椭圆中减少运算量的主要方法_第1页
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1、椭圆中减少运算量的主要方法张钟谊椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能 够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。一、追根溯源，回归定义椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质， 把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。2 2例1。（全国高中数学联坯）给定A （-2, 2），已知B是椭圆不 16 上的I 乱动点，F是左焦点，当I 31 |取得最小值时，求B点坐标。（T 、八I肘|+?国闿分析：如果设点B的坐标必丿，再求 3 则计算量相当大，而如果利-网用椭圆的第二定义，把引 转化为B点到左准线的距离就简单的多.

2、a=5, b = 4, c = 3, &=-x=解：由已知椭圆方程得：5,左准线为3 如图1,过B点作左准线的垂线，垂足为N。过A点作此准线的垂线，垂足为M。根据椭 圆的第二定义得：网=啓=訓I则网+1盟I=嗣+阿 I购I刚（册为定值）当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立.呼2可解得B点的坐标是 Z 二、充分运用平而几何性质 结合平而几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之2 2例2。椭圆94 的焦点为阳毘，点P为其上的动点。当空阴为钝角时，点P的横坐标的取值范围是O分析：用/尺网为钝角的充要条件-“COS Z用丹和焦半径公式 PF = aeX以及余弦定理解题，最后

3、因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充 分运用平而几何性质则会得以简解。解:依题意幺=久必=2, C = 以原点为圆心，匸二运为半径作圆，则為码是圆的直径.若P点在圆外，则/用网为锐角；若P点在圆上，则/尺閲为直角；若P点 在圆內，则/国鸥为钝角.=14联立/ +宀5消去尸得:3厉 3聽 x 故 55即为所求。三、利用图形的性质化繁为简细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算.例3.（四川高中数学竞疾）已知P点在圆兀+卩一）上移动，Q点在椭圆 兰 + 2 = 1一上移动，求幺的最大值。分析：如图2,本题如能从图形出发，看到4的最大值，等于11旦的最大值与圆 的半径之和，

4、则可避免大量的运算.解：设以坯，兀)，则9 +一即并=9-疏- |OQ| = J諒+伉-町 二_ 9处十歹? _ 8%十16 -J-玩-眈十笳 十（M+27 33创的最犬值为1 + 3馆四. 利用“点差法”,设而不求 与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中 点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。例4.椭圆42 中，过点P (1,1)的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在的直线方程。解：设规 小欧兀)，则2N2 鴛2+ +2生4 2空411=01 + 勺 Vl -X,（几 + 匕）31 -儿）c由1一2得：42儿一乃2心+勺）1 二 Hi 二 Hi 则直线AB的斜率为：忑一勺礼为十此）2y 1 = （j 1）故弦AB所在直线的方程为：2艮卩兀+ 2y-3=

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