8、一元一次不等式

1、课 题 §8.1 认识不等式教学设计教学目标知识与能力初步了解不等式及不等式的解的意义。能够用不等式表示数量关系，会判断一个数是不是已知不等式的解。过程与方法通过对问题的探索，适当渗透变量知识，让学生发现不等式的解和方程的解的区别。通过经历实际问题中数量关系的分析抽象过程，体会现实世界各种各样的数量关系，有等量关系也有不等量关系。情感、态度、价值观认识到不等式知识在现实生活中的作用，通过讨论、交流的过程体验数学活动充满着探索性和创造性。教学策略教法选择互动教学学法选择以小组学习探究的形式课堂组织形式学生探索、共同讨论、交流，老师点播教具媒体组合应用多媒体课件、实物投影课程资源开发利用

2、教学过程（内容及步骤）教法与学法一、创设情境，导入新知：问题：世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？分析： 买27张票，要付款5×27135（元） 买30张票，要付款4×30120（元） 显然120<135这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3以生活情景引入新课，激发

3、学生探索新知的愿望和学习兴趣。教学过程（内容及步骤）教法与学法张票，而实际上反而节省了。当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好。现在的问题是：至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？二、讲解新课：探索：我们一起来分析上面提出的问题。设有x人要进世纪公园，如果x30，显然按实际人数买票，每张票只要付4元。如果x<30，那么：按实际人数买票x张，要付款5x（元）买30张票，要付款4×30120（元）如果买30张票合算，那么应有120<5 x现在的问题就是：x取哪些数值时，上式成立？前面已经算过，当x27时，上式成立。

4、让我们再取一些值试一试，将结果填入下表。x5x比较120与5 x的大小120< 5 x21105120>5 x不成立222324252627135120<5x成立由上表可见，当x_，27，28，时，也就是说，至少要有_人进公园时，买30张票合算。归纳：（1）定义：像上面出现的120<135，x<30，120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）。（2）不等式120<5x中含有未知数x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solution of inequality）。（3）例题解析：1

5、在数学表达式是不等式的有 。2用不等式表示：分析数量关系，并启发学生用尝试法依次找出该不等式的解。通过归纳，引入概念，加深理解。运用不等式的概念进行判别，加深对概念的理解。教学过程（内容及步骤）教法与学法（1）a是负数；（2）b是非负数；（3）x的一半小于1（4）y与4的和大于0.5分析： 理解其中的关键词“非负数”“非正数”“不大于”“不小于”等。解：（1）a<0（2）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b0，通常可表示成b0。（3）x<1（4）y4>0.5三课堂练习：1用不等式表示：（1）a是正数；（2）b不是正数；（3）x的2倍大于x； （4）

6、y的与3的差是负数。分析 转化为用正确的数学语言来表达。2用“<”或“>”号填空：（1）73_43；（2）7（1）_4（1）；（3）7×3_4×3；（4）7×（3）_4×（3）。分析 先把左右两边的结果分别算出，作出比较，再正确填写。3下列各数中，哪些是不等式x2>5的解？哪些不是？3，2，1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。四、小结：1 不等式的定义2 不等式的解，并知道如何判别五、布置作业：完成教材P56： 习题13.1解文字题，理解其中的关键词。以提问方式总结学习心得，进行归纳小结。教 学 后 记在教学中，引导学生注意，用

7、不等式表示数量关系的关键是对常用关键词的理解，如正数、负数、非负数、不大于、不小于，在a与b之间等的理解。另外，在不等式的解题过程中，特别是解选择题时，经常采用特殊值法，能使较复杂的问题简单化。课 题 §8.2.1 不等式的解集教学设计教学目标知识与能力理解不等式的解集的概念和解不等式的概念。用数轴表示不等式的解集，感受到数形结合的作用。过程与方法不等式的解集；通过数轴直观表示不等式的解集。体会数形结合的思想，并懂得如何在实际问题中运用它。情感、态度、价值观通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。教学策

8、略教法选择合作交流学法选择小组合作，共同学习探讨。课堂组织形式学生探索、共同讨论、交流，老师点播教具媒体组合应用实物投影课程资源开发利用教学过程（内容及步骤）教法与学法一、复习引入：在上一节练习第3题中，我们发现，3、2、1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x2>5的解。由此可以看出，不等式x2>5有许多个解。进而看出，大于3的每一个数都是不等式x2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x2>5的解。由此可见，不等式x2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x2>5的解集。二、讲解新课：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个

9、不等式的解集（solution set）。研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式（solving inequality）。小结上节课通过尝试法找到满足不等式的解，并说明不等式的解有无限多个。引入不等式的解集的概念。教学过程（内容及步骤）教法与学法想一想：不等式的解与不等式的解集有何区别？举例说明！三、在数轴上表示不等式的解集1回 忆：数轴的三要素？（原点、正方向、单位长度）2表示不等式解集：不等式x2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图13.2.1所示。同样，如果某个不等式的解集为x2，也可以在数轴上直观地表

10、示出来，如图13.2.2所示。3.归 纳：大于向右，小于向左。不含等号画空心，若含等号点实心。四、课堂练习：课本P58，练习，1、2、3五、小结：1 不等式的解集有什么特点？它与方程的解有何区别？2在数轴上表示不等式的解集有何优点，要注意些什么？六、作 业 课本P.习题13.2：2；同步训练册P. 20思考不等式的解与解集的区别。加深对这两个易混概念的理解。类比、小结回忆数轴三要素。边画数轴表示解集时边讲解注意点，并归纳让学生识记。练习、巩固，及时反馈听课情况。师生互动式探讨，总结归纳，相互交流，加深理解，巩固新知。教 学 后 记在教学中，向学生渗透在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体表现

11、。它的最大优点在于形象，直观易于说明问题。注意引导学生区别不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的所有解组成了不等式的解集，而解集中包括了每个解。课 题§8.2.2 不等式的简单变形教学设计教学目标知识与能力使学生了解一元一次不等式的概念理解和掌握不等式的基本性质，并会灵活利用其进行变形。过程与方法通过自主探索或试验、归纳的方法，得到不等式基本性质，并会在不等式的变形中正确应用。会利用不等式的基本性质解一些简单的不等式，注意与一元一次方程解法做比较。情感、态度、价值观通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进

12、行交流的工具。教学策略教法选择互动教学学法选择以小组学习探究的形式课堂组织形式学生探索、共同讨论、交流，老师点播教具媒体组合应用多媒体课件、实物投影课程资源开发利用教学过程（内容及步骤）教法与学法一、创设情境，探究问题在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律。如图13.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b，从天平实验看，显然a>b，问题一：如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么天平会发生什么变化？如果把砝码c拿出来呢？以生活情景引入新课，激发学生探索新知的愿望和学习兴趣。思考、小组交流，进行概括表述。教学

13、过程（内容及步骤）教法与学法不等式的性质1 如果a>b，那么ac>bc，ac>bc这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。问题二：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？试一试：将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“>”填空：7×3_4×3，7×2_4×2，7×1_4×1，7×0_4×0，7×（1）_4×（1），7×（2）_4×（2），7

14、15;（3）_4×（3），从中你能发现什么？概括：不等式的性质2如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。不等式的性质3如果a>b，并且c<0，那么ac<bc。教师归纳，得出基本性质1学生通过书面练习，进行实验，得出一般规律，并用语言表述。通过探索交流，概括出不等式性质2、3。培养学生观察能力和归纳概括能力。教学过程（内容及步骤）教法与学法这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x<a的形式。二、应用

15、举例：例1：解不等式：（1）x7<8（2）3x<2x-3解（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以 x77<87，得x<15（2）不等式的两边都减去2x（即加上2x），不等号的方向不变，所以 3x2x<2x32x得 x<3例2：解不等式：（1）x>3； （2）2x<6。解：（1）不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以x×2>（3）×2，得 x>6。（2）不等式的两边都除以2（即乘以），不等式的方向改变，所以2x×（）>6×（）， 得 x>3。三、巩固练习：1课本P60

16、，1、2、32.变式训练：教学过程（内容及步骤）板书解答，强调每一变形的根据。教法与学法 已知：，那么： 已知：，比较下列各对数的大小： 四、课堂小结：不等式的3个基本性质：1如果a>b，那么ac>bc，ac>bc2如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。3如果a>b，并且c<0，那么ac<bc。五、布置作业：P.63 习题13.2：1、3；P60练习4通过练习，以巩固3个基本性质。通过变式训练，让学生熟练、灵活的运用三个基本性质解题。教 学 后 记在教学过程中，强调运用不等式的性质时，应首先认清该数的数性，在决定是否变号。当系数中含有字母

17、时，应对系数进行分类讨论。注意不等式的三条性质是不等式变形的理论依据。 在解决实际问题时，一定要注意解题的结果应使实际问题有意义。课 题§8.2.3 解一元一次不等式（1）教学设计教学目标知识与能力了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法运用转化和比较的思想方法，参照一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，并体会两者的区别与联系。过程与方法一元一次不等式的解法的探索对一元一次不等式解法的理解情感、态度、价值观通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。教学策略教法选择互动教学学法选择小组合作，

18、共同学习探讨。课堂组织形式学生探索、共同讨论、交流，老师点播教具媒体组合应用实物投影课程资源开发利用教学过程（内容及步骤）教法与学法一、 复习引入：前面遇到的不等式有一个共同的特点：它们都只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1。像这样的不等式叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）。二、讲解新课：回顾：例1：解不等式：（1）x7<8（2）3x<2x-3解（1） x77<87， x<15（2） 3x2x<2x32x x<3通过投影，再现上节课利用不等式基本性质进行变形解方程。并提出新的问题，

19、引起学生思考。教学过程（内容及步骤）教法与学法想一想：这里的变形，与方程变形中的什么步骤相类似，你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？分析：与方程中的移项相类似，注意移项要变号。例2：解不等式：（1）x>3；（2）2x<6。解： (1) x×2>（3）×2， 得 x>6。 （2） 2x×（）>6×（）， 得 x>3。想一想：这里的变形，与方程变形中什么步骤相类似？分析：与“将未知数的系数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或3，要注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变

20、。三、应用举例：我们再来解一些一元一次不等式。例3 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：（1）2x1<4x13；（2）2（5x3）x3（12x）.解 （1）2x1<4x13， 2x4x<131， 2x<14， x>7.它在数轴上的表示如图13.2.4.（2）2（5x3）x3（12x）， 10x6x36x， 3x9， x3.它在数轴上的表示如图13.2.5教学过程（内容及步骤）思考并比较解不等式与解方程。通过类比，小结解不等式与解方程的异同点，解法的根据都是从基本性质出发。在教学中，仍要让学生注意每一步骤变形的依据，从而灵活运用。学生活动尝试解题，小组讨论不等式

21、的解法步骤。教法与学法例4当x取何值时，代数式的值比的值大1？解根据题意，得>1，2（x4）3（3x1）>6，2x89x3>6，7x11>6，7x>5，得x<所以，当x取小于的任何数时，代数式的值比的值大1。讨论：试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤，与你的同伴讨论和交流。四、巩固练习：1解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2x1>3；（2）2x<1；（3）2（x+1）<3x； （4）3（x2）4（x1）7.2解不等式：>五、课堂小结：1一元一次不等式的概念。 2一元一次不等式的解法步骤。 六、布置作业： 课本P.

22、习题13.2：5；同步训练册P. 21教师活动板演，并强调去分母时各项都要乘以最小公倍数。学生进行小组讨论、交流，形成共识。教师再进行小结归纳。解法步骤有：移项、去括号、合并同类项、去分母、将系数化为1。教 学 后 记在教学中，采取类比的学习方法，将不等式的解法与一元一次方程的解法进行比较，从而得到一元一次不等式的基本解法。但要提醒学生特别注意未知数的系数，当未知数的系数为负数时，要改变不等号的方向。这也是学生在学习过程中的一个易错点。课 题 §8.2.4 解一元一次不等式（2）教学设计教学目标知识与能力列一元一次不等式解应用题。解不等式在实际问题中的应用。过程与方法一元一次不等式在

23、实际问题中的应用。在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系。情感、态度、价值观通过自主探索研究实际问题中的数量关系，感受不等式解法的实际应用和数学建摸的思想，体会不等式同样是刻画现实世界的数量关系的重要模型。进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。教学策略教法选择合作互动学法选择以小组学习探究的形式课堂组织形式学生探索、共同讨论、交流，老师点播教具媒体组合应用多媒体课件、实物投影课程资源开发利用教学过程（内容及步骤）教法与学法一、创设情境，指导示范：问题1：一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120 m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。问以

24、后几天内，平均每天至少要挖土多少m3？分析： 注意分析题中主要的数量关系，理解关键词“至少”的含义。解：设以后几天平均每天要挖m3，根据题意得： 问题2：在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。育才中学25名学生通过了预选赛，它们分别可能答对了多少道题？实践与探索：试解决这个问题（不限定方法）。你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下。操作多媒体，提出问题。引导学生分析题中的数量关系，理解关键词。引导学生参与其中，主动探究。思考、小组交流，并选派代表回答问题。教学过程（内容及步骤）教法与

25、学法如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？应该如何表述？分析： 方法 设可通过预选赛的学生可能答对了道题，则得到10分，而答错或没有答的题有（）道，根据题意可得： 解得 方法 如果全对可得满分200分，那么答错或不答一道题应扣除10+5=15（分），设答错或不答道题，可得 解 得 既至多答对8道题，至少答对12道题。方法 如果全错可得-100分，则没答对一题可加上15分，则 二、随堂练习，巩固新知：1求下列不等式的正整数解：（1）4x12；（2）3x11<0.分析： 正整数解指的是大于0的整数。先求出不等式的解集，并在这个范围内取大于0的整

26、数。2学校图书馆搬迁，有15万册图书，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学帮助搬运图书，两天共搬了1.8万册。如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，则在以后五天内，每天至少安排几个小组搬书？分析：注意数量关系，至少用“”表示。3东华厂进行技术革新，引进先进的生产线使某厂品产量是原来的10倍以上。如果技术革新前的每月产量为500件，问技术革新后的日产量是多少？分析：注意数量关系，以上用“”表示。三、课堂小结：1 如何用代数式表示相关的量？2不等式与方程在解决实际问题时有何联系和区别？四、布置作业：完成教材P63： 习题13.2：6、7通过不同的题设，解决同一问题。关键是从不

27、同角度考虑，抽象出数量关系，把实际问题转化成纯数学问题。学生尝试练习，巩固新知。教师活动巡回指导，适时点拨。教 学 后 记在教学中注意引导学生利用不等式解决实际问题时，一定要注意解题的结果应使实际问题有意义。课 题§8.3.1 一元一次不等式组（1）教学设计教学目标知识与能力了解一元一次不等式组和它解集的概念掌握一元一次不等式组的解法，会利用数轴确定其解集过程与方法一元一次不等式组的解法让学生经历知识的拓展过程，会应用数轴确定一元一次不等式的解集，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法。情感、态度、价值观能积极参与问题的讨论，经历知识的拓展过程，感受数形结合思想解决问题

28、的作用，养成自主探索学习的习惯。教学策略教法选择合作交流学法选择小组合作，共同学习探讨。课堂组织形式学生探索、共同讨论、交流，老师点播教具媒体组合应用实物投影课程资源开发利用教学过程（内容及步骤）教法与学法一、创设问题情景，引入新课：问题：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500之间，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x吨。由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有120030x1500上式实际上包括了两个不等式301200 和30x1500它说明了在这个实际问题中，未知量x应同

29、时满足这两个条件。我们把以问题情景引入新课，激发学生探索新知的愿望和学习兴趣。引导学生理解关键词“在之间”的含义，并用不等式表示数量关系，把连贯不等式转化为不等式组。引入不等式组的概念。教学过程（内容及步骤）教法与学法两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：同时满足不等式、的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。在数轴上表示这两个不等式的解集（图13.3.1），可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40x50。这就是所列不等式组的解集。所提问题的答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。概括：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集

30、。解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。 二、应用举例：例1：解不等式组： 解 解不等式，得x>2 解不等式，得x>4在数轴上表示不等式、的解集不等式组的解集是x>4 教学过程（内容及步骤）边画数轴表示解集时边讲解注意点，并归纳解不等式组的步骤，强调公共部分才是不等式组的解集。教法与学法例2：填表不等式组数轴表示解集分析：通过以上4个简单的不等式组，把不等式组解集的四种情况罗列出来，让学生在比较中加深利用数轴确定公共部分，从而确定解集的方法。三、课堂练习：教材P66解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。12.3. 4. 四、小结：1 一元一次不等式组的概念 2 一元一次不等式组的解集有几种情况，如何确定？ 五、布置作业： 同步训练册P. 24学生自主探索，发现不等式组解集的四种情况。教师巡回指导，适时点拨。强调用数轴来确定解集。随堂练习，巩固新知。教师活动组织学生板演、讲评。小结归纳解不等式组的步骤、解集情况及注意点。教 学 后 记在教学中，向学生强调必须利用数轴直观地观察不等式组的解集。对解