复数的加减法运算

1、),(Rdcbadiczbiaz21，如如果果两两个个复复数数复数的加法运算：复数的加法运算：idbcazz)()(21则则定定义义：)()(3213211221 zzzzzzzzzz容容易易验验证证：复数的加法运算的几何意义：复数的加法运算的几何意义：边边形形法法则则符符合合向向量量加加法法的的平平行行四四个个向向量量的的和和即即两两个个复复数数的的和和对对应应两两,2z1z21zz 的的轨轨迹迹求求点点满满足足例例：已已知知实实数数),(,)()(,yxiyxxyaiayxa02220222iyxaxyaa)(原原式式00222yxaxyaa0222xyxyxyxya)()(代代入入第第一

2、一式式，得得：由由第第二二式式得得：21122)()(yx整整理理得得：为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，轨轨迹迹是是以以211),(),(Rdcbadiczbiaz21，如如果果两两个个复复数数复数的减法运算：复数的减法运算：idbcazz)()(21则则定定义义：复数的减法运算的几何意义：复数的减法运算的几何意义：1z2z21zz 的的模模的的距距离离，也也表表示示，表表示示两两点点212121ZZZZ|zz |)()|idbcazz( |21即即22)()(dbca则则称称为为共共轭轭复复数数等等，虚虚部部互互为为相相反反数数，如如果果两两个个复复数数的的实实部部相相共轭复数共轭复数互互

3、为为共共轭轭复复数数即即：),(,Rbabiazbiaz性性质质：点点关关于于实实轴轴对对称称互互为为共共轭轭复复数数所所对对应应的的. 1| .zz 221213zzzz.| .2121214zzzzzzzzRbabiaz条条件件是是是是实实数数的的充充要要例例：求求证证：一一个个复复数数),(充充分分性性,),(zzRbabiaz若若设设复复数数0bbiabia即即是是实实数数复复数数 z必必要要性性0bRbabiaz是是实实数数，则则设设复复数数),(zzbiabia为为实实数数的的充充要要条条件件是是复复数数 zzz 互互为为共共轭轭复复数数，为为纯纯虚虚数数例例：判判断断对对错错：2

4、121R21zzzzzzz)()(错错误误错错误误zzz为为纯纯虚虚数数，则则性性质质：若若Rzzzz2121互互为为共共轭轭复复数数，则则若若, 2 izzz|:复复数数例例：根根据据下下列列条条件件，求求),(Rbabiaz法法一一：设设ibabiaibiabia2222即即|1222bbaa143baiz43法法二二：izz|21222|)|(|zz1442|zz4554|zziizz432|yxixyiyxyx,)(,求求互互为为共共轭轭复复数数，且且例例：已已知知6432Rxyyxyx,互互为为共共轭轭复复数数226342xyyxxyyx)(1)Re( x1222)(Re(|)Im(

5、|xxxxxy且且iyixiyixiyixiyix11111111,或或或或或或）求求实实根根的的范范围围（的的轨轨迹迹方方程程当当方方程程有有实实根根时时，求求点点的的方方程程例例：已已知知关关于于2 102422),()(),()()(baRbaibaabxixx)()(,)(202104212baxabxxx 则则设设实实根根为为04222122ababababx)()()(式式得得：代代入入把把211222)()(ba整整理理得得：02421222)()()(axaxxaxb式式得得：代代入入把把024822xxaxaa的的方方程程得得：整整理理成成关关于于,)(0402841622x

6、xxx| )(| )(| )(|)(izizizzz14 23 22 1|1A何何意意义义：，说说出出下下列列复复数数模模的的几几对对应应点点例例：若若复复数数的的距距离离到到点点表表示示),()(01A1的的距距离离到到点点表表示示),()(12A2的的距距离离到到点点表表示示),()(20A3的的距距离离到到点点表表示示),()(11A4什什么么图图形形？所所对对应应点点的的集集合合是是则则满满足足例例：若若复复数数zizz,| 143|为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，表表示示以以143),(图图形形？对对应应的的点点的的集集合合是是什什么么数数例例：满满足足下下列列条条件件的的复复z1

7、21| )(iz4112| )(zz8553| )(zz| )(izz224为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，所所对对应应的的点点表表示示以以1201),()(z为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，所所对对应应的的点点表表示示以以120),( z为为长长轴轴的的椭椭圆圆为为焦焦点点，表表示示以以401012),(),()(为为实实轴轴长长的的双双曲曲线线左左支支为为焦焦点点，表表示示以以805053),(),()(为为端端点点的的线线段段的的中中垂垂线线表表示示以以),(),()(-20024r r、如果复数对应着复平面上的点(，)， 一些常用曲线 复数形式的的方程为：0(1)zr方程 表示以

8、为圆心, 为半径的圆;0zzr(2)1 2方程 表示线段ZZ的垂直平分线;12z zz z (3)12方程 表示以Z、Z为焦点,2a为长轴的椭圆;122z zz za 122)aZZ（12,2aZZ若则方程表示12以Z，Z为端点的线段;(4)12方程 表示以Z、Z为焦点,2a为实轴的双曲线;122z zz za 122)aZZ（012,2aZZ若则方程表示12以Z、Z为端点的射线.的的模模的的范范围围求求复复数数满满足足例例：已已知知复复数数21|zzz,|),(Rbabiaz法法一一：设设122ba2222baz)(|aaa451222)(,314511aa,|312 z法法二二：几几何何法

9、法),(02,|312 z|212121zzzzzz法法三三：利利用用222|zzz,|312 z的的范范围围求求（的的范范围围求求满满足足例例：已已知知复复数数xyzizRyxyixz2) 1131|)(,| )(),(为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，对对应应的的点点表表示示以以1311),()(z的的距距离离表表示示该该圆圆上上一一点点与与原原点点| z,|31 z线线的的斜斜率率表表示示圆圆上上一一点点与与原原点点连连xy)(2,(33xy 333|03的的最最小小值值求求且且满满足足例例：设设|,izizyxyixz距距离离之之和和的的最最小小值值。，对对应应的的两两点点和和到到上上

10、找找一一点点在在直直线线原原题题BA33i3-03iZyx的的同同侧侧两两点点在在直直线线03 yxBA,),(),(360330BByx的的对对称称点点关关于于可可求求得得536322|BA53原原式式32330zzizz 例 ：设复数 满足，求的最大值与最小值。解解:zxyi xyR设（ ，）233xyiixyi 2222233xyxy（） （）228xyxy（）+24=02448xy2（） （）所以复数z所对应的点的轨迹是：以（4，4）为圆心，2 2为半径的圆。yxoz，4 2-2 24 2+2 26 2z2 2，即：实数化是解决复数问题的重要方法之一。|ziziz，求求例例：设设403

11、23222ABOZ),(),(3232BA设设40Z22|ZBZAz则则，对对应应的的点点为为设设复复数数AOZOAzzcos|2|OA|ZA|AOZ222中中，在在BOZOBzzcos|2|OB|ZB|BOZ222中中，在在222222|zOBOAZBZA141324022| z7| z|-|6|53212121zzzzzz，求求，例例：设设,|OABCOABCOBOAOBOA21为为领领边边作作平平行行四四边边形形，以以，对对应应向向量量，对对应应向向量量设设zz653| ,| ,|OCACOBOA151532653222OACcos151AOBcos3253253222221AOBABzzcos|2421|zz21212123211zzizzzz,|求求例例：已已知知OABCOBOAOBOA21为为领领边边作作平平行行四四边边形形，以以，对对应应向向量量，对对应应向向量量设设zz为为菱菱形形平平行行四四边边形形 OABCOABC都都在在单单位位圆圆上上，且且由由已已知知，CBA60AOCAOC为为等等边边三