分数阶微积分的探讨

1、湖北大学本科毕业论文（设计）目 录绪论.11 分数阶微分的基本理论.11.1 分数阶微积分.21.2 分数阶微积分的定义.31.3 分数阶微积分的性质.51.4 各种定义之间的联系与区别.61.5 一些初等函数的分数阶微积分.81.6 分数阶微积分的物理意义.101.7 分数阶微积分在自然中的存在.112 分数阶微积分的应用.122.1 医学图像处理.122.2 天气和气候的研究.132.3 地震奇异性分析.14参考文献.15致谢.16分数阶微积分及其应用摘 要分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其概念早已提出，近300年来，分数阶微积分这一重要数学分支渐成体系，它是研究分形分析的重要工具被应

2、用于许多工程计算中。本文给出了分数阶微积分的一些性质及其推导过程，并给出一些初等函数的分数阶微积分,及其应用。【关键词】分数阶微积分 分数阶微分 分数阶积分 图像增强 模板 应用Fractional calculus and its applicationsAbstractFractional Calculus as extention of integral calculus, its concept has long been proposed, for nearly 300 years, fractional calculus of this important branch of ma

3、thematics that had gradually become the system , it is the study of fractal analysis tools are used in many engineering calculations .in his paper, some properties of the fractional calculus and the derivation process of the fractional calculus are given, Besides some elementary functions of fractio

4、nal calculus and its applications.【Key Words】Fractional Calculus Fractional derivatives Fractional integrals image enhancement applications1湖北大学本科毕业论文（设计）绪论分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。分数阶微积分(Fractional Calculus)是相对传统意义上的整数阶微积分提出来的。普通的微积分运算，如一阶微分、二阶微分、一阶积分、高阶积分等都是在积分运算次数为整数情况下的微积分运算，而分数

5、阶微分，顾名思义，就是将通常意义下的整数阶微积分运算推广到运算阶次为分数的情况。例如：对xn求1/2阶导数; 分数阶微积分就可以看作是整数阶微积分运算的推广。值得注意的是，其实将上述这种非整数阶的微积分称之为“分数阶微积分”或“分数阶演算”是一种不严格的命名，其中的“分数”是一个不准确的归类。因为指数v可以被推广到有理分数、无理数甚至复数，所以从严格数学意义上讲，它应该被称为“非整数阶微积分”或“非整数阶演算”。但是由于历史的原因，“分数阶微积分”或“分数阶演算”的命名己经成为习惯用法。分数阶微积分的概念虽然早就提出来了，但是由于对分数阶微分方程的求解缺乏相应的数学工具，所以它在工程中的应用一

6、直到上世纪后期才有研究。实际系统中有许多是分数阶的而不是整数阶的，之所以将它们作为整数阶系统来考虑是由于其复杂性。然而随着分数阶微积分理论的发展，对于分数阶微积分在实际系统中的应用开始了研究。分数阶微积分是一个古老而新鲜的概念。早在整数阶微积分创立的初期，就有一些数学家，如Lhospital、Leibniz等开始考虑它的含义。然而，由于缺乏应用背景支撑等多方面的原因，它长期以来并没有得到较多的关注和研究。随着自然科学和社会科学的发展、复杂工程应用需求的增加，尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注。进入21世纪以来，分数阶微积分建模方

7、法和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一个热点。近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。特别是在信息科学领域中，一些新颖的应用被相继地实现，如系统建模、曲线拟合、信号滤波、模式识别、图像边界提取、系统辨识、系统稳

8、定性分析等等。 分数阶微积分的非局域性质，导致分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型，其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待进一步的深入研究。同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效，并不具有普适性。因而长时间历程问题的解决任重道远。在原有算法基础上开发出时间空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。一种数学工具要在工程中有广泛的应用，那么就必须有成熟的算法与软件，像有限元的计算模拟软件就有很多，所以有限元才能在工程界有如此广

9、泛的应用。分数阶导数的定义还不完善，现在分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受的定义。1 分数阶微分的基本理论1.1 分数阶微分目前通常使用的分数阶微积分记法是： 如果对于自变量为 x的函数 y = f ( x)，自变量取值范围为( a , b )区间，在该区间上，对函数 f ( x )的v阶分数阶微积分记为：其中微积分阶次v是分数，若 v > 0,v R则称为分数阶微分。如果v< 0, 则称为分数阶积分。对于连续函数,依据整数阶导数的定义，它的一阶导数定义为： （1.1）依据相同的定义，可以推出二阶导数的定义式： （1.2）根据（1.1）和（1.2）我们得

10、知：更一般的，n阶导数的一般定义可以记为：，其中为二项式系数，现在，让我们考虑一般化分数阶在表达式中的情况：公式中：p,n是两个任意的整数。显然对于pn,我们有 ，因为在这种情况下，开始的分子中所有的系数在p之后都等于零。让我们考虑p为负值的情况。为方便起见，我们定义为：因此我们有如果用-p代替p可以写作：，其中p是一个正整数。如果n是一个固定的数，那么当h0时，的极限趋近于零。当时，为了渠到一个非零的极限，我们必须假设n，我们可以令h=(t-a)/n，其中a是一个实常数，并且考虑到的极限可能为无限或有限值，我们可以表示为：我们可以推导出一般的表达式为：=1.2分数阶微积分的定义当分数阶微积分

11、阶次v取自然数n时(n Z)，即v = n时，表示为通常意义下的整数阶微分；v = n时表示整数阶积分。由此可见，分数阶微积分是整数阶微积分的推广，整数阶微积分可以看成是分数阶微积分的特例。在分数阶微积分理论发展过程中，出现了很多种函数的分数阶微积分的定义，如由整数阶微积分直接扩展而来的 Cauchy 积分公式，Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义、Riemann-Liouville 分数阶微积分定义以及 Caputo 定义等。关于分数阶导数的定义，许多数学家各自从不同角度入手，给分数阶导数分别以不同的定义。其定义的合理性与科学性已在实践中得以检验。这个数学分支的发展已

12、在实际问题中，得到了广泛的应用。本文这部分重点将分析各种不同的定义，也说明各种定义之间的区别与联系。1.2.1 Cauchy 积分公式该公式由整数积分直接扩展而来其中为包含 单值和解析开区域的光滑曲线， (+ 1)为 Gamma 函数，它也是第二类欧拉积分，在分数阶微积分的运算中有着非常重要的作用。完全的函数是以Euler极限的形式给出，如下面所示：常用的函数的形式是积分变换形式： 1.2.2 Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义 =1.2.3 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义=0 << 1，且为初值，特别地，D左右侧的下标分别表示积分的下、上界

13、限。还可以定义出分数阶微分，假设分数阶 n 1< n，则定义其分数阶微分为1.2.4 Caputo 分数阶微分定义其中，m 为整数，0 < v< 1。类似地，Caputo 分数阶积分定义为，<0对很广一类实际函数来说，Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义及 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义是完全等效的，1.3 分数阶微积分的性质对上述所有分数阶微积分的定义形式，都有如下几条共同性质:(1) 解析函数的分数阶导数对和都是解析的。(2) =为整数时，分数阶微分与整数阶微分与整数阶微分的值完全一样，且 =。(3) ，1为整数时，=0 .(4

14、) 分数阶微积分算子是线性的，亦即对任意常数 x,y，有 . （5） 分数阶微积分算子满足交换律 .（6） 当N>0且N为整数，为分数时 . （7），且，则 .证明：（2）当=为整数时，明显可得分数阶微分与整数阶微分与整数阶微分的值完全一样；相当于整数阶微积分，也就相当于没有做运算，所以依然等于，（也可根据定义式带入求解）.（3） ， . （4）由的微分算子是线性的，即有= = . （5）由定义易得知. （6）令且为大于的最小整数则 ，即证. （7） .1.4 各种定义之间的联系与区别从最初提出分数阶微积分的概念开始，许多数学家从不同的分析角度入手，结合实际问题的应用，分别给出了分数阶微

15、积分的不同定义，这就是目前对于分数阶微积分存在多个运算定义的原因。在这众多的定义之间，存在着一定的区别和联系，或者在某些条件下它们之间可以进行相互转换。目前最为常用的分数阶微积分定义应当是 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义。用Grunwald-Letnikov分数阶导数定义分数阶向后分差2是不方便的。计算得到的表达式中因为有整数的原因，所以表面上看是比较好一些；单对于非整数的情况显然不适合计算。因为其表达式中所要求的函数必须是m次以上连续可微，其所能表达的分数阶导数的定义也包含在Riemann-Liouville 分数阶微积分定时的使用情况之中。因此， 因此，如果我们考虑函

16、数，当t>0时，才在m+1阶可微且连续，那么Grunwald-Letnikov分数阶导数定义：又因为 =由 ，可得 =由上式可知，对于整数阶微积分运算，即微积分阶次v = n Z时，Riemann-Liouville(R-L) 定义与 Grünwald-Letnikov(G-L) 定义计算所得到的结果一致。对于运算阶次为分数阶 v ( n 1 < v < n)时，在假设函数 f ( x )满足具有 m+ 1阶连续导数，并且m 至少取 m = n 1的条件下，Grünwald-Letnikov 定义与 Riemann-Liouville 定义等价。但他们在相

17、当广的一类函数中还是相等的，Riemann-Liouville 分数阶微积分定义是Grunwald-Letnikov分数阶微积分定义的推广而Caputo 分数阶微分定义：=（），式子中n为大于a的最小正整数：为函数的阶导数。将其与Riemann-Liouville分数阶定义相比，Caputo定义将函数的整数阶导数的运算转移到了积分内部，改为对的求导，运用分部积分公式，可以转变为如下形式： 其式子的右端第一项为整数阶导数的初始条件，这在某一方面就增加了定义式的适用性。因此它在物理学的流体学和力学中对于问题的求解相比其他定义而言比较方便。当时，及分数阶导数靠近整数阶导数： （n为自然数）比较Cap

18、uto定义式子与Riemann-Liouville定义式，两式的区别在于对微分与积分顺序的不同，前面是积分在内而后面则是积分在外。从对函数的要求来看，Caputo定义式的更严格，它需要函数n阶可微。与Grunwald-Letnikov定义扩展到Riemann-Liouville定义的思维方式相似，Caputo定义也是对Grunwald-Letnikov定义的另一种改进。对于函数的正的非整数阶导数，先进行阶导数，再进行阶积分。前者对常数的求导是有界的(为 0)，而后者求导是无界的，Caputo 定义更适用于分数阶微分方程初值问题的描述。Caputo定义式最主要的优点是分数阶微分方程的初始条件，对

19、Caputo定义采取了与整数阶微分方程一样的形式，加强了在端点值时的限制。1.5 一些初等函数的分数阶微积分（i）常数C 的分数阶微积分： (ii) 指数函数ex的分数阶微积分:(iii) (A)正弦函数的分数阶微积分: (B)余弦函数的分数阶微积分:明显，当上面几个式子中的p为整数时，其积分结果可验证与整数阶微积分结果相同，只是积分的下界不一致。表1-5-1是一些函数半阶导数和半阶积分半阶积分函数半阶微分表 1-5-11.6 分数阶微积分的物理意义对于整数阶微积分理论而言，有着明确的物理意义与几何意义解释，然而对于分数阶微积分，目前仍然没能找到一种明确的物理与几何解释。分数阶微积分缺少物理与

20、几何意义的解释这个问题从一开始就被人们所注意，直到 1974 年在美国 New Haven 召开的第一届分数阶微积分国际会议上再次被人们提出，随后的多次国际会议也被提出进行讨论，仍然没能得到满意的结果。许多科学家分别从不同的角度，对该问题进行了深入探讨研究，取得了众多的研究结果，对于分数阶微积分的物理与几何意义做出了部分解释。但是多数解释是从一些分数阶微积分特例中得到，普适性不强，并不能很好地完全解释分数阶微积分的物理意义与几何意义。该问题仍然是一个亟待解决的富有挑战性的问题。以下将介绍一种关于分数阶微积分物理意义与几何意义解释，该观点是Igor Podlubny 教授在 2001 年提出的。

21、其解释是基于多种分数阶微积分定义所做出，其中也包括了 Riemann-Liouville 分数阶微积分的定义，这里对该观点进行简单阐述。首先介绍两个不同的时间的概念：个人时间 和宇宙时间T 。宇宙时间是均匀的、等间隔的流逝的时间，也叫做绝对时间，记为T ，个人时间 是非均匀的时间。两种时间表示可以如图 所示： （i） 绝对时间T （ii）个人时间上图为两种时间示意图，图（i）为绝对时间，其每个时间间隔都是均匀的，等间隔流失的。图（ii）为个人时间，明显可看出每个时间间隔是非均匀的。可以这样理解，如果有某个观测者甲对一运动物体进行观测，他使用时钟进行记时，但是这个时钟由于某种故障而越走越慢，每个

22、时间间隔都比上一个时间间隔要长，那么观测者 甲拥有一个自己并不知道的错误的计时时间 。另一个观测者乙同样对该运动的物体进行观测，但是他的时间是宇宙时间T ，每个时间间隔都是均匀的。两个时间的转换关系为。设观测者 甲(拥有个人时间)对运动物体测出的速度为 ，那么他将测出该运动物体运行的距离为：那么，对于同一个运动物体，观测者乙(拥有宇宙时间T )测出的该物体运动的距离为：实际上，该运动物体运动的距离应该是观测者B 测量出来的距离，即另外，考虑分数阶微积分的 Riemann-Liouville 分数阶积分定义： （1.6.1）如果将式中的函数 看作物体运动的速度，绝对时间T 与个人时间满足关系 T

23、 = 如式（1.6.1）所示中的函数看作物体运动的速度，绝对时间T 与个人时间 满足关系如式(1.6.1)所示。则 Riemann-Liouville 定义下的分数阶积分运算其物理意义就是：在个人时间测度上，所观测的运动物体以速度 实际走过的距离 ，记为：类似地对分数阶微分运算分析其物理意义，同样使用 Riemann-Liouville 分数阶微分定义。根据物体的运动速度是该物体移动距离的一阶导数关系，可得：也就是说，观测者乙测量到物体的速度就是函数的阶Riemann-Liouville 微分。这就是 Riemann-Liouville 定义下的分数阶微分运算的物理解释。1.7 分数阶微积分在

24、自然中的存在分数阶微积分现象在自然界中是存在的，比如生物的神经电脉冲信号等。能否找到自然界中的某种物质或材料，或者通过实际的电子电路实现分数阶微积分，一直是众多科研工作者研究的问题。能否在自然界中找到一种材料或器件，它的某种电气或物理特性与分数阶微积分特性相同，这样就可以利用该物质的这一特性进行分数阶微积分的有效运算，从而避免了较为繁琐的模拟或数字电路实现。另一方面，如果该材料存在，那么也能证明分数阶微积分确实蕴含在自然界中，人们有必要对分数阶微积分的独特特性进行深入研究和认识。如果自然界中确实存在着具有分数阶微积分特性的材料，那么同时也肯定了分数阶微积分的存在，其性质不同于通常的整数阶微积分

25、特性，如果此时仍使用整数阶微积分特性进行分析，是达不到预期效果的。2 分数阶微分的应用分数阶导数在很多领域都有应用，下面拿与生活联系比较紧密的气候研究、医学图像处理、地震分析为例进行进一步地阐述与说明。2.1 医学图像处理医学图像一般是指为了清楚地看到病人内部的局部器官病变情况而通过一定的设备仪器得到的图片，例如CT、B超等图片。由于设备，技术等方面的原因，得到的医学图像有可能模糊不清。图像的不清晰对临床诊断带来很大的麻烦。所以要考虑怎样处理，可以得到更清晰的医学图像。由于分数阶微分的阶数是可以连续变化的，因此在图像处理的过程中可以通过调节微分算子的阶数，在适当增加高频信息的同时又保留一定的低

26、频信息以达到图像增强的目的，这是整数阶微分算子不能实现的。图像增强的方法分为两大类：空域增强法和频域增强法。空域增强法是对图像的像素直接进行处理。频域增强法主要是将图像在频域里进行图像平滑和锐化滤波等，然后进行反变换以达到图像增强的方法。目前图像增强的算法主要有：直方图均衡化，直方图规定化，直方图映射变换灰度变换，邻域平均法，低通滤波法，多图像平均法，高通滤波法，微分锐化法和同态图像增强法。文中用的图像增强的方法属于空域中的微分增强法。从前面知道分数阶导数的G-L定义如式(1)。将一元函数的持续期按等间隔等分，由此可以推导出一元函数分数阶微分的差分表达式：+将一元的分数阶微积分的表达式推到二元

27、函数，令二元函数的分数阶微积分的表达式在x方向和y方向的形式如下：如此，由此式，可以得到作用到二维图像上的分数阶微积分在x,y方向的模板。为了可以简化运算，使得掩模操作更加方便，可以将x,y方向的模板叠加在一起，并且从模板中可看出，x,y的作用中心点并不一致，可以将作用点选作为模板中心，然后又考虑到倾斜方向上其他因素的影响，可以加上适当的系数，得到了新的微分模板。同此也可以得到分数阶积分的模板，显然a的值便变为负数。为了使处理之后的每个像素的灰度值不变化，一边保持原本图像的大概包络，将模板中的每个系数都除以4+2-6a。用模板对已有的图像进行滤波处理，令m(p,q)为模板中方位为（p，q）的元

28、素，f（x,y）是模板作用于图像的中心像素，f（x+p,y+q）是离中心f（x,y）距离（p，q）的点，将得到模板的映射规则：移动模板，使其可以作用到图片中的每一个元素，到达曾强图像的目的。当元素距离图片边缘小于两个点位的距离时，模板不能完全的覆盖到图片上，此时将其忽略，可以不进行运算。采用的微分阶数都是正数，图像的细节和边缘就变得更明显，原图比较模糊的地方得到了明显的改善，但是在当阶数大到一定程度时就会出现明显的锐化现象，图像质反而降低。由此可以看出，文中设计的微分增强掩模在阶数0.20.6时，增强效果比较明显。当微分阶数为负数的时候，设计的掩模就可以看成是积分掩模，其对图像具有平滑去噪的效

29、果，当获得的图像具有一定噪声的时候，就可以通过对负阶数的选取，从而得到去噪后的图像。下面分别运用空间滤波的分数阶微分算子(阶数=05)、巴特沃斯算子、拉普拉斯算子对人脑的CT图像进行增强，结果如图3所示。从图中的比较可以看出，经过拉普拉斯算子处理过的图像出现了明显的锐化现象，经过巴特沃斯滤波后图像增强效果并不理想，而通过设计的掩模对图像处理后明显对细节进行了加强，同时，可以根据不同需求，调节分数阶微分阶数以得到符合医学上面需要的图片。分数阶微分掩模有很好的图像增强功能，同时可以通过改变微分的阶数，来适当增强高频信息的同时保留一定的低频信息以满足不同的要求，需要注意的是，当微分阶数过大时将会出现

30、明显的锐化现象。与其它空间滤波算子的效果比较，可以看出，分数阶微分算子弥补了传统图像增强算子不能通过改变参数来得到连续变化的增强效果。当微分阶数为负数时，分数阶微分算子就成了分数阶积分算子，也可以通过调节积分阶数，以得到平滑效果不同的平滑图像，因此，该算子可以将分数阶微分和积分进行统一，在结构简单的同时也具有很强的灵活性。同时作为一个新兴的图像处理方法，分数阶微积分还具有更大的发展空间。2.2 天气和气候的研究我们都知道没有一天天气是一样的，而气候的预测也不可能提到日程上来研究。这说明天气和气候的研究是比较困难的。天气和气候虽然遵从流体力学规律，但是却显示出随机性，研究天气和气候之间的关系必须引入分数阶的导数和积分，从物理上讲不外乎说明天气和气候的随机程度是不相同的。为此提出气候的q(0 q1） 阶微商是天气。此时引入天气和气候之间的桥梁分数阶导数，这为天气与气候的研究带来很大的方便。现在从分数阶微分基本定义出发，可以作用于二维医学图像的分数阶微分掩模，掩模可以根据对图像的需求进行增强。通过实验证明，这个方法可以有效完成对医学图像的处理,并且弥补了传统方法不能连续改变处理效果的缺点，是一种简单可行并且效果较好的图像增强方法。2.3地震奇异性分析我们知道传统的地震解释主要是观测地震资料的振幅及相位的变