2007年大学天文学课程彭云

1、1 / 11日地系统中点的位置及其性分析彭云（061242025），南京大学（061242022）学院 06 理强摘要：在日地系统中，地球太阳做近似圆周公转，系统五个固定的特殊的点，即动，在由于点。处在点上质量可忽略的物体受太阳和地球的引力作用而做圆运过程中，该物体的位置相对太阳和地球不变，且其周期与地球公转周期相同。点能提供不受干扰的观测环境，天文学家经常将人造、飞船等发送到这些点上以做宇宙观测。而处在 L4 , L5 上的小行星也引起了许多天文学家的关注。本文通过平面几何的证明，力学中的有心力知识，矩阵的特征值特征向量等的数学计算得出日地系统点 L1 , L2 , L3 , L4 , L5

2、 的位置。 L1 , L2 , L3 位于每个时刻地球公转轨道地球和太阳中的6所确定的直径上： L1 , L2 均距地球1.510 km ， L1 在地球和太阳之间， L2 在地球背的那一侧， L3 的位置和地球所在位置关于太阳对称。以地球和太阳为等边可作两个等边三角形，L4 , L5 分别位于两等边三角形的顶点上。物体在 L1 , L2 , L3 的任一点上不平衡，在 L4 , L5 的任一点上关键字：平衡。点，日地系统，性，计算2 / 11I引言1772 年，法国数学家、物理学家在研究著名的三体问题时，发现结果中有趣的突然弯曲。起先，他试图用简单的力学的计算系统中任意数量的物体之间的引力相

3、互作用。但是力学结论用于一体系统中的物体由于其没有其他物体的作用力所以容易解决，而用于二两体时，它们的轨道中心即为质心，因此也能用基础的数学解决。当涉及到三体问题时，数学计算就变得十分复杂了，讨论这类问题时，必须讨论在轨道上任意两个物体组合的每一个引力相互作用。引入广义坐标的概念，运用原理，得到了和第二价的方程，使轨迹的求解大大简化。运用他的新系统，建立随较大质量物体旋转的广义坐标系，他得出假说：具有可忽略质量的第三个物体两个较大物体做轨道为近圆的，并且他发现五个特殊的固定点，当物体处于这五个点上的任一点时，较大物体点做圆，除向心力之外不受外力。这五个点即称为点。在上的物体的当将是“圆时，周期

4、和两个较重物体的周期相同。轨道推广为椭圆轨道时，系统中就不固定的点了，而轨道为椭域”。每一时刻的点不同，当两个大天体的点的轨迹也为椭圆，和大天体的轨道相似。此结论可由第二urdP 定律得出（ F =）。并且在dt点上的物体和两个较重物体的周期相等这一结论仍然成立。在此我们仅讨论轨道为圆轨道的情况。在日地系统中，地球太阳做半径为 R = 1.5108 km 的圆周，其中也五个点，分别为 L1 , L2 , L3 , L4 , L5 。点的位置II计算符号定义：M1 ：太阳质量；M 2 ：地球质量；R ：日地距离；r ：点距离地球的距离。首先分析那些情况下会出现所谓的点：一在M1M 2 直线上，可

5、以找到一些点，使得它们所受的合力正好可以作为他们绕质心的向心力。二若不在M1M 2 直线上，可以想象若两质点对某一物体的合力指向两质点3 / 11的质心，则也有可能出现某点使得其所受合力能作为向心力。总而言之，出现好可以作为向心力。计算寻找这样的情况：点需要两个条件：一是合力指向质心，二是大小正M1M 2a =, b =设M + MM + M1212以 M1 为坐标原点, M1 , M 2 连线作为 x 轴（i）.对于第一种情况求 L1 , L2 , L3 的位置三种点其实是一种情况的三个方面，可分别列出式子得：w = wM2w (r + k bR) = G(M / r2 + k M/(R +

6、 k r)2 )(2)211322wMR = GM / R(3)2221其中,当：k1 = -1 k2 = -1 k3 = -1便指代着第一种情况,即 L1 ;当:k1 = -1 k2 = -1 k3 = 1便指代着第二种情况,即 L2 ;当:k1 = 1k2 = 1k3 = 1便指代着第三种情况,即 L3 。4 / 11解该方程组:将(2)式除以(3)式得:(r + k bR)GM / R2 = GR(M / r 2 + k M/(R + k r)2 )111322该方程为五阶方程,无解,但考虑到问题中所涉及得限制性双星的一个特性为 M 2 = M1 我们可以很简单的取小量线性化,对(2)式

7、小量展开,将 k1bR作为小量,我们两个点得:r = R1-a + b3（在日地系统中r = 1.510 km ）6L1 :3r = R1+a + b36（在日地系统中r = 1.510 km ）L2 :3M 2 看作小量,然后,三个点得位置: r = R(2 -17b /12)(在 M1 的另一边)。L3这样,我们已经把第一种情形(即在 M1 , M 2 连线上或其反向延长线上)的三点的位置。个（ii）.对于第二种情况求 L4 , L5 的位置我们必须要考虑其向心力与其合力平衡,首先我们可以证明:要使两质点对试探质点的合力指向质心,则该试探质点一定在两质点的中垂线上。因此,我们只要计算它离中

8、垂线的距离.设为 y则由方程:R2 / 4 + y211w 2(-) = 0(R / 2 - bR)2+ y2 )3/ 2R3R我们得到:1R31-= 0(R / 2 - bR)2+ y2 )3/ 2将 b 看作小量,:3 Ry =.25 / 11将全部情况绘出图,假设 M 2 = M1 ,我们得到:注:大圈表示 M1（在日地系统中表示太阳）,小圈表示 M2（在日地系统中表示地球）。III点的性对 L1 :可以得到在 L1 点附近领域内,径向受力与半径的:F (r) / m = G(M1 / r+ M/(r - R) ) = r& + w (r - bR)2222r = R1-a + b&r&

9、 = 03上式在时,3现设 r = r + Dr2GM1Dr + D&r& = 0 ,为一带入上式,线性化展开得,解,r3但是,需要考虑到,径向得变动回产生切向的周期的改变,从而导致产生切向6 / 11的相对,解该需要使用矩阵的特征值法来解,我们查阅文献1,找到解该问题的工具。质点度为 2，在此取平面直角坐标系 x，y。设该质点的位置，速度都有一定的小变化Dx, Dy, Dvx , Dvy ，列出方程为：d dt d dtd dtd dtDx = DvxDy = Dvyd 2Ud 2UDy + 2wDvDv =effDx +effxydx2dxdyd 2Ud 2UeffeffDy - 2wDv

10、Dv =Dx +yxdy2dydx：其矩阵表Dx ddt00001001 Dx dDy Dy d 2Ud 2Udt2w = eff dx2 eff dxdy0 d DvDv xx dtDv22 dUeffdUeffy d-2w0dy2dydxDv dty解该矩阵的特征值便可求得所求问题。对 L1 和 L2d 2Ud 2Ud 2Ueff= 9w2 ,eff= 3w2 ,eff= 0;dx2dy2dydx所以求得特征值为l = w 1+ 2逃离量级 : elt7 2.5w 为实数，因此，可得为不平衡，1Neil J. Cornish. .7 / 11对 L3 ：d 2Ud 2Ud 2U7M= -3

11、w2 ,2 w2 ,effeff=eff= 0;dx2dy28Mdydx1求得特征值为：3M1l = w也为实数，故不。8M2对 L4 和 L5 ：情况是对称的，我们得出：d 2Ud 2Ud 2U393 3=w2 ,=w2 ,(a - b)w2 ;effeffeff=dx2带入dy24特征值：4dydx4l = i w2 -27(a - b)2 - 2312l = i w2 +27(a - b)2 - 2322当：1:.2 27(a - b)2 - 23时2 : .27(a - b)2 23l1 , l2 都为复数，则为M1 24.96M 2平衡，计算得IV在理解点的特征以及应用点的特征时，可

12、构建一个随系统旋转的广义坐标系，坐标系中物体所受的外力可看作由有效势提供，这种结构类似于天气图上显示的风速，即当相邻等有效势曲线距离最近时，外力最大，反之，距离最小时，外力最小。8 / 11等有效势曲线图2从等有效势曲线图上可知， L1 , L2 , L3 对应凹，而 L4 , L5 对应顶。把物体放置在 L1 , L2 , L3 上时，物体有不的离开正道的趋势，当置于 L4 , L5 上时，物体有下滑附近的由于的趋势，此时，科开始起作用，使物体能够在点轨道上。点相对较重天体的性，点是良观测点。从地球发射使之在 L1 的轨道上运行，由于相对太阳的位置不变且位于太阳与地球之间，可不受干扰地观察太

13、阳的情况。欧洲航天局和太空共同研制的无人太空飞船 SOHO（Solar And Heliospheric Observatory）在61995 年发射升空，于 L1 点上公转，距地球1.510 km 。在该点处，环绕太阳公转所需的向心力由太阳引力抵消地球引力产生，公转周期与地球相同。它的任务是观察太阳从内核到外冠以及太阳风的情况。SOHO 实际不是位L1 的位置，以3致地球中心与 SOHO 通讯会出现。同时，该轨道并不2这张图可用Java 程序画出，摘自 mm/ob techorbit1.html程序可见39 / 11SOHO 所拍的最新太阳46L2 距地球1.510 km ，具有观察天空的环

14、境，因为在 L2 上探测器能总是指向背年，地球和月球的方向，使之具有观察外层空间的视野。2001太空发射了一颗人造宇宙飞船 WMAP(The Wilkinson MicrowaveAnisotropy Probe)，使其在 L2 的轨道上辐射以及暗物质、暗能量。由于它的。它的科学使命是研究宇宙微波背景分辨率和灵敏性，WMAP 能绘制整个天空中角分辨率至少为0.3 、灵敏度为每0.3 平方像素20mK 的相对 CMB 温度图。5相对于地球，L3 一直躲藏在太阳的背面，相对其他点更神秘，人们不知道在 L3 上是否有星球，更没有把或飞船发射到 L3 上。L4 , L5 分别位于等边三角形的两个顶点上

15、。如果两个大天体质量比大于24.96，则 L4 , L5 处的轨道。由于木星中的三大小行星“Agamemnon”“Achilles”和“Hector”，处在 L4 , L5 的天体被称为“Trojan”。在太阳系中有很多 Trojan 小行星，其中很多处在木星轨道上，其他的处在火星轨道上。在日地系统的 Trojan 点上至今尚未发现较大的小行星。最近，COBE(CosmicBackground Explore)人造证实了早期IRAS 探测器观察到的地球公转轨道上的尘埃环，它的与 Trojan 点相关。6V结论点 L1 , L2 , L3 , L4 , L5 。处在在在日地系统中五个点上的质量可忽略的物体受太阳和地球的引力作用而做圆。在过程中，该物体的4 171/512/56 mm/ob techorbit.html mm/ob techorbit1.html10 / 11位置相对太阳和地球不变，且其周期与地球公转周期相同。L1 , L2 , L3 位于每6个时刻地球公转轨道地球和太阳所确定的直径上：L1 , L2 均距地球1.510 km ，L1在地球和太阳之间， L2 在地球背的那一侧， L3 的位置和地球所在位置关于太阳对称。以地球和太阳为等边可作两个等边三角形， L4 , L5 分别位于两等边三角形的顶点上。物体在 L1 , L2 ,