大一高数上-PPT课件

1、 微积分学，无穷级数论和作为理论基础的微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简，以及作为一元微积分学的简单应用单应用常微分方程。由于构成它的主体是常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。 17世纪（世纪（1763年）年）Descartes建立了解析几建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学了巨大的影响，使数

2、学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系间的依赖关系函数的一门学科，是学习其函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。它自然科学的基础。 高等数学研究的主要对象是函数，主要研高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方那么高等数学用什么方法研究函数呢？这

3、个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：以下显著特点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达形式更加抽象表达形式更加抽象 推理更加严谨推理更加严谨 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的深入钻研教材

4、的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。培养抽象思维和逻辑推理的能力。 学习数学，必须做一定数量的习题，做习学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能方法。但我们

5、不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。认为，只要做了题，就算学好了数学。 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。参参 考考 书书 目目工科数学

6、分析基础工科数学分析基础马知马知恩恩 等编等编 （高教出版社）（高教出版社）高等数学释疑解难高等数学释疑解难工科数学课委会编（高教出版社）工科数学课委会编（高教出版社）高等数学辅导高等数学辅导盛祥盛祥耀耀 等编（清华大学出版社）等编（清华大学出版社）高等数学解题方法及同步训练高等数学解题方法及同步训练同济大学编（同济大学出版社）同济大学编（同济大学出版社） 第一章第一章 函数与极限函数与极限1.1 函函 数数1.集合集合集合集合(简称集简称集): 集合是指具有某种特定性质的事集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用物的总体。集合用A，B，M等表示。等表示。元素元素: 组成集合的事物称为集合

7、的元素。组成集合的事物称为集合的元素。a 是集是集合合M的元素表示为的元素表示为a M。集合的表示集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f, g。 (2) M=(x, y) | x，y为实数，为实数，x2+ +y2 =1。一、集合及其运算一、集合及其运算 几个数集几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为表示所有实数构成的集合，称为实数集实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称表示所有有理数构成的集合，称为有理集为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为表示所有整数构成的集合，称为整数集整数集。 N表示所有自然数构成的集合表示所有自然数构成的集合, 称为称为自然数集自然数集。

8、 子集子集: 若若x A，则必有则必有x B，则称则称A是是B 的的子集子集, 记记为为A B（读作读作A包含于包含于B）。）。 显然，显然，N Z ，Z Q ，Q R 。2. 区间区间: 数集数集x|a x b称为开区间，记为称为开区间，记为(a, b)，即即 (a, b)= =x|a x b。xOab(a， b) a, b= =x|a x b称为闭区间。称为闭区间。xOaba， b a, b)= =x|a x b及及 (a, b= =x|a x b称为称为 半开区间。半开区间。xOaba， b)xOab(a， b 上述区间都是有限区间，其中上述区间都是有限区间，其中a 和和 b 称为称为

9、区间的端点，区间的端点，b- -a 称为区间的长度。称为区间的长度。以下区间称为无限区间：以下区间称为无限区间：a, + + ) = = x|a x，xOaa，+ )(- - , b = = x|x b，xOb(- - ， b(a, + + ) = = x|ax，axO(a，+ )(- - , b) = = x|x0，则称区间，则称区间(a- - , a+ + )为点为点a 的的 邻域，记作邻域，记作U(a, )，即即 U(a, ) = =x|a- - xa+ + = =x| |x- -a| 。其中点其中点 a 称为邻域的中心称为邻域的中心, 称为邻域的半径。称为邻域的半径。去心邻域去心邻域:

10、 (a, ) = =x |0| x- -a | 。UxOa-a+ axOa+ a- 还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。不同的数值，这种量叫做变量。1. 常量与变量常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。一数值，这种量叫做常量。二、函数的概念二、函数的概念2. 举例举例 圆的面积的计算公式为圆的面积的计算公式为A=p pr2，半径半径r可取可取(0,

11、+ )内的任意值。内的任意值。 由落体下落距离的计算公式为由落体下落距离的计算公式为s= -= - gt2，t可取可取0, T内的任意值内的任意值。12 圆内接正圆内接正n边形的周长的计算公式为边形的周长的计算公式为 Sn= =2nr sin - - ， n可取可取3，4，5， 。p pn3. 函数的定义函数的定义 设设 D 是一个给定的数集。如果对于每个数是一个给定的数集。如果对于每个数x D，变量变量 y 按照一定法则总有确定的数值和按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称对应，则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作y= =f(x)。 定义中，数集定义中，数集D叫做这个函数的定义域，

12、叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，叫做自变量，y叫做因变量。叫做因变量。 函数符号函数符号: 函数函数y= =f(x)中表示对应关系的记号中表示对应关系的记号f 也可改也可改用其它字母，用其它字母，例如例如j j 、F 等等。此时函数就记作。此时函数就记作y= =j j( (x)，y=F(x)。 值域：值域：Rf=y | y=f(x),x D。定义域：定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义

13、的一切实数值。的一切实数值。函数值：函数值： 任取任取 x D，与，与 x对应的对应的 y的数值称为函数的数值称为函数 y= =f(x)在点在点 x处的函数值，记为处的函数值，记为 f(x)。求函数的定义域举例：求函数的定义域举例： 解解: 要使函数有意义要使函数有意义, 必须必须x 0, 且且x2- -4 0。解不等式得解不等式得|x| 2。 函数的定义域为函数的定义域为 D= =x| |x| 2, 或或D= =(- - , -2 2, + + )。 求函数 y =412-xx的定义域。 4. 函数的图形函数的图形 在坐标系在坐标系xOy内，集合内，集合 C= =(x, y) | y= =f

14、(x)，x D所对应的图形称为函数所对应的图形称为函数y= =f(x)的图形。的图形。O yxC(x, y)xyRfDy=f(x) 如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。值函数。5. 函数举例函数举例 例例1. 在直角坐标系中，由方程在直角坐标系中，由方程x2+ +y2= =r2确确定了一个函数。定了一个函数。 对于任意对于任意x (- -r, r)，对应的

15、函数值有两个：对应的函数值有两个： 22xry- - -= =及及y =22xr - -。 例例2. 函数函数 y= =2。 函数的定义域为函数的定义域为D = = (- - , + + )。 函数的值域为函数的值域为Rf = =2。 函数的图形为一条平行于函数的图形为一条平行于x 轴的直线。轴的直线。yOxy= =22 函数的定义域为函数的定义域为D= =(- - , + )。 函数的值域为函数的值域为Rf = =0, + )。yxOy= =|x| x, x 0 - -x, x0 0, 当当x= =0- -1, 当当x0 例例4. 函数函数 y = = sgn x = = 称为符号函数。称为

16、符号函数。 例例5.5.函数函数y=x称为取整函数称为取整函数, ,任给任给x, , x取值取值为不超过为不超过x的最大整数的最大整数, 即即x -11 时，y=1+x。 2212)21(=f；2212)21(=f；2 1 2) 1 (=f； ；当 x1 时，y=1+x。 三、函数的几种简单特性三、函数的几种简单特性图形特点图形特点： y= =f(x)的图形在的图形在直线直线y= =K1的下方。的下方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函数的有界性函数的有界性 设函数设函数f(x)在数集在数集X上有定义。如果存在数上有定义。如果存在数K1，使对任一使对任一x X，有有f(x) K1，则称函数则称

17、函数f(x)在在X上上有上界有上界，而称，而称K1为函数为函数 f(x)在在X上的一个上的一个上界。上界。 如果存在数如果存在数K2，使对任一使对任一x X，有有f(x) K2，则称函数则称函数f(x)在在X上上有下界有下界，而称，而称K2为函数为函数f(x)在在X上的一个下界。上的一个下界。 图形特点图形特点：函数：函数 y= =f(x) 的图形在直线的图形在直线 y= =K2 的上方。的上方。y=K2y=f(x)Oxy有界函数的图形特点有界函数的图形特点： 函数函数y = = f(x)的图形在直线的图形在直线y = = - - M和和y = = M的之间。的之间。 如果存在数如果存在数 M

18、,使对任一使对任一 x X，有有 | f(x) | M， 则称函数则称函数f(x)在在X上有界；如果这样的上有界；如果这样的M不存在，不存在，则称函数则称函数f(x)在在X上是无界函数，就是说对任何上是无界函数，就是说对任何M，总存在总存在 x1 X，使使|f(x)|M。Oxyy=f(x)y= - -My= M函数的有界性举例：函数的有界性举例： f(x) = = sin x在在(- - , + )上是有界的：上是有界的： 即即| sin x | 1。-11yxO-2p -pp -pp 2pp 2py=sin xOxy1 2y=1/x 函数函数f(x)= =1/x在开区间在开区间(0,1)内是

19、无界的。内是无界的。无界函数举例：无界函数举例： 函数函数f(x) = =1/x在在(0, 1)内内有下界，无上界。有下界，无上界。 这是因为，任取这是因为，任取M1，总有总有0 x1M -1-11M，所以函数无上界。所以函数无上界。 但此函数在但此函数在(1, 2)内是内是 有界的。有界的。2. 函数的单调函数的单调性性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数设函数y= = f(x)在区间在区间I上有定义。如果对上有定义。如果对于区间于区间 I 上任意两点上任意两点x1及及x2, 当当x1 x2时，恒有时，恒有f(x1) f(x2)，则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上

20、是单调增加的。上是单调增加的。 如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点x1及及x2，当当 x1 f(x2)， 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 设函数设函数f(x)的定义域的定义域D关于原点对称。如关于原点对称。如果对于任意的果对于任意的x D，有有f(- -x)= = f(x)，则称则称f(x)为偶函数。为偶函数。3. 函数的奇偶性函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)= =f(x)y= =f(x)偶函数举例：偶函数举例： y= =x2， y= =cos x都是偶函数都是偶函数 偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称。轴对称。奇函数举例：

21、奇函数举例： y= =x3， y= =sin x都是奇函数。都是奇函数。101x -22y 如果对于任意的如果对于任意的x D，有有 f(- -x)=-=-f(x)，则则称称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D。如果存在一个不为零如果存在一个不为零的数的数 l ，使得对于任一使得对于任一x D有有(x l) D，且且 f(x+l) = = f(x)，则称则称f(x)为周期函数，为周期函数，l 称为称为f(x)的周期。的周期。 周期函数的图形特点：周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4.

22、函数的周期性函数的周期性四、反函数与复合函数四、反函数与复合函数 对于任一数值对于任一数值 y W，D上可以确定唯一数值上可以确定唯一数值 x 与与 y 对应，这个数值对应，这个数值 x 适合关系适合关系 f(x)= =y。 如果把如果把 y看作自变量，看作自变量，x 看作因变量，按看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数新函数称为函数y= =f(x)的反函数，记作的反函数，记作 x=f -1(y)。1. 反函数反函数 设函数设函数y= =f(x)的定义域为的定义域为D，值域为值域为W。Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y

23、 单调函数存在反函数单调函数存在反函数. 什么样的函数存在反函数？什么样的函数存在反函数？ 在数学中，习惯上自变量用在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用表示，因变量用y 表表示。按此习惯，我们把函数示。按此习惯，我们把函数 y= =f(x)的反函数的反函数x=f -1 (y)改写成改写成y= = f -1 (x)。反函数的图形：反函数的图形： 反函数的图形与反函数的图形与直接函数的图形关直接函数的图形关于直线于直线y = x对称。对称。Oxyy=xy=f(x)y=j j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：关于反函数的变量符号：例例 函数函数 y= 表示表示 y是是 x的函数

24、，它的定义域为的函数，它的定义域为 -1-1，1121 x-2复合函数复合函数 对于任一对于任一 x -1-1，11，先先计算计算 u=1- -x2，然后再计然后再计算算 y= ，这就是说函数这就是说函数 y= 的对应法则是由函的对应法则是由函数数u=1- -x2和和y= 所决定的，我们称函数所决定的，我们称函数 y= 是是由函数由函数u=1- -x2和和y= 复合而成的复合函数，变量复合而成的复合函数，变量 u称称为中间变量为中间变量uu21 x-u21 x-21 x-设设 u=1-x2，则函数则函数 y= 的值可以按如的值可以按如下方法计算：下方法计算：D1D2u=j j(x)y =f(u

25、)y =f j j(x)复合函数的定义：复合函数的定义： 一般地，设函数一般地，设函数y =f(u)的定义域为的定义域为D1，函数函数u=j j(x)在数集在数集D2上有定义，如果上有定义，如果 u | u= j j(x)， x D2 D1则对于任一则对于任一 x D2，通过变量通过变量u能确定一个变量能确定一个变量y的值，的值，这样就得到了一个以这样就得到了一个以x为自变量、为自变量、y为因变量的函数，为因变量的函数，这个函数称为由函数这个函数称为由函数 y =f(u)和和u=j j(x)复合而成的复合复合而成的复合函数，记为函数，记为y =f j j(x) ，其中定义域为其中定义域为D2，

26、u称为中间称为中间变量变量复合而成的其中复合而成的其中u， v 都是中间变量都是中间变量函数函数y= 可看作是由可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1+u函数函数y= ，u=cot v，v= 经复合可得函数经复合可得函数u2x问：函数问：函数y=arcsin u与与u=2+x2能构成复合函数吗？能构成复合函数吗？2cotxy = 例例 函数函数y=arctan x2可看作是由可看作是由y=arctan u和和u=x2复合而成的复合而成的五、初等函数五、初等函数1. 幂函数幂函数 函数函数 y=xm m （m m 是常数）叫做是常数）叫做幂函数幂函数 幂函数的定义域：与常数幂函数的

27、定义域：与常数m m 有关，但函数在有关，但函数在（0 0，+ + ）内总有定义）内总有定义 最常见的幂函数：最常见的幂函数：xyO11y = x 2y = xy =xxyO11y=x- -1y=x31a1y=axxyO常用的指数函数为常用的指数函数为 y=ex.2指数函数指数函数 函数函数 y=ax (a是常数，且是常数，且a0，a 1)叫做指数函数叫做指数函数指数函数的定义域：指数函数的定义域：D=（- - ，+ ） 单调性：单调性： 若若a1，则指数函数单调增加；则指数函数单调增加； 若若0a1y=axxyOy=logax3对数函数对数函数 指数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，

28、记为的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的对数函数的定义域是区间定义域是区间(0，+ ) 自然对数函数：自然对数函数：y=ln x=loge x.常用的三角函数有：常用的三角函数有：正弦函数：正弦函数： y=sin x1-1y=cos x余弦函数：余弦函数： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函数三角函数正切函数：正切函数： y=tan x 余切函数：余切函数： y=cot xxyO- -p pp p p p 2 2 p p 2 2xyO- -p pp p p p 2 2 p p 2 2y=tan xy=cot x反三角函数是三角函数的反函数反三

29、角函数是三角函数的反函数.反正弦函数：反正弦函数： y=arcsin x， 定义域为定义域为-1，1.反余弦函数：反余弦函数：y=arccos x 定义域为定义域为-1，1-11yxO p p 2 2p p2 2y=arcsin xyxOp p-11y=arccos x5反三角函数反三角函数反正切函数：反正切函数： y=arctan x,定义域为定义域为(- ， ).Oxy p p 2 2p p2 2y=arctan x p p 2 2p p2 2 其值域规定为其值域规定为( ， )其值域规定为其值域规定为(0，p)p)反余切函数：反余切函数： y=Arccot x，定义域为定义域为(- ，

30、+ ).y=arccot xOxyp p6基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基本初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为示的函数，称为初等函数初等函数2sinyx=都是初等函数都是初等函数例如例如21xy-=，2cotxy =，一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限三、用定义证明极限举例三、用定义

31、证明极限举例四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质数列、 数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系1.2 数列的极限数列的极限一、数列极限的概念一、数列极限的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：用圆内接正多边形的面积近似圆的面积： 1. 数列数列 一个实际问题一个实际问题正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126- - nnA,321nAAAASR,n nA该方法称为该方法称为割圆术割圆术数列：

32、数列： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n对应对应着一个确定的实数着一个确定的实数xn ，则得到一列有次序的数则得到一列有次序的数 x1，x2，x3， ，xn ，这一列有次序的数就叫做数列，记为这一列有次序的数就叫做数列，记为xn，其中第其中第n 项项xn 叫做数列的叫做数列的一般项一般项21，32，43， ，1+nn，；数列举例：数列举例：数列举例：数列举例： 2，4，8， ，2n ， ； 一般项为一般项为2n一般项为一般项为 1 2n 1，- -1，1， ，(- -1)n+ +1， ； 一般项为一般项为(- -1)n+1一般项为一般项为21，41

33、，81， ，n21， ；2，21，34， ，nnn 1(-1)-+， nnn 1(-1)-+数列的几何意义：数列的几何意义： 数列数列xn可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数 n 的函数：的函数： xn=f (n)，它的定义域是全体正整数它的定义域是全体正整数x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列与函数：数列与函数：x1=f(1)， x2=f(2)， x3=f(3)， x4=f(4)，xn=f(n) 数列数列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取数可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点轴上的点 x1，x2，x3， ，xn ， 例如例如nlimxn= =a而数列而数列2n，

34、(-1)n+1，是发散的是发散的, 11=+nnnlim, 021=nnlim=1nnn 1(-1)-+nlim1,2n1( 1)nnn-+ -记为记为2. 数列的极限的通俗定义：数列的极限的通俗定义： 对于数列对于数列xn，如果当如果当n 无限增大时，数列的一般无限增大时，数列的一般项项xn无限地接近于某一确定的数值无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数则称常数a 是数是数列列xn的极限，或称数列的极限，或称数列xn收敛于收敛于a 如果数列没有极限，就说数列是发散的如果数列没有极限，就说数列是发散的所以数列所以数列,1nn+是收敛的是收敛的问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限

35、接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn- - -+ += =对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列凭观察能判定数列 + += =nnnx)11(的极限是多少吗的极限是多少吗显然不能显然不能.问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它. “当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于无限接近于a” 等价于：当等价于：当n无限增大时，无限增大时，|xn- -a

36、|无限接近于无限接近于0；或者说，要；或者说，要|xn- -a |有多小，只要有多小，只要n足够大，足够大， |xn- -a |就能有多小就能有多小 nnn 1) 1(-+比如，当n无限增大时，xn= 无限接近于1，= =- -1nxnnn11)1(1= =- - -,1001给定给定,10011 n由由,100时时只只要要 n,10011 - -nx有有,10001给给定定,1000时时只只要要 n,100011 - -nx有有,100001给给定定,10000时时只只要要 n,1000011 - -nx有有, 0 给给定定1 ,nN=只要时.1成成立立有有 N 时的一切时的一切xn, 不等

37、式不等式|xn- -a |N时的一切时的一切xn，不等式不等式 |xn- -a |N 时，所有的点时，所有的点 xn 都落在区间都落在区间( (a- , , a+ ) )内，而只有内，而只有 有限有限( (至多只有至多只有N个个) )个在区间个在区间( (a- , , a+ ) )以外以外. xOaa- a+ ()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 2对于任意给定的正数对于任意给定的正数 0， 例 1 证明数列 2，21，34， ，nnn 1(-1)-+，的极限是 1.1) 1() 1(1) 1(| 1|111nnnnnnnxnnnn= =- -= =-

38、 - -+ += =- - -+ += =- - - - -要使要使,1| 1| 0， 存在存在N=1/ ， 使当使当nN时，有时，有 所以所以= = 1|1|= =- -nxn. 1) 1(lim1= =- -+ +- -nnnn 例 1 证明数列 2，21，34， ，nnn 1(-1)-+，的极限是 111/0，要使，要使只需只需故取故取 分析：分析： 例 2 已知 xn=21)(n) 1(+-n，证明数列xn的极限是 022) 1(10) 1() 1(|0|+=-+-=-nnxnn,) 1(1|0|20(任意小任意小), 存在存在使当使当nN时时， 有有,11-=N = =) 1(12+

39、 += =n0) 1() 1(|0|2- -+ +- -= =- -nxnn. 0) 1() 1(lim2=+-nnn 例 2 已知 xn=21)(n) 1(+-n，证明数列xn的极限是 02111 1- +注注定义习惯上称为数列极限的定义习惯上称为数列极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素：大。这个定义有三个要素：10，正数正数，20，正数正数

40、N，30，不等式不等式|xna|（n N）.定义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的的任意性，二是任意性，二是的的相对固定性。相对固定性。 定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的存在性，它是在重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定相对固定后才能确定的，且由的，且由|xna|来来选定，一般说来，选定，一般说来，越小，越小，N越越大，但须注意，对于一个固定的大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证不是唯一的。用定义验证xn 以以a 为为极限时，关键在极限时，关键在于设法由给定的于设法由

41、给定的，求出一个相应的求出一个相应的N，使当，使当n N时，不等式时，不等式|xna|成立。成立。在在证明极限时证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xna| n N定义中的不等式定义中的不等式|xna| （n N）是指下面是指下面一串不等式一串不等式 - -+ +|1axN - -+ +|2axN - -+ +|3axN都成立，都成立，而对而对 - -|1ax 0，分析：分析：要使要使,|0|1=-nnqx,|lnln1qn+只需故取. |lnln1+=qN11|0|0|-=-=-nnnqqx 例例 3 设设|q |N时，有时，有 证证明明：因为对于任意给定的0

42、， 存在, |lnln1+=qN所以所以. 1lim1=-nnq 例例 3 设设|q |1，证明等比数列证明等比数列 1，q ，q2， ，qn-1，的极限是的极限是01|0| | |nnxq-=ln11ln| |qq+-| |log|qq=lnln| |qq=矛盾矛盾!二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1.1.定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果数列如果数列xn收敛，则其收敛，则其只有一个极限只有一个极限. 证证用反证法用反证法.,lim,limbxaxnnnn= = = 又又设设a b不妨设不妨设a b.02 - -= =ab 取取,lim,limbxaxnnnn= = =

43、 及及由由使得使得.,21NN 12nbanNxa-当时恒有2nabx+22nbanNxb-当时恒有2nabx+ ,max21NNN = =取取同时有同时有时时则当则当,Nn 2nabx+N时的时的一切一切xn， 不等式不等式 | xn- a |N时，时， | xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |0(或或 a0, 当当nN时时, 都有都有xn 0 推论推论 如果数列如果数列xn收敛于收敛于a ，且从某项起有且从某项起有xn0(或或xn0), 则则a 0(或或a 0). 2如果数列如果数列xn收敛，那么数列收敛，那么数列xn一定有一定有界发散的数列是否一定

44、无界界发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛有界的数列是否收敛? 1对某一正0， 如果存在正整数N， 使当nN时，有|xn- a| 0 是否有 ?axnn=lim讨论：讨论：1.3 1.3 函数的极限函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限极限的通俗定义、极限的通俗定义、极限的几何意义、极限的几何意义、 极限的局部保号性、极限的局部保号性、极限的精确定义、极限的精确定义、左右极限左右极限极限的通俗定义、极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的精确定义、极限的几何意义、极限的几何意义、 水平渐近线水平渐

45、近线一、函数极限的概念一、函数极限的概念二、函数极限的性质二、函数极限的性质 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：主要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，的极限的极限时时即即)(,xfx 二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势的极限的极限时时即即)(,0 xfxx 一、函数极限的概念一、函数极限的概念函数极限的通俗定义：函数极限的通俗定义： 在自变量的某个变化过程中，如果对应的在自变量的某个变化

46、过程中，如果对应的函数值函数值 f(x)无限接近于某一确定的常数无限接近于某一确定的常数A，那么那么这个确定的常数这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限的极限先看一个例子先看一个例子的变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察1)1(2)(,12- - -= =xxxfx 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时， f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1x

47、yo41.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf- - - -.000的过程的过程表示表示xxxx - - x0 x - -0 x + +0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 0limxxf (x)= =A或或f (x) A(当当x x0) f (x)= =A 0,0, 0 0, 当当0|x- -x0| 时，时，有有 |f (x)- -A| 0limxx1) 函数极限的精确定义：函数极限的精确定义： 设函数设函数f (x)在点在点x0的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义. 如果如果对于任意给

48、定的正数对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小)，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式使得对于适合不等式0|x- -x0| 的一切的一切 x ，对应的函对应的函数值数值f (x)都满足不等式都满足不等式|f (x)- -A| ，那么常数那么常数A就叫做函数就叫做函数f (x)当当x x0时的极限，记为时的极限，记为 注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义定义, 其三个要素：其三个要素：10。正数。正数，20。正数正数， 30。不等式不等式)|0(|)(|0 - - - -xxAxf定义中定义中 - - |00 xx0.xx表示 所以所以x x0时时，f(x) 有无极限

49、与有无极限与 f(x)在在x0处的处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在在x0附近的变化趋势，即附近的变化趋势，即 x x0时时f(x) 变化有无终极变化有无终极目标，而不是目标，而不是f(x) 在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定约定x x0但但 xx0.0反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的的程度，它依赖于程度，它依赖于，对一对一固定的固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) A| 来来选定，选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小.2) 几何解释几何解释:.2,)

50、(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线线线图图形形完完全全落落在在以以直直函函数数域域时时邻邻的的去去心心在在当当 = = = Ayxfyxx0 xA-A+A-0 x+0 x)(xfy =xyo,.显然 找到一个 后越小越好因此对于任意因此对于任意给定的正数给定的正数 ，当当0|x- -x0| 时，时，|f (x)- -A|=|c- -c|=0 成立，成立，举例：举例：证明证明: 这里这里|f(x)- -A|=|c- -c|=0，.lim0ccxx= 例 1 证明0limxxc=c都有都有所以所以任意取一正数任意取一正数 ，成立成立|f (x)- - A|=|x- - x0|

51、当当 0|x- - x0| = 时时, ,的正的正数数 , ,总可取总可取 = , ,因此对于任意给定因此对于任意给定能使不等式能使不等式所以所以.lim00 xxxx= 证明：这里证明：这里|f(x)- - A|=|x- - x0|， 例 2 证明0limxxx=x0|f(x)- -1|=|(2x- -1)- -1|=2|x- -1| ，当当0|x- -1| 时，有时，有只要只要 |x- -1| ，2所以所以 00， = 0 = 0， 2因此因此. 1) 12(lim1=-xx 证明：证明： |f(x)- -A|=|(2x- -1)- -1|=2|x- -1|， 例 3 证明1limx(2x

52、-1)=1为了使为了使 |f(x)-A| ，.2即即可可取取 =所以所以 0 0 ， = = 0 0 ，从而从而只需只需 |x- -1| | ，|f(x)- - 2|=|x- -1| ，使当使当0|x- -1| ，有有112-xx |f (x)- - 2|= | - -2|要使要使|f (x)- -2| ，. 211lim21=-xxx证明：证明：注意函数在注意函数在x=1是没有定义的是没有定义的 但这与函但这与函数在该点是否有极限并无关系数在该点是否有极限并无关系 例 4 证明211lim21=-xxx=|x+1-2|=|x-1|，即取即取 = 例例5 设设x00, 证明证明00lim.xx

53、xx=证证000|xxxxxx+ +- -= =- -00|xxx - - 000|,|xxxxx - - - -只须只须为使为使0, ,min00 xx= =取取00 |xx-当时,恒有恒有 - - - -000|xxxxx00lim.xxxx=所以所以左右极限：左右极限： x x0- -表示表示x仅从仅从x0的左侧趋于的左侧趋于x0 ，而而x x0+ +表示表示x仅从仅从x0的右侧趋于的右侧趋于x0 若当若当x x0- -时，时，f(x)无限接近于某常数无限接近于某常数A，则常则常数数A叫做函数叫做函数 f(x)当当x x0时的左极限，记为时的左极限，记为 若当若当x x0+ +时，时，f

54、(x)无限接近于某常数无限接近于某常数A，则常数则常数A叫做函数叫做函数 f(x)当当x x0时的右极限，记为时的右极限，记为00lim( )().xxf xAf xA-=记作或00lim( )().xxf xAf xA+=记作或000lim( ):()().xxf xAf xf xA-+=结论讨论：讨论：左极限的左极限的 - 定义：定义： 若若 00， 0 0， 当当 x0- - xx0 时时, , 有有|f (x)- -A| , 则称常数则称常数A为函数为函数f (x)当当xx0时的左极限时的左极限 左右极限的左右极限的 - 定义如何叙述定义如何叙述? ? yy= =x- -1- -11y

55、= =x+ +1xO O+=X的一切的一切x，对应的函数数值对应的函数数值f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x)- -A|0, 0, X 0, 0, 当当 |x|X时时,有有 | f (x)- -A| . )(limAxfx=y=f (x)O xy-XXA- A+A极限极限xlimf (x)=A 的几何意义：的几何意义：1x解不等式得解不等式得 ，所以所以 01lim=xx 证明：证明：. 01-x故取故取X= 1X时，时，要证存在正数要证存在正数X， 分析：设分析：设 是任意给定的正数是任意给定的正数因为对因为对 00， X= ，1使当使当|x|X时，有时，有 例 7 证明xlimx1=

56、0水平渐近线：水平渐近线：直线直线y=0是函数是函数y = 的的图形的水平渐近线图形的水平渐近线x1已知已知 01lim=xxxyO11xy1=如果如果 ，cxfx=)(limOxy p p 2 2p p2 2y=arctan x 例如，函数例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：的图形的水平渐近线有两条：则直线则直线y=c是是函数函数y=f (x)的图的图形的水平渐近线形的水平渐近线一般地，一般地，2p=y2p-=y和和二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性定理定理 如果如果, ,那么存在正数那么存在正数 ,M，使得，使得当当 - - 00

57、 xx时，有时，有Mxf | )(|. . 0lim( )xxf xA=定理定理 若若存在存在, ,则极限唯一则极限唯一. . 0lim( )xxf xA=).0)(0)(,|0, 0),0(0,)(lim0-=xfxfxxAAAxfxx或时当则或且若3(3(局部保号性局部保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim00=AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论推论0lim( )(0),0,|0|,|( ) |.2xxfxA AAxxfx=-若则当时31.4 1.4 极限的运算法则极限的运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算

58、法则三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大 如果函数如果函数f (x)当当x x0(或或x )时的极限为零，时的极限为零，那么函数那么函数 f (x)叫做叫做x x0(或或x )时的无穷小时的无穷小 1. 无穷小无穷小所以函数所以函数x-1-1是是当当x1时的无穷小时的无穷小 例如例如 因为因为 ， 0) 1(lim1=-xx, 0sinlim0= =xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim= = xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自

59、变量的 变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx= =设设( )( ).xf xA=-令, 0)(lim0= = xxx则有则有( )( ),f xAx=+充分性充分性),()(xAxf + += =设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx 0lim( ).xxf xA=0( )xxx是当时的无穷小.00,0,0,( ).xxf xA -使当时 有00,0,0,.xxx-从而使当时

60、 | ( )|.x即| ( )|( ),f xAx-=又| ( )|例如例如 ，3321limxxx+因为因为 ，333212121xxx+=+而而 021lim3=xx所以所以 2121lim33=+xxx定理定理1说明说明如果函数可表示为常数与无穷小之和，那如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限么该常数就是这函数的极限意义意义 1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题 ( (无穷小无穷小););02.( )( ),( ).f xxf xAx给出了函数在 附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在自变量的同