第三讲：中世纪的东西方数学I

1、第三讲第三讲中世纪的东西方数学中世纪的东西方数学I l 周髀算经周髀算经与与九章算术九章算术l 刘徽与祖冲之刘徽与祖冲之l 宋元数学宋元数学中国传统数学的兴盛中国传统数学的兴盛1. 中算发展的第一次高峰中算发展的第一次高峰数学体系的形成数学体系的形成秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）秦汉时期形成中国传统数学体系中国现存最早的数学书中国现存最早的数学书算数书算数书(西汉西汉, 约公元约公元前前170年年, 1983-1984年间年间湖北江陵张家山出土湖北江陵张家山出土)算数书算数书l 勾股定理的普遍形式勾股定理的普遍形式 l 陈子测日法陈子测日法 求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并

2、而开方除之，得邪至日。 相似形方法九章算术九章算术l 六艺：礼、乐、射、御、书、数六艺：礼、乐、射、御、书、数 周礼九章算术（东汉，公元100年）l 方田方田九章算术九章算术l 粟米粟米l 衰分衰分l 少广少广l 商功商功l 均输均输 l 盈不足盈不足 l 方程方程 l 勾股勾股世界数学古典名著世界数学古典名著 l 以筹算为基础的中国以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成古代数学体系正式形成 2. 中算发展的第二次高峰中算发展的第二次高峰数学稳步发展数学稳步发展三国演义(中国，1998）魏晋南北朝时期中国传统数学稳步发展九章算术注九章算术注公元公元263年撰年撰九章算术九章算术注注 阐述了中国

3、传统数学的理论体系与阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理数学原理 中国传统数学最具代表性的人物中国传统数学最具代表性的人物 刘徽刘徽(魏晋魏晋, 公元公元3世纪世纪)（中国，（中国，2002）计算圆内接正计算圆内接正3072边形边形求出圆周率为求出圆周率为3927/1250 即即3.1416 公元公元263年撰年撰九章算术注九章算术注。割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣则与圆周合体而无所失矣” 九章算术注九章算术注徽率徽率157/50即即3.14 刘徽的割圆术刘徽的割圆术 九章算术注九章算术注割圆术

4、割圆术(6边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(12边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(24边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(48边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(96边形边形)九章算术注九章算术注刘徽对的估算值（密克罗尼西亚，1999） 九章算术注九章算术注缀术缀术祖冲之祖冲之(南朝宋、齐南朝宋、齐, 429-500年年)429-500l 圆周率计算圆周率计算l 球体体积公式球体体积公式缀术缀术缀术缀术 l 古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。l 宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一

5、丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。缀术缀术l 密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。l 公元公元462年年, 祖冲之算出祖冲之算出3.14159263.1415927密密率率355/113，约率，约率22/7隋书隋书律历志律历志l 1913年起称年起称355/113为祖率为祖率l 所著之书所著之书, ,名为名为缀术缀术, ,学官莫能究其深奥，是故废学官莫能究其深奥，是故废而不理。而不理。隋书隋书律历志律历志隋书隋书律历志律历志缀术缀术 缀术缀术u 圆内接正圆内接正 12288边形和边形和24576边形

6、边形 u 3.141592613.14159271缀术缀术祖氏原理 ：幂势既同则积不容异 卡瓦列里原理卡瓦列里原理(1635)不可分量原理不可分量原理 卡瓦列里卡瓦列里(意意, 1598-1647年年)周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经夏候阳算经、张邱建算经、缀术、五曹算经五经算经、缉古算经。算经十书算经十书 汉唐千余年间中国汉唐千余年间中国数学发展的水平数学发展的水平算经十书公元6563. 中算发展的第三次高峰中算发展的第三次高峰数学全盛时期数学全盛时期 促进了数学著作促进了数学著作的保存与流传的保存与流传 社会背景社会背景贾宪：贾宪：黄帝九章算术细草黄帝九章算术细草(1050)l 增乘

7、开方法增乘开方法 贾宪三角贾宪三角l 开方作法本源图开方作法本源图 l帕斯卡帕斯卡论算术三角论算术三角形，以及另外一些类形，以及另外一些类似的小问题似的小问题 (1654)帕斯卡帕斯卡(法法, 1623-1662年年) 古法七乘方图古法七乘方图算术三角形(利比里亚，1999) 贾宪三角贾宪三角隙积术隙积术沈括沈括(北宋北宋, 1030-1094年年)梦溪笔谈梦溪笔谈(1093) n 李约瑟：中国科学史的里程碑李约瑟：中国科学史的里程碑l 会圆术会圆术隙积术隙积术l 隙积术隙积术天元术天元术李冶李冶(金、元金、元, 1192-1279年年)l 天元术天元术 （一元高次方程） 列方程法列方程法 “

8、立天元一为某某立天元一为某某”天元术天元术“设设x为某某为某某” 李冶的天元李冶的天元术术 天元术天元术大衍术大衍术 秦九韶秦九韶(南宋南宋, 约约1202-1261年年)l 大衍类大衍类大衍术大衍术l 天时类天时类l 田域类田域类l 测望类测望类l 赋役类赋役类l 钱谷类钱谷类 l 营建类营建类l 军旅类军旅类 l 市易类市易类 (1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；(2)天时类，历法推算，雨雪量的计算；(3)田域类，土地面积；(4)测望类，勾股、重差等测量问题；(5)赋役类，田赋、户税；(6)钱谷类，征购米粮及仓储容积；(7)营建类，建筑工程；(8)军旅类，兵营布置和军需供应；(9)

9、市易类，商品交易和利息计算数书九章l 大衍求一术大衍求一术(中国剩余定理 )大衍术大衍术秦九韶秦九韶 ：数书九章数书九章(1247)l 孙子算经孙子算经(约公元400年) l 物不知数问题物不知数问题(孙子问题, 孙子剩余定理) : 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ l 意大利斐波那契意大利斐波那契1202年年l 瑞士欧拉瑞士欧拉1743年年l 德国高斯德国高斯1801年年秦九韶秦九韶 ：数书九章数书九章(1247)正负开方术正负开方术l 正负开方术正负开方术(秦九韶法)意大利鲁菲尼1804年英国霍纳1819年鲁菲尼鲁菲尼(意意, 1765-1822年）年）

10、垛积术垛积术杨辉杨辉(南宋南宋, 公元公元13世纪世纪 )l 垛积术垛积术垛积术垛积术l 杨辉三角杨辉三角 算学启蒙算学启蒙(1299)四元术四元术 四元玉鉴四元玉鉴 (1303)l 日用数学和商用数学通俗著作日用数学和商用数学通俗著作 l 四元术四元术(“天元天元”、“地元地元”、“人元人元”和和“物物元元” ) l 招差术招差术(高次内插公式高次内插公式 ) 四元术四元术四元术四元术四元术四元术四元术四元术罗士琳：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿罗士琳：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积

11、，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上。之，尤超越乎秦李之上。莫若莫若 ：四元玉四元玉四元术四元术萨顿：萨顿：l 大天文学家、数学家、大天文学家、数学家、 水利专家和仪器制造家水利专家和仪器制造家 l 工部郎中、太史令、工部郎中、太史令、 都水监事和昭文馆大学士都水监事和昭文馆大学士内插法内插法在公元1280年完成的授时历中使用三次内插公式l 一年一年365.2425365.2425天天l 1281128116431643年使用，计年使用，计363363年年内插法内插法简仪简仪 内插法内插法仰议仰议内插法内插法登封观星台(元, 1276 ) 嵩山(中国, 1995)内插法内插法 宋元算法宋元算法v 隙积术隙积术v 大衍术大衍术v 开方术开方术v垛积术垛积术v招差术招差术v 天元术天元术 中算的衰落中算的衰落v四元玉鉴四元玉鉴是宋元是宋元(960-1368)(960-1368)数学的绝唱数学的绝唱v 明初起明初起300300余年内中国传统数学研究呈现全余年内中国传统数学研究呈现全面衰退面衰退v 明清明清(1368-1911)(1368-1911)共共543543年宋元数学的精粹年宋元数学的精粹长期失传、无人通晓长期失传