导数的概念及导数的几何意义

1、57 导数的概念及导数的几何意义【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。【基础知识】1一般地，函数在区间上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2不妨设，则割线PQ的斜率为，设x1x0=x，则x1 =xx0，当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线。3曲线上任一点(x0，f(x0)切线斜率的求法：，当x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0)处切线的，记为4瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：，称

2、为；当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的；速度的平均变化率：，当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的【基础练习】1已知函数在区间1,2上的平均变化率为,则在区间-2,-1上的平均变化率为 2A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间t1,t2上,A,B两船间距离变化的平均速度为_ _ _【典型例题讲练】例1已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间-3，-1，0，5上函数f(x)的平均变化率；.探求一次函数y=kx+b在区间m，n上的平均变化率的特点；练习：已

3、知函数f(x)=x2+2x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率;1，2； 3，4； 1，1； 2，3【课堂检测】1求函数在区间1,1+x内的平均变化率2试比较正弦函数y=sinx在区间和上的平均变化率，并比较大小。58 导数的概念及导数的几何意义【典型例题讲练】例2自由落体运动的物体的位移s（单位:s）与时间t（单位：s）之间的关系是：s(t)=gt2(g是重力加速度)，求该物体在时间段t1，t2内的平均速度；练习：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=(1)求t=t0s时的瞬时速度；(2)求t=3s时的瞬时速度；(3)求t=3s时的瞬时加速度；例3已知f(x)=x2，求曲

4、线在x=2处的切线的斜率。练习:1 曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_2若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为3曲线与在交点处切线的夹角是_ _4已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为.5曲线y=x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_6过曲线上一点P的切线与直线平行，则P点的坐标为例4求过点(1,1)的切线方程练习：过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是_ _ _.【课堂小结】【课堂检测】1求曲线在点（1，1）处的切线方程2已知函数的图象过点P（0，2），且在点M处的切线方程为求函数的解析式；3已知曲线上的一点P(0

5、,0)的切线斜率是否存在?说明理由【课堂作业】1与直线平行的曲线的切线方程是_ _ _.2设曲线y=和曲线y=在它们交点处的两切线的夹角为，则tan的值为_ _ _.3若直线y=是曲线的切线，则=.4求曲线在原点处的切线方程. 59 导数的运算（1）【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数的导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。【基础知识】1基本初等函数的求导公式：，；，（为常数）；，=，；注：当a=e时，；2法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即 法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的 法则3 两个函数的积的导数，等于第一

6、个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即法则4 两个函数的商的导数，等于，即【基础练习】1求下列函数导数（1） （2） （3）（4） （5）（6）y=sin(+x) (7) y=sin （8）y=cos(2x) （9）y=【典型例题讲练】例1 求下列函数的导数（1）； （2）；(两种方法)（3）；（4）y=；.练习：(1)求y=在点x=3处的导数. (2) 求y=cosx的导数.（3）求y=的导数. （4）求的导数.【课堂检测】1设函数，且，则；2求下列函数的导数：(1) y= (2)y=(3)y= (4)y=60 导数的运算（2）例2求满足下列条件的函数(1)是三次

7、函数,且(2)是一次函数,练习：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式例3已知点P在函数y=cosx的图象上（0x2），在点P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围练习：已知函数，且对，求证：例4.若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标练习：1求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程；2求曲线y=x2过点(0,-1)处的切线方程；3已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短；【课堂小结】【课堂检测】1已知函数，f(-1)=4，则a=2过抛物线上的点M（）的切线的

8、倾斜角是3对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是4曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是5已知曲线y=和这条曲线上的一点P(2,),求曲线y=在点P处的切线方程.【课堂作业】1若曲线y=x21与y=1x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于2求下列函数的导数：(1) y=lg(1+cos2x) (2) y=exlnx3设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f(1)=4,试求a的值.4已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,1)处与直线y=x3相切,求a、b、c的值.61 导数在研究函数性质中的应用【考点及要求】熟练掌握

9、导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。【基础知识】1用导数的符号判别函数增减性的方法：若，则函数 为，若，则函数为；2求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数的；求，令，解此方程，求出它在定义域外区间内的一切；把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；确定在各个小区间内的符号，根据的判断函数在每个相应小区间内的增减性；3函数极值的定义：设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有（或），就说是函数的一个极值

10、；和统称为极值；4求可导函数在上的最大或最小值的一般步骤和方法：求函数在上的值；将极值与区间端点的函数值 比较，确定最值。【基础练习】1若函数在区间内是一个可导函数，则0是在区间内递增的条件2如果函数f(x)=x48x2+c在1，3上的最小值是14，那么=3已知，函数在是单调递增函数，则的最大 值是_4函数在时, 有极值10, 那么的值为 .5已知f(x)=ax36ax2+b在1，2上的最大值为3，最小值为29，则a=_【典型例题讲练】例1已知函数的图象过点P, 且在点M处的切线方程为.(1) 求函数的解析式; (2) 求函数的单调区间.练习：1已知函数，仅当x=1及x=1时取得极值，且极大值

11、比极小值大4，求a、b的值。2设（1）求函数f(x)的单调递增、递减区间；（2）当x1，2时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。【课堂检测】1. 函数是减函数的区间为 .2. 函数, 已知在时取得极值, 则 .3.函数的单调递减区间为, 极大值为,极小值为.4 已知: 为常数)在上有最大值是3, 那么在上的最小值是5 (1)函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线, 则的图象的顶点在第象限(2)如果函数(为常数) 在区间内单调递增, 并且的根都在区间内, 那么的范围是.6已知函数(1) 求的单调递减区间;(2) 若在区间上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.62 导数在

12、研究函数性质中的应用(2)【典型例题讲练】例2已知函数与的图象都过点P且在点P处有相同的切线. (1) 求实数的值;(2) 设函数, 求的单调区间, 并指出在该区间上的单调性.练习：已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数，且f(x)g(x)=x3+2x2+3x+7，f(x)在x=1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间。例3设a为实数,函数(1) 求的极值.(2) 当a在什么范围内取值时, 曲线轴仅有一个交点.练习：已知向量在区间上是增函数,求t的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】1函数，已知在时取得极值，则=2函数是减函数的区间为-22O1-1-113函数有极值的充要条件是4已知函数的

13、图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD5若函数yx 32x 2mx, 当x时, 函数取得极大值, 则m的值为 6. 函数y的单调递减区间为.【课外作业】1已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) (x+4)(x+5)，则f(0)=_2函数在区间上的最大值与最小值分别是3. 已知函数yx 22x3在区间上的最大值为, 则a等于 4设函数y=f(x)是一次函数，已知f(0)=1，f(1)=3，则该函数的导数f(x)= 5已知函数y=3x3+2x21在区间(m，0)上是减函

14、数，则m的取值范围是_6. 已知是函数的一个极值点, 其中(1) 求m与n的关系式; (2) 求的单调区间;(3) 当时, 函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取值范围.63 导数在实际生活中的应用【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与实际生活有关的最值问题；【典型例题讲练】1与几何有关的最值问题：例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习：某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？变式1：表面积为定值S，如何制造，才能使其容积最大？变式2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2倍，如何设计尺寸，使总造价