大学微积分总复习课件

1、需熟悉的内容(特别是三角函数)第一部分初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数1. 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy2xy xy xy 11)1 , 1(xy1 2. 指数函数指数函数)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(3. 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( xaxyya log4. 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin o(注意：注意：x用弧度表示用弧度表示)xycos xycos 余弦函数余弦函数o正切函数正切函数xytan xycot

2、 余切函数余切函数正割函数正割函数xysec xysec oxycsc 余割函数余割函数xycsc o三角函数常用公式三角函数常用公式(前前5个必须记下来个必须记下来);cos/1sec;sin/1csc) 1 (xxxx)(cscsec1)(cottan)3(; 1cossin)2(222222xxxxxx; 1cos2sin21sincos2cos)4(2222xxxxx;cossin22sin)5(xxx ;2cos2cos2coscos)7(yxyxyx);sin()sin(2/1cossin)9(yxyxyx);sin()sin(2/1sincos)10(yxyxyx;2cos2si

3、n2sinsin)6(yxyxyx;2sin2sin2coscos)8(yxyxyx);cos()cos(2/1coscos)11(yxyxyx);cos()cos(2/1sinsin)12(yxyxyx5. 反三角函数反三角函数:xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数oyxxysinarcsin 2,2 y规规定定xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数o, 0 y规定xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数o)2,2( y规定幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角三角函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基

4、本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arco), 0( y规定第二部分函数与极限单侧极限单侧极限.)(;)()(lim0000的变化趋势时的一侧接近从但有时我们只需考虑当为极限均以，以任何方式接近是指无论xfxxxAxfxxAxfxx左极限左极限:);xx()(lim00此时Axfxx右极限右极限: :);xx()(lim00此时Axfxx定理定理 . Axfxx)(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00极限存在的充要条件是左极限等于右极限极限存在的充要条件是左极限等于右极限.无穷大包括：正无穷大，负无穷大无穷大包括：正无穷大，负无穷大)(lim()(l

5、im)()(00 xfxfxxxxxx或或为无穷小量。或(当，称的极限为零，即或(当定义：如果函数)(0)(lim)(00 xxxxfxfxxxxf无穷大量与无穷小量的关系.)(10)()(.)(1)()0无穷大量为，则为无穷小量，且反之，如果为无穷小量穷大量，则为无时或(定理：如果当xfxfxfxfxfxxx两个重要极限两个重要极限; 1)()(sinlim10 xfxf某过程.)(1 (lim2)(10exfxf某过程则中的无穷小或如为某过程设,)xax()(xf；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷穷小小是是同

6、同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，0lim20 xxx，22lim0 xxx;02高高阶阶的的无无穷穷小小量量是是比比时时，即即当当xxx ).0()( 2 xxox是同阶无穷小是同阶无穷小与与时，时，当当xxx20例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小: :：以下函数是等价无穷小时当,0

7、 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10个等价无穷小（包括反、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握对、幂、指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx函数连续点的等价定义)()(lim)(000 xfxfxxfxx 连连续续在在0)()(lim000 xfxfxx0lim0 yx.)()(00处既左连续又右连续在函数处连续在函数xxfxxf第一类间断点第一类间断点oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点

8、第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最值和有界性定理最值和有界性定理) ) 在闭区间上在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值连续的函数一定有最大值和最小值. . 故该函数在闭区间内一定是有界函数故该函数在闭区间内一定是有界函数. .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 推论：在闭区间上连续的函数必取得推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.三个定理的应用：注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区

9、间上连续函数命题的有关闭区间上连续函数命题的证明方法证明方法10直接法：先利用最值定理直接法：先利用最值定理, 再利用再利用介值定理介值定理;20间接法（辅助函数法）：先作辅助间接法（辅助函数法）：先作辅助函数函数, 再利用零点定理再利用零点定理.辅助函数的作法辅助函数的作法（1 1）将结论中的）将结论中的(或或x x0 0或或c c) )改写成改写成x x; ;（2 2）移项使右边为）移项使右边为0 0，令左边的式子为，令左边的式子为F F( (x x), ), 则则F F( (x x) )即为所求即为所求. . 区间一般在题设中或要证明的结论区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只

10、须验证中已经给出，余下只须验证F F( (x x) )在所讨在所讨论的区间上论的区间上连续，连续，再比较一下两个端点再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介处的函数值的符号，或指出要证的值介于于F F( (x x) )在所论闭区间上的最大值与最小在所论闭区间上的最大值与最小值之间值之间. .总结：求极限的方法1. 求连续函数的极限：直接代入法;2. 求x趋于点a时分式的极限，先判断分母的极限：(1)分母极限不为0，直接代入点a得分式极限；(2)分母极限为0, 分子极限不为0, 原极限为无穷大；(3)分子和分母的极限都为0, 采用洛比塔法则求原极限.3. 求两个根式相减的极限时，先有

11、理化. 有时可转化为两个重要极限来求.4.若一个函数在某点的极限为振荡极限，但该函数为有界函数，则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小.第二部分一元函数微分学xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000其它形式其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 一、导数的定义注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 2. 导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变是函数平均变化率的逼近函数化率的逼近函数.单侧导数单侧导数1. 左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxf

12、xfxxx 2. 右导数右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 例例.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy导数的几何意义导数的几何意义oxy)(xfy 0 xT )(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxfM,0

13、)(0且有限时若 xf).)(000 xxxfyy 的切线方程为过)f(x,(x00法线方程为法线方程为).()(1000 xxxfyy ,0)(0时当 xf切线方程为切线方程为)(0 xfy 法线方程为法线方程为0 xx ,)(0时当 xf切线方程为切线方程为0 xx 法线方程为法线方程为)(0 xfy 注注1. 链式法则链式法则“由外向里，由外向里， 逐层求导逐层求导”.2. 注意中间变量注意中间变量.推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 求导的方法求导的方法二、隐函数及其导数0),( yxF隐函数

14、隐函数因变量与自变量的对应法则用一个因变量与自变量的对应法则用一个方程表示的函数方程表示的函数.即即方法：对隐函数直接求导方法：对隐函数直接求导. 注意此时注意此时y=y(x),只要方程中某项含有只要方程中某项含有y, 则求导后这一项一定则求导后这一项一定含有含有).( xy先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数. 目的是目的是利用对数的性质简化求导运算利用对数的性质简化求导运算.-对数求导法对数求导法.)()(的情形函数开方和幂指多个函数相乘、乘方、xvxu微分的定义微分的定义 ) )( 0较小较小（xxyxxfyx 的的微微

15、分分。对对的的微微分分或或称称为为在在点点称称为为xyxxf0)(. .0dxyxydydyxxxx 即记作)()( 0 xoxxfy 由公式由公式.高高阶阶的的无无穷穷小小的的差差是是比比与与xdyy 会求会求函数的微分函数的微分, 微分与可导的关系，微分与可导的关系，一阶微分形式不变性。一阶微分形式不变性。.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成洛比塔法则 适用范围：即：函数之比的极限等于导数之比的极限即：函数之比的极限等于导数之

16、比的极限. .式。这两种类型的其他未定为型未定式，或者可转化型未定式，00注意：注意：洛必达法则与其它求极限方法洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好，比如能化简先化结合使用效果更好，比如能化简先化简，利用等价无穷小替换等简，利用等价无穷小替换等. .单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA导数为正，则函数单调增；导数为正，则函数单调增；导数为负，函数单调减导数为负，函数单调减. .利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式将要证的不等式作恒等变形（通常是将要证的不等式作恒等变形（通常是移项移项), 使一端为使一端为0, 另一端即为所作的辅助

17、另一端即为所作的辅助函数函数f(x)求求)(xf 验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性与区间端点处的函数值或极限值作与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证比较即得证.注：有时无法判别注：有时无法判别 的符号，则可先的符号，则可先讨论讨论 的符号，再转到上述第二步的符号，再转到上述第二步.)( xf)( xf曲线凹凸性的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA函数的二阶导数大于函数的二阶导数大于0,0,曲线为凹函数；若小于曲线为凹函数；若小于0, 0, 则为凸函数则为凸函数. .确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: :);()1(x

18、f 求二阶导数求二阶导数;)( 0)( )2(不不存存在在的的点点和和求求xfxf .)()3(的符号考察在候选点左右两侧xf 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求求导导数数).(0)()2(极值的候选点的点的点）和导数不存在求驻点（即 xf.)( 0,)(.)( ) 3(值点或极大则该点为极小或小于大于在，且二阶导数的值如果在该点二阶导数存是否异号考察在候选点左右两侧xf 求最值的步骤求最值的步骤: :);()1(xf 求求导导数数;)2(点点求求驻驻点点和和导导数数不不存存在在的的（3) 如果已知最值存在，比较在端点、驻点如果已知最值存在，比较在端点、驻点 和导数不存在的点的

19、函数值。另外，还可以和导数不存在的点的函数值。另外，还可以根据在根据在整个定义域整个定义域上函数的一（二）阶导数上函数的一（二）阶导数的符号来判断的符号来判断.导数及最值在经济学中的应用 1. 成本函数, 收入函数, 利润函数 2. 边际分析 3. 弹性 4 求最大利润，最小平均成本等最值问题要求要求: 会求各种函数, 并理解相应的经济意 义；会求经济学中的最值问题。一元函数积分学第三部分一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)

20、(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. . 为求不定积分，只须求出被积函数的一个为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可原函数再加上积分常数即可. .由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()

21、( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3(Cxxdx说明说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxx

22、tansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 以上以上1313个公式是求不定积分的基础，称个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握为基本积分表，必须熟练掌握. .一、两类积分换元法：一、两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表dxvuuvdxvu 二、分部积分法二、分部积分法: 合理选择合理选择 u, v，正确使用，正确使用 分部积分公式分部积分公式求不定积分的方法可导，则可导，则具有原函数，具有原函数，设设定理定理)()( :xuuf duuf)(ux )( dxxxf)()( 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将说明说明 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf例例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 方法方法1 当被积函数是三角函数相乘时，拆当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分开奇次项去凑微分.例例 求求解解.