运筹学所有内容

1、编辑课件编辑课件运运 筹筹 学学( Operations Research )Page 2编辑课件编辑课件Page 3编辑课件编辑课件Page 4编辑课件编辑课件Page 5编辑课件编辑课件Page 6编辑课件编辑课件Page 7编辑课件编辑课件运筹学（运筹学（Operations Research）系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：问题，可简单地归结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳

2、方案依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。故有人称之为最优化技术。Page 8编辑课件编辑课件运筹学的历史运筹学的历史“运作研究运作研究(Operational Research)小组小组”:解决复解决复杂的战略和战术问题。例如：杂的战略和战术问题。例如：如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少；艇攻击时损失最少；1.在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。度，才

3、能增加对德国潜艇的杀伤力等。Page 9编辑课件编辑课件Page 10编辑课件编辑课件Page 11编辑课件编辑课件数学规划（数学规划（线性规划、整数规划、目标规划线性规划、整数规划、目标规划、动态、动态规划等）规划等）图论图论存储论存储论排队论排队论对策论对策论排序与统筹方法排序与统筹方法决策分析决策分析Page 12编辑课件编辑课件先修课：先修课：高等数学，基础概率、线性代数高等数学，基础概率、线性代数特点：特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用运筹学的研究的主要步骤：运筹学的研究的主要步骤：真实系统真实系统系统分析系统分析问题描述问题描

4、述模型建立模型建立与修改与修改模型求解模型求解与检验与检验结果分析与结果分析与实施实施数据准备数据准备Page 13编辑课件编辑课件Page 14编辑课件编辑课件运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：n 生产计划生产计划n 运输问题运输问题n 人事管理人事管理n 库存管理库存管理n 市场营销市场营销n 财务和会计财务和会计另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。与评价，工程优化设计等。Page 15编辑课件编辑课件Interface上发表的部分获奖项目上发表的部分获奖项

5、目Page 16编辑课件编辑课件“管理运筹学管理运筹学”2.02.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-10-1整数整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共决策分析、预测问题和层次分析法，共1515个子模块。个子模块。编辑课件编辑课件Chapter1 线性规划线性规划 (Linear Programmin

6、g) LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用Page 18编辑课件编辑课件1. 规划问题规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。这就是规划问题。（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）（如资金、设备、原标

7、材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多好的经济效益（如产品量最多 、利润最大、利润最大. .）Page 19编辑课件编辑课件例例1.1 如图所示，如何截取如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最使铁皮所围成的容积最大？大？ x xa a xxav 220 dxdv0)2()2()2(22 xaxxa6ax Page 20编辑课件编辑课件例例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在别要在A

8、、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？企业总的利润最大？Page 21编辑课件编辑课件解：设解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：Page 22编辑课件编辑课件Page 23编辑课件编辑课件00 )( )( (min) max12211112121112211 nmnmnmmnnnnxxbxaxaxabx

9、axaxaxcxcxcz)21(j 0 )21(i )( Z (min)max 11nxmbxaxcjnjijijnjjj 简写为：简写为：Page 24编辑课件编辑课件) (21ncccC nxxX1 mjjjaaP1 mbbB1 0 )( (min) maxXBxpCXzjj其中：其中：Page 25编辑课件编辑课件 mnmnaaaaA1111 0 )( (min) maxXBAXCXZ其中：其中：) (21ncccC nxxX1 mbbB1Page 26编辑课件编辑课件3. 线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式minjxbxatsxcZjnjijijnjjj, 2 , 1, 2

10、, 1, 0.max11 特点：特点：(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）目标函数求最大值（有时求最小值）(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零都大于或等于零(3) 决策变量决策变量xj为非负。为非负。Page 27编辑课件编辑课件 目标函数的转换目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以，则可将目标函数乘以(-1)(-1)，可化为求极大值问题。可化为求极大值问题。 jjxczmin也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。zz jjxczzmax即即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量

11、，可令，可令 其中：其中：jxjjjxxx 0, jjxx 变量的变换变量的变换Page 28编辑课件编辑课件 约束方程的转换：由不等式转换为等式。约束方程的转换：由不等式转换为等式。 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为松弛变量称为松弛变量 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为剩余变量称为剩余变量 变量变量 的变换的变换 可令可令 ，显然，显然0 jxjjxx 0 jxPage 29编辑课件编辑课件例例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式 ,0,52324 7 532min321321321321321无无约约束束xxxxxxxxxxx

12、xxxxZ用用 替换替换 ，且，且 解解:（）因为（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也可取负值，标准取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以型中要求变量非负，所以33xx 3x0,33 xxPage 30编辑课件编辑课件(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是“”号，在号，在“”左端加入松驰变量左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；化为等式；(3) 第二个约束条件是第二个约束条件是“”号，在号，在“”左端减去剩余变量左端减去剩余变量x5，x50；(4) 第第3个约束方程右端常数项为个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以，方程两边同乘以(-1),将右将右端常数项化为正

13、数；端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到得到max z=-z，即当，即当z达到最小值时达到最小值时z达到最大值，反之亦然达到最大值，反之亦然;Page 31编辑课件编辑课件 0,5 )(252 )( 7 )(500)(32max54332133215332143321543321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ标准形式如下：标准形式如下：Page 32编辑课件编辑课件4. 4. 线性规划问题的解线性规划问题的解 )3(, 2 , 1, 0)2(), 2 , 1(.) 1 (max11njxm

14、ibxatsxcZjnjijijnjjj线性规划问题线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组的方程组中找出一个解，使目标函数中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。达到最大值。Page 33编辑课件编辑课件 可行解可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。的集合为可行域。 最优解最优解：使目标函数达到最大值的可行解。：使目标函数达到最大值的可行解。 基：基：设设A为约束条件的为约束条件的mn阶系数矩阵阶系数矩阵(m04010换换出出行行将将3化为化为15/311801

15、/301/31011/3303005/304/3乘乘以以1/3后后得得到到103/51/518011/52/540011Page 53编辑课件编辑课件例例1.9 用单纯形法求解用单纯形法求解 02053115232.2max321321321321xxxxxxxxxtsxxxZ、解：将数学模型化为标准形式：解：将数学模型化为标准形式： 5 , 2 , 1, 02053115232.2max53214321321jxxxxxxxxxtsxxxZj不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。可作为初始基变量，列单纯形表计算。Page 54编辑课件编辑课件j 201/31501207

16、53017131/30902j 256011017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/3j Page 55编辑课件编辑课件学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤Page 56编辑课件编辑课件人工变量法：人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基

17、向量和初基可行解，在约束条件的矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大MM法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。为人工变量法。Page 57编辑课件编辑课件例例1.10 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划 012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、解：首先将

18、数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式 5 , 2 , 1, 012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。Page 58编辑课件编辑课件故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： 7 , 2 , 1, 012210243423max732153216432176321jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj其中：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，是

19、一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 Page 59编辑课件编辑课件j j j j Page 60编辑课件编辑课件解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线则线 规划具有唯一最优解。规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多

20、重最优解（或无穷多最优解）。则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个）无界解判别：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性）则线性规划具有无界解。规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并单纯形法计算得到最优解并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。Page 61编辑课件编辑课件单纯性法小结单纯性法小结:编辑课件编辑课件停止停止A Ajjjzc :求求0 j所所有有kj即即找找出出

21、max)()0(0 jika对对任任一一)0( lklkiiaab 计计算算lkxx替替换换基基变变量量用用非非基基变变量量新新单单纯纯形形表表列列出出下下一一个个ax含有含有量中是否量中是否基变基变 0 j非非基基变变量量的的有有某某个个最最优优解解一一唯唯 无无可可行行解解最优解最优解无穷多无穷多是是否否环环循循否否否否否否是是是是是是循环循环无无界界解解Page 63编辑课件编辑课件一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且要求解问题的目标函数能用

22、数值指标来反映，且为线性函数为线性函数 存在着多种方案存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述束可用线性等式或不等式描述Page 64编辑课件编辑课件 人力资源分配问题人力资源分配问题例例1.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：所需司机和乘务人员人数如下表所示：设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满小时，问该公交线路应怎样

23、安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?Page 65编辑课件编辑课件解：设解：设xi表示第表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。班次时开始上班的司机和乘务人员人数。 0,302050607060.min654321655443322161654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxx此问题最优解：此问题最优解：x150， x220， x350， x40， x520， x610，一共需要司机和乘务员，一共需要司机和乘务员150人。人。Page 66编辑课件编辑课件2. 生产计划问题生产计划问题某

24、厂生产某厂生产、三种产品，都分别经三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设两道工序加工。设A工序可分别在设备工序可分别在设备A1和和A2上完上完成，有成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成三种设备可用于完成B工序。已工序。已知产品知产品可在可在A、B任何一种设备上加工；产品任何一种设备上加工；产品可可在任何规格的在任何规格的A设备上加工，但完成设备上加工，但完成B工序时，只能工序时，只能在在B1设备上加工；产品设备上加工；产品只能在只能在A2与与B2设备上加工。设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获

25、利最大。试安排最优生产计划，使该厂获利最大。Page 67编辑课件编辑课件Page 68编辑课件编辑课件解：设解：设xijk表示产品表示产品i在工序在工序j的设备的设备k上加工的数量。约束条上加工的数量。约束条件有：件有：）（上加工的数量相等）上加工的数量相等），在工序在工序（产品（产品上加工的数量相等）上加工的数量相等），在工序在工序（产品（产品上加工的数量相等）上加工的数量相等），在工序在工序（产品（产品设备设备设备设备）（设备（设备）（设备（设备设备设备3 , 2 , 1; 2 , 1; 3 , 2 , 10BAIIIBAIIBAI)3B(40007)2B(70001141B400086

26、2A100001297)1A(6000105322312221212211123122121112111123322122221121312212112211111 kjixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxijkPage 69编辑课件编辑课件目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：目标是利润最大化，即利润的计算公式如下： 5131)()(ii该该设设备备实实际际使使用用台台时时每每台台时时的的设设备备费费用用该该产产品品件件数数销销售售单单价价原原料料单单价价利利润润带入数据整理得到：带入数据整理得到：12332212222112131221221111211135. 023. 144

27、8. 05 . 0375. 0915. 136. 115. 1775. 075. 0maxxxxxxxxxxx Page 70编辑课件编辑课件因此该规划问题的模型为：因此该规划问题的模型为： ）（3,2,1;2,1;3,2,104000770001144000861000012976000105.35.023.1448.05.0375.0915.136.115.1775.075.0max322312221212211123122121112111123322122221121312212112211111123322122221121312212211112111kjixxxxxxxxxxxx

28、xxxxxxxxxtsxxxxxxxxxxijkPage 71编辑课件编辑课件3. 套裁下料问题套裁下料问题例：现有一批某种型号的圆钢长例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取米，需要截取2.5米米长的毛坯长的毛坯100根，长根，长1.3米的毛坯米的毛坯200根。问如何才能根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？既满足需要，又能使总的用料最少？解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要

29、并达到省料的目的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。种下料方案以供套裁用。Page 72编辑课件编辑课件 )4.3.2.1(020064210023min4323214321jxxxxxxxxxxxZj设按方案设按方案、下料的原材料根数分别为下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：，可列出下面的数学模型：Page 73编辑课件编辑课件4. 配料问题配料问题例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），其资料如下：问两种食物各食用多少，才能

30、既满足需其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需要、又使总费用最省？要、又使总费用最省？ 2 1.5原料单价原料单价1.007.5010.00 0.1 0.15 1.7 0.75 1.10 1.30A1A2A3 最最 低低需要量需要量 甲甲 乙乙含量含量 食物食物成分成分Page 74编辑课件编辑课件解：设解：设Xj 表示表示Bj 种食物用量种食物用量 0,00.1030.110.150.775.070.100.115.010.05.12min2121212121xxxxxxxxxxZ编辑课件编辑课件Chapter2 对偶理论对偶理论 ( Duality Theory )线性规划的对偶模

31、型线性规划的对偶模型对偶性质对偶性质对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格对偶单纯形法对偶单纯形法 Page 76编辑课件编辑课件设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：产品数据表产品数据表问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？获得最大利润？1. Page 77

32、编辑课件编辑课件解：设甲、乙型产品各生产解：设甲、乙型产品各生产x1及及x2件，则数学模型为：件，则数学模型为： 0,124164821222.32max2121212121xxxxxxxxtsxxz反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定用于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定价才是最佳决策？价才是最佳决策？Page 78编辑课件编辑课件在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不

33、能低于加工甲、乙型）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。费，以便争取更多用户。设设A、B、C、D设备的机时价分别为设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性，则新的线性规划数学模型为：规划数学模型为： 0,340222042.1216812min4321432143214321yyyyyyyyyyyytsyyyyPage 79编辑

34、课件编辑课件把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发表示，将会发现一个有趣的现象。现一个有趣的现象。原问题与对偶问题对比表原问题与对偶问题对比表Page 80编辑课件编辑课件2. 0,124164821222.32max2121212121xxxxxxxxtsxxz 0,340222042.1216812min4321432143214321yyyyyyyyyyyytsyyyy原问题原问题（对偶问题）（对偶问题）对偶问题对偶问题（原问题）（原问题）Page 81编辑课件编辑课件（1）对称形式）对称形式特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为

35、特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变量号，变量非负非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非负号，变量非负. 0XbAX CXmaxZ ：P 0YCYA TTbYWDTmin:已知已知P，写出，写出DPage 82编辑课件编辑课件例例2.1 写出线性规划问题的对偶问题写出线性规划问题的对偶问题 0,5643 7 32 532432max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ解：首先将原问题变形为对称形式解：首先将原问题变形为对称形式 0,5 64 3 7 32532432max32132132132321xxxxxxx

36、xxxxxxxxZPage 83编辑课件编辑课件 0,4675343232 532min 321321321321321yyyyyyyyyyyyyyyW对对偶偶问问题题：Page 84编辑课件编辑课件(2) 非对称型对偶问题非对称型对偶问题若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。称形式的对偶问题。Page 85编辑课件编辑课件Page 86编辑课件编辑课件例例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题写出下列线性规划问题

37、的对偶问题. 无无约约束束4321432142143214321, 0, 06 43 247 23 523 4 532maxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ解：原问题的对偶问题为解：原问题的对偶问题为 无无约约束束32132131321321321,0,01 72 54 3332 2234 645minyyyyyyyyyyyyyyyyyWPage 87编辑课件编辑课件例例2.3 分别求解下列分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题个互为对偶关系的线性规划问题 052426155.2max5214213221jxxxxxxxxxtsxxz 012526.52415min53214323

38、21iyyyyyyyytsyyyw分别用单纯形法求解上述分别用单纯形法求解上述2 2个规划问题，得到最终单纯形表如个规划问题，得到最终单纯形表如下表：下表：Page 88编辑课件编辑课件j j 原问原问题最题最优表优表对偶对偶问题问题最优最优表表Page 89编辑课件编辑课件在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。题的变量。Page 90编辑课件编辑课件性质性质1 1 对称性定理对称性定理：对偶问题的对偶是原问题：对偶问题的对偶是原问题 min W= Y bs.t. YA

39、C Y 0max Z=C Xs.t. AXb X 0Page 91编辑课件编辑课件性质性质2 2 弱对偶原理弱对偶原理( (弱对偶性弱对偶性) )：设设 和和 分别是问题分别是问题(P)(P)和和(D)(D)的可行解，则必有的可行解，则必有0X0Y njmiiijjbyxcbYCX1100即即：推论推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。标函数值的上界。推论推论2: 在一对对偶问题（在一对对偶问题（

40、P）和（）和（D）中，若其中一个问题可行但）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立反之不成立。这也是对这也是对偶问题的无界性。偶问题的无界性。Page 92编辑课件编辑课件推论推论3 3：在一对对偶问题（在一对对偶问题（P）和（）和（D）中，若一个可行（如）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数），则该可行的问题目标函数值无界。值无界。性质性质3 最优性定理最优性定理：如果如果 是原问题的可行解，是原问题的可行解， 是其对偶是其对偶问题的可行解，并且问题的可行解，并且:0X

41、0Ywz:00即即BYCX 则则 是原问题的最优解，是原问题的最优解， 是其对偶问题的最优解。是其对偶问题的最优解。0X0YPage 93编辑课件编辑课件性质性质4 强对偶性强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。还可推出另一结论：若（还可推出另一结论：若（LP）与（）与（DP）都有可行解，则两者）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。性质性质5 互补松弛性互补松弛性：设

42、设X0和和Y0分别是分别是P问题问题 和和 D问题问题 的可行的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：解，则它们分别是最优解的充要条件是： 000ss0XYXY其中：其中：Xs、Ys为松弛变量为松弛变量Page 94编辑课件编辑课件性质性质5的应用：的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知的方法，即已知Y求求X或已知或已知X求求Y 00ssXYXY互补松弛条件互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：因而有下列关系：若若Y

43、0，则，则Xs必为必为0；若；若X0，则，则Ys必为必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。方程组的解即为最优解。Page 95编辑课件编辑课件例例2.4 已知线性规划已知线性规划 3 , 2 , 1, 0162210243max321321321jxxxxxxxxxxzj的最优解是的最优解是X=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解求其对偶问题的最优解Y。解：写出原问题的对偶问题，即解：写出原问题的对偶问题，即 0,1422321610min2121212121yyyyyyyyyyw 0,14

44、22321610min5432152142132121yyyyyyyyyyyyyyyyw标准化标准化Page 96编辑课件编辑课件设对偶问题最优解为设对偶问题最优解为Y(y1，y2),由互补松弛性定理可知，由互补松弛性定理可知，X和和 Y满足：满足：00 ssXYXY即：即：0),)(,(0),)(,(5421321543 TTxxyyxxxyyy因为因为X10，X20，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即变量等于零，即y30，y40，带入方程中：，带入方程中： 422322121yyyy解此线性方程组得解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对

45、偶问题的最优解为：从而对偶问题的最优解为：Y=(1,1)，最优值，最优值w=26。Page 97编辑课件编辑课件例例2.5 已知线性规划已知线性规划 无约束无约束321321321321, 0, 06422minxxxxxxxxxxxxz的对偶问题的最优解为的对偶问题的最优解为Y=(0,-2)，求原问题的最优解。，求原问题的最优解。解解: 对偶问题是对偶问题是 021264max2121212121yyyyyyyyyyw无约，无约，标准化标准化 0, 0,21264max43212142132121yyyyyyyyyyyyyyw无约无约Page 98编辑课件编辑课件设对偶问题最优解为设对偶问题

46、最优解为X(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理由互补松弛性定理可知，可知，X和和 Y满足：满足：0),)(,(0),)(,(5421321543 TTxxyyxxxyyy将将Y带入由方程可知，带入由方程可知，y3y50，y41。y2=-20 x50又又y4=10 x20将将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：分别带入原问题约束方程中，得： 643131xxxx解方程组得：解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为所以原问题的最优解为X=(-5,0,-1)，最优值，最优值z=-12Page 99编辑课件编辑课件原问题与对偶问题解的对应关系小结原问题与对偶问题解的对应关

47、系小结Page 100编辑课件编辑课件判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1 1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划. .2 2）原问题第）原问题第ii个约束是个约束是“”约束，则对偶变量约束，则对偶变量y yii0.0.3 3）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解. .4 4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解. .5 5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解）原问题有多重解，对

48、偶问题也有多重解. .6 6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解. .7 7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解）原问题无最优解，则对偶问题无可行解. .8 8）对偶问题不可行，原问题可能无界解）对偶问题不可行，原问题可能无界解. .9 9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解. .1010）原问题具有无界解，则对偶问题不可行）原问题具有无界解，则对偶问题不可行. .1111）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解. .1212）若）若X X*

49、*、Y Y* *是原问题与对偶问题的最优解，则是原问题与对偶问题的最优解，则X X* *= =Y Y* *. .Page 101编辑课件编辑课件1. 影子价格的数学分析：影子价格的数学分析： 0 D 0 minmax YCYAXbAXPYbW CX Z定义：在一对定义：在一对 P 和和 D 中，若中，若 P 的某个约束条件的右端项常的某个约束条件的右端项常数数bi （第（第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值函数最优值z* 的改变量称为第的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等种资源的影子价格，其值等于于D问题中对偶变量问题中对偶

50、变量yi*。由对偶问题得基本性质可得：由对偶问题得基本性质可得： miiinjjjybxcz11Page 102编辑课件编辑课件2. 影子价格的经济意义影子价格的经济意义1）影子价格是一种边际价格）影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第就是第 i 种资源的种资源的影子价格。即：影子价格。即： )2 , 1(*miybZii Page 103编辑课件编辑课件2）影子价格是一种机会成本）影子价格是一种机会成本影子价格是在资源最优利用条件下对

51、单位资源的估价，影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。它是一种机会成本。若第若第i 种资源的单位市场价格为种资源的单位市场价格为mi ，则有当，则有当yi* mi 时，企业愿意时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为购进这种资源，单位纯利为yi*mi ，则有利可图；如果，则有利可图；如果yi* mi 则购进资源则购进资源i，可获单位纯利，可获单位纯利yi*mi 若若yi* mi则转让资源则转让资源i ，可获单位纯利，可获单位纯利miyiPage 104编辑课件编辑

52、课件3）影子价格在资源利用中的应用）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0 , YsX*=0表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资源的影子价格为源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为0时，表明时，表明该种资源在生产中已耗费完。该种资源在生产中已耗费完。Page 105编辑课件编辑课件4）影子价格对单纯形表计算的解释）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数单纯形表中的检验数 miiijjjBjjyacPBCc11其中其中c cj j

53、表示第表示第j j种产品的价格种产品的价格; ; 表示生产该种产品所表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和消耗的各项资源的影子价格的总和, ,即产品的隐含成本。即产品的隐含成本。 miiijya1当产值大于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源生产别的，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。产品更有利，不在生产中安排该产品。0 j 0 j Page 106编辑课件编辑课件 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根

54、据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。法。 找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断条件下，判断XB是否可行（是否可行（XB为非负），若否，通过变换基为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。可得最优解。

55、Page 107编辑课件编辑课件找出一个找出一个DP的可行基的可行基LP是否可行是否可行（XB 0）保持保持DP为可行解情况下转移到为可行解情况下转移到LP的另一个基本解的另一个基本解最优解最优解是是否否循循环环结束结束Page 108编辑课件编辑课件例例2.9 用对偶单纯形法求解：用对偶单纯形法求解： )3.2.1(0145 1232102215129min321321321321jxxxxxxxxxxxxxZj解解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部

56、检验数0（求（求max问题）。问题）。Page 109编辑课件编辑课件 014 5 12 3210 2215129max61632153214321321xxxxxxxxxxxxxxxxZiPage 110编辑课件编辑课件iij j Page 111编辑课件编辑课件j 原问题的最优解为：原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），），Z* =72 其对偶问题的最优解为：其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），），W*= 72Page 112编辑课件编辑课件 对偶单纯形法应注意的问题：对偶单纯形法应注意的问题： 用对偶单纯形法求解线性规划是一种求

57、解方法，而不是去求对偶用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解问题的最优解 初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则别准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题 j j00，分母分母a aij ij0 0 这时必须取绝对值。在极大化问题中，这时必须取绝对值。在极大化问题中， j j00，分母，分母a aij ij00， 总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数

58、写成在本例中将目标函数写成ijja 这里这里 j j 0 0在求在求 k k时就可以不带绝对值符号。时就可以不带绝对值符号。32134maxxxxz ijja Page 113编辑课件编辑课件 对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；量后确定进基变量； 普通单纯形法的最小比值是普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是个原问题的基

59、本解可行，对偶单纯形法的最小比值是 0minikikiiaab其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 0|minljljjjaa 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规则，任选一个小于零的规则，任选一个小于零的b bii对应的基变量出基，不影响计算结果，对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。只是迭代次数可能不一样。 0|min iilbbbPage 114编辑课件编辑课件学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解

60、步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤编辑课件编辑课件Chapter3 运输规划运输规划( Transportation Problem )运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型表上作业法表上作业法运输问题的应用运输问题的应用 Page 116编辑课件编辑课件例例3.1 某公司从两个产地某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？小？Page