复变函数习题总汇与参考答案

1、复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z1=（a, b）,Z2=(c, d),则Z1Z2=（C）A （ac+bd, a） B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd） D (ac+bd, bc-ad)2、若R0，则N（，R）= z：（D）A |z|R B 0|z|RC R|z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D4、若A= ，则 |A|=（C）A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ z=x+iy|x=4 ）3、（ 设E为点集，若它是开集，

2、且是连通的，则E ）称为区域。4、设z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,)，则zn以zo为极限的充分必要条件是 xn=x0，且 yn=y0。三、计算题1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i的三角式。解：3、写出复数 的代数式。解：4、求根式 的值。解：四、证明题1、证明若 ，则a2+b2=1。证明：而 3、证明：证明：第2章 解析函数一、单项选择题1若f(z)= x2-y2+2xyi,则2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西黎曼条件为（D）A BC D3、若f(z)=z+1

3、, 则f(z)在复平面上（C）A 仅在点z=0解析 B 无处解析C 处处解析 D 在z=0不解析且在z0解析4、若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C）A解析 B 可导C连续 D 不连续二、填空题1、若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点。2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。3、若f(z)=z2+2z+1，则 4、若 ，则 不存在。三、计算题：1、设f(z)=zRe(z), 求解： =2、设f(z)=excosy+iexsiny,求解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosy v=e

4、xsinyf(z)=u+ivf(z)在复平面解析，且 =excosy+iexsiny3、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f(i)=0,试求f(z)。解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0c=1 f(z)=Z3+i4、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2(x-1)y,f(2)=-i,试求f(z)。解：

5、依C-R条件有Vy=ux=2yV= =y2+(x) Vx=(x)=V=y2-x2+2x+c(c为常数)f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i c=-1f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i四、证明题1、试在复平面讨论f(z)=iz的解析性。解：令f(z)=u+iv z=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y v=x于是ux=0 uy=-1Vx=1 Vy=0ux、uy、vx在复平面内处处连接又Ux=Vy Uy=-Vx。f(z)=iz在复平面解析。2、试证：若函数f(z)在区域G

6、内为解析函数，且满足条件（z）=0，zG，则f(z)在G内为常数。证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,zGf(z)在G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又（z）=0, （z）=Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。复变函数课程作业参考解答2第3章 初等函数一、单项选择题1. z = ( A ) 是根式函数的支点. (A) 0 (B) 1 (C) (D) i2. z = ( D ) 是函数的支点. (A) i (B) 2i (C) -1 (D) 03. ei =( B ). (A) e

7、-1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos14. sin1= ( A ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题1. cosi = 2. = e(cos1+isin1)3. lni =4. ln(1+i) = k为整数.三、计算题1. 设z=x+iy，计算.解: = = 2. 设z = x+iy, 计算. 解: z = x+iy 3. 求方程的解.解: lnz = 由对数函数的定义有: Z= 所给方程的解为z = i4. 求方程的解.解: =根据指数函数的定义有:z=n2+i 或z=n(1+)四、证明题1. 试证: . 证明：根据正弦函数及余弦正数定义有： s

8、in2z=2sinzcosz2. 证明: . 证明: 令A= B=sinx+sin2x+sinnx = 第4章 解析函数的积分理论一、单项选择题1. ( D ) , c为起点在0 , 终点在1+i的直线段. (A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i)2. . (A) 0 (B) 10 (C) i (D) 3. (A) i (B) 10 (C) 10i (D) 04. =( A ). (A) (B) (C) (D) 二、填空题1. 若与沿曲线c可积，则.2. 设L为曲线c的长度, 若f(z)沿c可积, 且在c上满足,则.3. 4. 三、计算题1.计算积分,其中c为自0到2+i的直

9、线段. 解: c的方程为: 其次由得 = =2. 计算积分. 解: = 作区域D:积分途径在D内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D内,所以被积函数在D内解析.由定理4.2得:=03. 计算积分. 解: 奇点z=1和z=-1不在区域D,内 的三个根也不在D内 由定理4.2 得 =04. 计算积分, . 解: 由定理4.6得 四、证明题1. 计算积分，并由此证明. 证明：在圆域 |z|1内解析 = 另一方面,在圆|z|= =(实部和虚部为0) = = = = =0 而为偶函数0= = 复变函数课程作业参考解答3第5章 解析函数的幂级数表示一、单项选择题1. 幂级数的收敛半径等于( B ) ( A

10、 ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 32. 点z=-1是f(z)=r ( B )级零点. ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)53. 级数的收敛圆为( D ). (A) | z-1| 3 (B) |z|1 (D) |z| 14. 设f(z)在点a解析, 点b是f(z)的奇点中离点a最近的奇点,于是,使f(z)=成立的收敛圆的半径等于( C ). (A) a+b+1 (B) b-a+1(C) |a-b| (D) |a+b|二、填空题1.级数1+z+的收敛圆R=+即整个复平面2.若f(z)= (k为常数),则z=m(m=0, )为f(z)的 1 级零点. 3.幂有数的收敛半径等于

11、0 . 4.z=0是f(z)=ez-1的 1 级零点. 三、计算题 1.将函数f(z)=在点z=0展开幂级数. 解: f(z)= =- 2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解：而(1-z)-1= = 3将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数. 解：f(z)=(z+2)-1= = 4将函数f(z)=ez在点z=1展开成幂级数. 解： f(z)=ez f(n)=ez 四、证明题 1证明:1-ei2z=-2isinzeiz 证：eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinz eiz-e-iz=2isinz -2isinz=-( eiz-e-iz) =

12、eiz-e-iz -2isinz eiz=( e-iz- eiz) eiz =e0- e2iz=1- e2iz2试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos2z-sin2z 证f1(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析设f2(z)coszsin2，则f2(z)也在整个复平面G解析取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z)由解析函数唯一性定理,由以上三条知f1(z)= f2(z) 成立即cos2z= cos2z-sin2z 第6章 解析函数的罗朗级数表示 一、单项选择题 1函数f(z)=在点z=2的去心邻域

13、( D ) 内可展成罗朗级数. (A) 0 (B) 0 (C) 1 (D) 0 2设点为f(z)的孤立奇点，若=c，则点为f(z)的( C ). (A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点 3若点为函数f(z)的孤立奇点，则点为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) f(z)=c() (B) f(z)= (C) f(z)=c() (D) f(z)= 4若点为函数f(z)的孤立奇点，则点为f(z)的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A) f(z)= c() (B) f(z)不存在 (C) f(z)=c() (D) f(Z)= 二、填空题 1设为函数f(z)在点的罗朗级数,称为该级数的主要部分. 2.设点为函数f(z)的奇点,若f(z)在点的某个 某个去心邻域内解析,则称点为f(z)的孤立奇点. 3.若f(z)=，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= 则z=0为f(z)的一个极点. 4.若f(z)=(sin)-1,则点z0为f(z)非孤立 奇点. 三、计算题1将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.解: f(z)=- =- 2将函数f(z)在点的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)= 3试求函数f(z)=z-3sinz3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 解析,无奇点,f(z)的