波动率系列研究之一你所不完全了解的隐含

1、你所全了解的隐含波动率波动率系列研究之一证券分析师A02305130400022014.2主要内容1.波动率指数背后的故事两种隐含波动率2.VIX指数和无模型隐含波动率的3.主要波动率指数的及在投资中的应用2申万研究1.1波动率的图波动率市场价格用标的价格计算隐含波动率真实波动率BS隐含波动率无模型隐含波动率历史波动率未来实现波动率3申万研究价格反映标的未来波动率的预期BS公式一系列价格1.2BS隐含波动率nBS隐含波动率：根据BS定价模型用计算价格反推波动率BS隐含波动率是投资者对未来一段时期内标的资产波动率的预期如果市场是有效的，则BS隐含波动率应该包含历史波动率的因此相对于历史波动率BS

2、隐含波动率是对未来已实现波动率的更nBS隐含波动率的局限理论上讲：BS隐含波动率来自BS公式，必然模型误差实际上讲：不同执行价格的其隐含波动率是不同的（波动率微笑）4申万研究1.3无模型隐含波动率n无模型隐含波动率（MF, M)无模型隐含波动率是指，资产在未来一段时间上的波动率可以用一系列价格来表示，不需要借助具体的率。定价公式来反推，因此称为“无模型”隐含波动无模型隐含波动率由Britten-Jones 和Neuberger提出*，在扩散过程的假设下推导出资产在未来一段时间的方差的期望（风险中性测度下）等于一系列看涨价格的函数：C (T , K )- max(0, F - K )Fé

3、;ëVdtù = 2¥TEòò00dK（1）û0K 20注：V是率的方差；E(×)风险中性测度下的期望；F0资产远期价格；CF (T , K )到期日为T、执行价格为K的看涨远期价格。公式含义：资产在未来一段时间的率方差的期望可以用一系列执行价格的同执行价格平方的倒数期限看涨，而权重是每个* Britten-Jones, M., and A. Neuberger, 2000, “Option Volatility” Journal of Finance, 55, 839-866.Prices, Implied Price P

4、rocesses, and Stochastic5申万研究1.4无模型隐含波动率的理解（1）n可以从方差互换定价的角度来理解MF隐含波动率什么是方差互换：未来一段时期内标的资产率的真实方差和名义方差的互换如何给方差互换定价：用来未来一段时期内资产方差的风险图1：的方差敏感度和资产价格的n 单个的风险既来自波动率也来自标的资产价格n用对方差的敏感来表示对波动率的风险n 用公式表示：V = ¶CBS / ¶s2CBS：BS公式计算的看涨价格；s ：方差2n 看涨的方差敏感度会随着资产价格的变化而变化n 图1表明：（K：执行价格）图2：加权方差敏感度和资产价格的（1）当是平价的时

5、候，敏感度最大（2）随着资产价格偏离执行价格敏感度迅速下降n 图2表明：（1）以1/ K 2 为权重加权各个执行价格的敏感度（2）在执行价格之间的加权敏感度和资产价格无关n 以1/ K 2为权重加权每个执行价格的看涨，可以使得风险只与波动率有关6申万研究加权敏感度方差敏感度6166717681869196101106111116121126131136141146112233445566778891001111221331441551661771881990.0250.020.0150.010.0050资产价格加权敏感度403020100标的证券价格V(K=80)V(K=100)V(K=120

6、)1.5无模型隐含波动率的理解（2）n在方差互换定价中，发现不需要借助BS公式也能为方差互换的合理行权价进行定价- 2 é Fù + 2 éùúû( )=ln2F11S *K =0ep(K )¥ec(K )òòK =S * K 2-1dK +00RTRTE0 VdKêë S *úûêS *2TTTëK（2）TòV是平均方差，V T =Vdt0S *是表的资产的任意价格nBritten-Jones 和Neuberger在资产价格的学上严谨

7、地证明了等式（1）扩散过程假设下，从数后面一些研究表明，即使资产价格带有跳跃，公式（1）也是成立的公式（1）和（2）是等价的，具体证明见附录。后面将 大多数波动率指数编制的基础公式，公式（2）是VIX等7申万研究1.6BS隐含波动率和MF隐含波动率的能力比较n从直觉上讲，如果市场是有效的那么力排序应该是：MF隐含波动率>BS隐含波动率>历史波动率量排序也是：MF>BS>历史包含的1.隐含波动率反映市场参与者对证券未来波动性的预期；MF隐含波动率包含了所有执行价格的2.MFBS历史所反映的；3.BS隐含波动率的有效性还要受模型自身误差的影响。n来自的结果市场的研究表明，M

8、F隐含波动率能更有效地预比较近期的指数测未来已实现波动率市场的研究表明，MF隐含波动率包含了比BS隐含波动率对恒生指数的8申万研究主要内容1.波动率指数背后的故事两种隐含波动率2.VIX指数和无模型隐含波动率的3.主要波动率指数的及在投资中的应用9申万研究2.1.1 VIX也是MF隐含波动率nVIX的前世今生 VIX是CBOE于1993年开始编制的波动率指数，用S&P100指数平价的隐含波动率来编制（该隐含波动率采用二项式定价模型倒推）。 2003年VIX编制改进，采用无模型隐含波动率的计算机制，并用S&P500指数期权的价格来计算隐含波动率。nVIX的计算公式ù21

9、 é F 2DKåieQ(Ki )s =T2RT-êTK-1úiK 2ë0ûis：F：波动标准差，VIX = s ´100价格计算的指数远期价格K0：第一个低于F的执行价格执行价格；当Ki > K0取看涨；Ki < K0取看跌；Ki = K0看涨看跌均取Ki：第i个价外Q(Ki )：执行价格为Ki的R：无风险利率价格申万研究102.1.2 VIX也是MF隐含波动率n用Britten-Jones 和Neuberger直接编制波动率指数有两个问题C (T , K )- max(0, F - K )FE0 é

10、Vdtù = 2¥Tòò0V是率的方差（1）0dKêúûëK 20在实际市场中，执行价格不可能连续并且执行价格的范围比较有限。对应的解决办法是将积分离散化，变积分为求和。价内来讲成交量很小，不一定能较好反映市场。对应的解决办法是都采用价外或平价。，这就需要将执行价格小于标的当前价格的看涨换为看跌n用看涨和看跌表示的MF隐含波动率( )=2TF- 2 é Fù + 2 é11ùúûS *ep(K )¥ec(K )Tòòò

11、;-1RTdK +RTV是平均方差，V T =VdtE0 Vln 00 dK（2）S *êë S *úûT êëK =0 K 2K =S * K 2T0S *是表的资产的任意价格适当地选取 可以使得选用的S *均为价外或平价的由公式（2）到VIX计算公式的推导见附录申万研究112.2 VIX所表示的隐含波动率可能的误差n截距误差和间距误差场内的标准化在合约挂牌上都有一定的规则，价内和价外的挂牌数量和执行价格间距是有限的，所以的执行价格不可能从0至无限大，这样用有限的计算的波动率就截距误差。理论上MF隐含波动率需要在执行价格上连续求和（

12、积分），但实际的合约执行合约的执行价格间距为50个点。价格间距必然是的，例如中金所股指因此VIX计算得出的结果间距误差。对于这两类误差，在理论上可以通过插值的解决部分问题，也有很多研究讨论过插值的最优数量。这一切的目前在 反映投资者对未来资产波动率的预期。通过实际可观察的价格更加精确地申万研究12主要内容1.波动率指数背后的故事两种隐含波动率2.VIX指数和无模型隐含波动率的3.主要波动率指数的及在投资中的应用申万研究133.1波动率指数简介nCBOE的波动率指数系列以VIX为代表的波动率指数是是基于价格计算的隐含波动率指数波动率指数代表了投资者对波动率的预期例如：VIX为市场提供未来30天S

13、&P500指数的波动率预期表1：和主要的波动率指数CBOE主要波动率指数指数名称The CBOE Volatility IndexCBOE Short-Term Volatility Index CBOE 3-Month Volatility Index指数代码VIX VXST VXVVXAPL、VXAZN、VXGS、VXGOG、VX指数简介基于S&P500指数基于S&P500指数基于S&P500指数价格，提供未来30日的指数波动率预期价格，提供未来9日的指数波动率预期价格，提供未来3的指数波动率预期CBOE Equity Volatility Indexes基

14、于个股价格，提供未来个股波动率的预期CBOE Volatility Indexes for Options on ETPs EVZ、GVZ、OVX 基于ETP价格，提供ETP未来的波动率预期恒生波幅指数VHSI基于恒生指数价格，提供未来30日恒生指数的波动率预期资料来源：申万研究申万研究14市场的波动率指数3.2波动率指数的一些特性n波动率指数和指数走势总体呈负相关对负相关的解释主要有：市场下跌的时候人们会更愿意买来对冲风险，使得隐含波动率上升需要注意的是负相关性并不是恒成立的波动率变化具有非对称性，上升速度周期很短，下降的周期较长图4：S&P500日率和VIX日率指数负相关图3：S&

15、amp;P500和VIX走势总体呈负相关资料来源：申万研究 注：数据日期03年至今，相数为-0.745资料来源：申万研究申万研究1503/1/203/7/1604/1/2704/8/905/2/1705/8/3006/3/1406/9/2207/4/907/10/1708/4/3008/11/709/5/2209/12/210/6/1610/12/2711/7/812/1/1912/7/3113/2/1313/8/26-0.00.050.10.15-0.4VIX daily return0.60.40.2015-0.1-0.05-0.220007818006816005814004812003

16、8100028800186008SPX收盘价VIX收盘价（右）3.3基于波动率指数的投资策略n可以利用波动率指数的特性构建一些策略波动率，例如VIX和HSVI都有相应的期货直接利用波动率指数构建择时指标将波动率作为一类资产配置在投资组合中，由于波动率和资产价格的负相关性，可以对冲风险，平滑组合申万研究163.4同时做多指数和波动率的策略n同时做多S&P500和VIX图5：在从下跌到上涨周期中的策略表现图6：在平衡或慢牛行情中的策略表现15.00%20.00%0.00%-20.00%-40.00%-60.00%-80.00%-100.00%总体来讲，用波动率指数对冲资10.00%5.00

17、%产的策略在0.00%熊市中比较实用。例如：在08年金-5.00%-10.00%融的时候标SPX累计组合累计SPX累计组合累计普500指数跌至840点时，VIX上升至历史最高点80点。图7：在熊市行情中的策略表现图8：在牛市行情中的策略表现20.00%0.00%-20.00%-40.00%-60.00%-80.00%-100.00%45.00%40.00%35.00%30.00%25.00%20.00%15.00%10.00%5.00%0.00%-5.00%SPX累计组合累计SPX累计组合累计资料来源：申万研究 注：按0.95:0.05的比例投资于标普500和VIX，假设投资于VIX指数期货或

18、者指数的杠杆倍数为4倍申万研究1712/1/312/2/812/3/1512/4/2012/5/2512/7/212/8/712/9/1212/10/1712/11/2613/1/213/2/713/3/1513/4/2213/5/2813/7/213/8/713/9/1213/10/1713/11/2113/12/3004/1/204/2/1004/3/1804/4/2604/6/204/7/1204/8/1704/9/2304/10/2904/12/705/1/1305/2/2205/3/3105/5/605/6/1405/7/2105/8/2605/10/405/11/905/12/16

19、07/10/107/11/2908/1/3108/4/208/6/208/7/3108/9/3008/11/2809/1/3009/4/109/6/209/7/3109/9/3009/11/3010/2/110/4/110/6/210/8/210/9/3010/11/3007/10/107/10/3007/11/2907/12/3108/1/3108/3/308/4/208/5/108/6/208/7/108/7/3108/8/2908/9/3008/10/2908/11/2808/12/3009/1/3009/3/309/4/109/5/1附录证明公式（1）和（2）是等价的证明：S 是资产任

20、意一个价格，现假设S > F ，（1）可以写成：*0ec(K )- F + KS * eRT c(K )¥ eRT c(K )RTF2òdK + 2òò0dK + 20dK222KK*K0F0S根据看涨看跌平价公式ec(K )+ K = ep(K )+ F ，将上面等式中前两项的看涨RTRT换为看跌期权00 ec(K )- F + KF0 eRT p(K )RTF2òdK = 2ò0dK22KK00S * eRT c(K )ep(K )+ F - KS * eRT p(K )éùRTæ Fö

21、;F*S2òdK = 2òdK = 2êln 0 - ç-1÷ + ò0dk úK 2K 2S *è S *K 2øF0F0ëF0ûS * < F 的情形可类似证明，推导过程均可逆，所以（1）和（2）等价。0公式（2）如何导出VIX计算公式将公式（2）中的S* 取第一个小于F0 的执行价格 K，0这样可以保证执行价格小于K0 的看是价外，大于K0 的看涨也是价外，等于 K0 的看涨和看跌是平价。将（2）中的积分离散化变为求和公式，并将 lnF 0/ K0用公式展开，只取到2阶项。

22、经过这样的处理公式（2）就变为了VIX的计算公式申万研究18披露证券分析师承诺本报告署名分析师具有证券业授予的证券投资咨询执业资格并为证券分析师，以勤勉的职业态度、专业审慎的研究，使用合法合规的，、客观地出具本报告,并对内容和观点负责。本人不，不因，也将因本报告中的具体推荐意见或观点而直接或间接收到的补偿。与公司有关的本公司经披露证券监督管理委员会核准，取得证券投资咨询业务，资格编号为：ZX0065。发布证券研究报告，是证券投资咨询业务的一种基本形式，本公司可以对证券及证券相关的价值、市场走势或者相关影响因素进行分析，形成证券估值、投资评级等投资分析意见，制作证券研究报告，并向本公司的客户发布

23、。本公司在知晓范围内履行披露义务。客户可通过compliance索取有关披露资料或登录披露栏目从业资质情况、静默期安排及关联公司持股情况。本公司不持有或股票及其衍生品，在法律情况下可能为或争取为本报告提到的公司提供财务顾问服务；本公司关联机构在法律情况下可能持有或本报告提到的上市公司所的证券或投资标的，持有比例可能超过已的1%，还可能为或争取为这些公司提供投资银行服务。本公司在知晓范围内履行披露义务。客户可通过compliance索取有关披露资料或登录披露栏目。客户应全面理解本报告结尾处的"法律"。法律本报告上海申银万国（以下撰写，但本公司不保证该等“本公司”）的客户使用。本公司因接收人收到本报告而视其为客户。本报告是基于已的准确性或完整性。本报告所载的资料、工具、意见及推测只提供给客户作参考之用，并非作为或被视为出售或购买证券或其他投资标的的邀请或