实验七matlab求解级数有关计算

1、实验七matlab求解级数有关计算    1.级数的基本概念常数项级数：称用加号将数列的项连成的式子为（常数项）无穷级数，简记为。称级数前项构成的和为级数的部分和。若，则称级数收敛，其和为。Taylor级数：设函数在包含的区域内具有各阶导数，则称幂级数为函数在的Taylor级数，当时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。    2级数的MATLAB命令MATLAB中主要用symsum,taylor求级数的和及进行Taylor展开。  symsum(s,v,a,b) 表达式s关于变量v从a到b求和taylor(f,

2、a,n) 将函数f在a点展为n-1阶Taylor多项式可以用help symsum, help taylor查阅有关这些命令的详细信息    例1 先用taylor命令观测函数的Maclaurin展开式的前几项,例如观测前6项, 相应的MATLAB代码为：>>clear; syms x;>>taylor(sin(x),0,1)>>taylor(sin(x),0,2)>>taylor(sin(x),0,3)>>taylor(sin(x),0,4)>>taylor(sin(x),0,5)>&

3、gt;taylor(sin(x),0,6)结果为:ans =0ans =xans =xans =x-1/6*x3ans =x-1/6*x31 / 9ans =x-1/6*x3+1/120*x5然后在同一坐标系里作出函数和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数的图形，观测这些多项式函数的图形向的图形的逼近的情况。例如，在区间上作函数与多项式函数图形的MATLAB代码为：>>x=0:0.01:pi;  y1=sin(x);  y2=x; y3=x-x.3/6; y4=x-x.3/6+ x.5/120; >>plot(x,y1,x,y2,:,x,y

4、3, :,x,y4,:)结果如图3.1，其中实线表示函数的图形。图3.1 的泰勒级数类似地，根据函数的Taylor级数作图观测其展开式的前几项多项式逼近原函数的情况。例2       利用幂级数计算指数函数。指数函数可展开为幂级数其通项为xn/prod(1:n),因此用下列循环相加就可计算出这个级数>>x=input('x='); n=input('n='); y=1;  %输入原始数据，初始化y>>for i=1:n y=y+xi/prod(1:i); end, vpa(y,1

5、0), %将通项循环相加，得y执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=10,y的结果如下2.718281801， 7.388994709， 54.44310406， .9671957672e-1而用vpa(exp(1),10), vpa(exp(2),10), vpa(exp(4),10), vpa(exp(-4),10)命令可得的10位精确有效数字为2.718281828,  7.389056099,  54.59815003,  .1831563889e-1对照可知，用级数法计算的有效数字分别为8，4，2，0位。由此可以看出，这个程序虽然原理上

6、正确，但不好用。对不同的x,精度差别很大。其他存在的问题有：这个程序不能用于x的元素群运算；当x为负数时，它成为交错级数，收敛很慢；此程序要做次乘法，n很大时，乘法次数太多，计算速度很低；对不同的x,要取不同的n才能达到精度要求，因此n不应由用户输入，应该由软件按精度要求来选。正对上面的四个问题，可以采用下面四种方法改进：（1）允许数组输入，改进输出显示x=input('x='); n=input('n='); y=ones(size(x);  %输入原始数据，初始化yfor i=1:n y=y+x.i/prod(1:i); %循环相加s1=sprin

7、tf('%13.0f',i); s2=sprintf('%15.8f',y); %将结果变为字符串disp(s1,s2)  %显示end,执行此程序，输入x=1 2 4 -4，n=10，结果为            1     2.00000000     3.00000000     5.00000000 

8、0;  -3.00000000            2     2.50000000     5.00000000    13.00000000     5.00000000            3 

9、60;   2.66666667     6.33333333    23.66666667    -5.66666667            4     2.70833333     7.00000000    34.33333333  

10、;   5.00000000            5     2.71666667     7.26666667    42.86666667    -3.53333333            6 

11、0;   2.71805556     7.35555556    48.55555556     2.15555556            7     2.71825397     7.38095238    51.80634921 &

12、#160;  -1.09523810            8     2.71827877     7.38730159    53.43174603     0.53015873            9 

13、    2.71828153     7.38871252    54.15414462    -0.19223986           10     2.71828180     7.38899471    54.44310406  &

14、#160;  0.09671958（2）可以利用exp(-x)=1/exp(x)来避免交错级数的计算；（3）为了减少乘法次数，设一个中间变量z，它的初始值为z=ones(size(x),把循环体中的计算与句改为y=y+z; z=x.*z/i;这样，求得的z就是z=x.i/i!,于是每个循环只需做一次乘法，计算整个级数只需n次乘法。按这种计算，y的初始值改为y=zeros(size(x)(4) 为了按精度选择循环次数,不该使用for循环,而用while语句,它可以设置循环的条件语句,通常可用y+z-y>tol,tol是规定的允许误差.只要相邻的两次y值之差大于tol,循环就继续进

15、行,直到小于tol为止.当x较大时,exp(x)仍能很快收敛,还可以利用关系式,令x1=x/k.k通常取大于x而最接近x的2的幂,例如x=100,就取k=128,可以保证x1的绝对值小于1,这时级数收敛得很快.从练习中可以看出,n取10时(即级数取10项)就能保证7位有效数,而可以化成,即exp(x1)的7次自乘,总共用17次乘法就可完成的计算,这既保证了精度,又提高了速度.例3       编写任意函数展开为各阶泰勒级数的程序,并显示其误差曲线.对于任意函数y=f(x),其泰勒展开式为其中为余项,也就是泰勒展开式的误差.MATLAB语句为&g

16、t;>fxs=input('输入y=f(x)的表达式','s');  %输入原始条件,fxs是字符串>>K=input('输入泰勒级数展开式的阶K');>>a=input('展开的位置a='); >>b=input('展开的区间半宽度b=');>>x=linspace(a-b,a+b);  %构成自变量数组,确定其长度和步长>>lx=length(x); dx=2*b/(lx-1);>>y=eval(fxs);

17、0; %求出y的准确值>>subplot(1,2,1), plot(x,y,'.'), hold on  %y的准确值用点线绘出%求出a点的一阶导数,注意求导后数组长度减少1>>Dy=diff(y)/dx; Dya(1)=Dy(round(lx-1)/2);  >>yt(1,:)=y(round(lx/2)+Dya(1)*(x-a);  %求y的一阶泰勒展开,绘图>>plot(x,yt(1,:)>>for k=2:K   >>Dy=diff(y,k)/(dx

18、k); Dya(k)=Dy(round(lx-k)/2);  %求a点k阶导数       >>yt(k,:)=yt(k-1,:)+Dya(k)/prod(1:k)*(x-a).k;  %求y的k阶导数       >>plot(x,yt(k,:);  %绘图     >>e(k,:)=y-yt(k,:);  %求出yt的误差>>end>>

19、;title(fxs,'的各阶泰勒级数曲线'),  %注意如何组成标注的字符串>>grid, hold off, subplot(1,2,2)>>for k=1:K plot(x,e(k,:), hold on, end  %绘制误差曲线>>title(fxs,'的各阶泰勒级数误差曲线'),grid,hold off执行此程序,输入fxs=cos(x),K=5,a=0.5,b=2,所得曲线见图3.2(又变为误差曲线).读者可以改变其坐标系范围以仔细观测最关心的部分,也可输入其他函数做验算,注意输入函数应符合

20、元素群运算规则.图3.1 的泰勒级数及误差曲线例4       计算级数的值,可用symsum命令,相应的MATLAB代码为：>>clear; syms k;>>simple(symsum(1/k2,1,Inf)  %simple求解最简形式,Inf为无穷大结果为:    ans =1/6*pi2类似地可验证可以猜想有其中是正整数,请验证.注：可用公式来计算的近似值。如果要精确到小数点后15位，相应的MATLAB代码为：>>digits(20);  

21、     %设置今后数值计算以20位相对精度进行>>a=1.0; kk=1.0;   %赋初值>>for n=1:20, kk=kk/n;, a=a+kk;, end>>vpa(a,17)         %以17位相对精度给出a的值结果为例5 (调和级数 )  自然数的倒数组成的数列称为调和数列，由调和数列构成的级数称为调和级数，我们把它的前项部分和记为。计算时和的值，并计算它们的差，相应的MATLAB代码为：>>H(1