173,0 , f2 J3,0x,yuuirPF1Ph.3 x, y , ,3 x, yx2y23 xx 2,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，uur uuun2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值(n)设 c( x。, y。), B(0, 1) F1 73,0因为BF,xo.3(1),yo2670解得2P X02又y047(10舍去)(出)因为 |PF11+ |PB|= 4- |PF2|+ |PB|W 4+ |BF2|.|B F11 <.82X2121 33x 844uuuujinPF1 PF2有最小值 2CFi得所以当P点位于直线BF2与椭圆的交

6、点处时，PBF1周长最大，最例4.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0)，右顶点为(.3,0)(1)求双曲线C的方程;若直线l: y kx 2与双曲线以有PBFi周长W4|BF2|+大值为&围。例4.解：(I)设双曲线方程为C恒有两个不同的交点 A和B ,且OA OB2(其中O为原点)，求k的取值2y1 (a0,b0).由已知得a 3, c2,再由 a2 b222,得b21.2故双曲线C的方程为y231.(n)将y kx 2代入1得 (13k2)x26 . 2kx9 0.由直线I与双曲线交于不同的两点得1 3k2(6 2k)0,2236(1 3k )236(1 k )0.即 k

7、2-且k21. 设 A(Xa,Ya),B(Xb,Yb),36、2k9 缶uuu/曰Xa Xb2 , XaXb厂由°A OB 2得XaXb1 3k21 3k2而 XaXb YaYb XaXb 曲人，2)仆沧 ' 2)(疋(k2 1)笃 &k 返 2 .于1 3k1 3k3k 13k 90,解此不等式得1 k23XaXbYaYbXaXb2,即3k213k23.yAyB1)XaXb由、得k21.故k的取值围为(1,于)例5.已知椭圆2每(a> b > 0 )的离心率eb22,-2k(xA Xb) 2(刊).6，过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线与原点

8、的距离为3(1) 求椭圆的方程.(2) 已知定点E (-1, 0),若直线y = kx+ 2 ( Q 0)与椭圆交于 C、D两点.问：是否存在 k的值，使以CD为直依题意aab解得a '3，3b 1a2 b22椭圆方程为x2213 y 1 4分径的圆过E点？请说明理由.例5.解析：(1)直线AB方程为：bx-ay-ab = 0.c . 6(2 )假若存在这样的k值,kX 2,3y2得(13 02 23k ) x 12kX 9(12k)2 36(1 3k2)0 .XiX2设 C(Xi , yj、D(X2, y2)，则XiX212k1 3k2，93k2而 y1 y2 (kX12)( kX2

9、2) k2X1X22k(X-|X2)4要使以CD为直径的圆过点E ( -1 ,0 ),当且仅当CE丄DE则亠土X-I 1 X21ym (X11)(X21)0.10分(k2 1)x1x22( k 1)(x1X2)50.将式代入整理解得 k 7 .6k 7，使得以6经验证，k 7，使成立.6综上可知，存在CD为直径的圆过点 E.13分2.“中点弦型”1 ,试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同x2例6.已知椭圆一4两点关于直线2yX2X14y2212,相减得3(x2 22X1)4( y22y1 )0,y。3x0,3x04X0m,X0m,y°3m则2 m9m21,即2.32,3m 43131

10、3例 6.解：设 A(X1, yj, B(X2,y2), AB 的中点 Mgy。) , kAB而M(X0,y。)在椭圆部,y y1. 2 2 2而 3x1 4y1 12, 3x2 即 y1 y23(X1 X2),14,例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率e . 3，焦距为2. 3 (I )求该双曲线方程.(II)是否定存在过点P (1 , 1)的直线I与该双曲线交于A , B两点，且点P是线段AB的中点?若存在，请求出直线I的方程，若不存在，说明理由2例 7. (1) x2 乙 12(2)设 A(xyj, B(X2, y2)，直线:ykx1 k，代入方程x22y-1得22 2

11、2(2 k )x 2k(1 k)x (1 k)则冬xi匹占1，解得k22 k此时方程为2x24x方程没有实数根。所以直线I不存在。例&已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1(0,2j2)，F2 (0，刃习)，且离心率e(I)求椭圆的方程;(II)直线I (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线I倾斜角的取值围。例&解:(I)设椭圆方程为2 2yx2,2ab1,由已知c 2迈，又-2忑a解得a=3，所以b=1，故所求方程为2y 2. x 19(II)设直线I的方程为y kx b(kH 0)代入椭圆方程整理得2 2 2(k29)x2 2kbx b2

12、90由题意得x1x2(2 kb)2 4( k29)( b29) 02kb d1k29解得 k或k<3又直线I与坐标轴不平行故直线I倾斜角的取值围是2(3，2)(2，3)12分3“弦长型”2例9直线y= kx+ b与椭圆y21交于A、B两点，记4AOB的面积为S.(I)求在k= 0, 0v bv 1的条件下, ( )当|S的最大值；AB |= 2, S= 1时，求直线AB的方程.例9(I)解：设点A的坐标为(xb)，点B的坐标为(x2,b),2由7 y21，解得冷22J1 b2当且仅当b(n)解：由(4k2 1)x2216(4k2lxX2 |乎时，.y2 x4kx8kbxb2 1)2b 1

13、 bS取到最大值4b2I AB I = .1 k2 |X1X21 k216(4k2 b2 1)24k2 1又因为O到AB的距离2S1 所以b2k2代入并整理，得4k44k2 11解得，k2丄,2，代入式检验，>2故直线AB的方程是例10.已知向量mi =(0, x),n1 =( 1,1), m2 =(x, 0), n2 = (y2, 1)(其中 x, y 是实数)，又设向量 m =rirrirrn = m2 . 2 n1，且m / n，点P (x, y)的轨迹为曲线 C.(I)求曲线C的方程;4J?一(n)设直线丨：y kx 1与曲线C交于M、N两点，当|MN |= 时，求直线I的方程.

14、3例10解：(I)由已知，m (0,x) (&y2,&), (&y2,x d,Q m / n, 2y2( 2)(x . 2)( x . 2)0n (x,0) (22) (x即所求曲线的方程是:2X 22 22k )x 4kx 0.(n)由 2 y消去 y得 : (1y kx 1.4k解得x1=0, x2=(x1，x2分别为M , N的横坐标).1 k2 |X1 x2| .1 k2 | 鴛 | 餐2I 2K 3解得:k1.11分所以直线二“基本性质型l 的方程 x y+1=0 或 x+y 1=0.12分2x 例11.设双曲线G的方程为-ya2古 1(a 0，b 0),A、

15、B为其左、右两个顶点， P是双曲线G上的任一点,引 QB PB, QA PA ,AQ与BQ相交于点Q。(1)求Q点的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹为C2， C1、C2的离心率分别为e，当61.2 时，求e的取值围。例 11.解：(1)设 P(x0, y0), Q(x, y) A( a,0), B(a,O), QB PB,QAPAy0x02y22x a经检验，点(2)a22y。2X02y2a21注1， a1，二2y。2x0b2 ,a2e>22，化简得：a?x'b2:2b2y(a,0), (a,0)不合题意，.点Q的轨迹方程为a2x2b2(y 0)(1 )得C2的方程为4 a r22 e>2y_4ab2a2c i12ei1(2)2 1 1Q,2。2y 1上一点，9(1) 求厶F1PF2的面积；(2) 求P点的坐标.例12.2P为椭圆25F2为左右焦点，若F1PF260例 12.解析:T a= 5, b = 3 c= 4门)设 |PF1 | t1 , |PF2| t2 ,则t1t2 10 t；S F1PF22址2 cos601 1 也 sin602 282,12由2得址212(2)设 P(x, y)，由 S1 2c | y | 4 | y | 得 4|y| 3 3| y | 3 32巳5甬3込或d/5丽3、层、或F1PF2r，”p(5 13