不等式的证明策略

1、2009 年高考数学难点突破专题辅导十八难点 18 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点， 本难点着重培养考生数学式 的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力难点磁场()已知 a0, b0,且 a+b=1.1125求证：(a+)(b+) .ab4案例探究例 1证明不等式1构造能力以及逻辑分析能力，属级题目知识依托：本题是一个与自然数 n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借

2、助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1,右端等于 2，所以不等式成立；当 n=k+1 时，不等式成立命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目， 考查学生观察能力、2.n(n N*)假设 n=k(k 1)时，不等式成立，即彳 1 11+.2.32 ., k(k 1)1k (k 1)12、k 1,k 1错解分析：此题易出现下列放缩错误:这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k 到 n =k+1 的过渡采用了放缩法；证法另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法:综合(1)、得

3、：当 n N*时，都有1+.12.32(k 1) 12 k(k 1) k 2 k(k 1) (k 1)(、k .k 1)20,2.k(k 1)12(k.k 10, 2 kf (k 1) f (k)2( . k 1. k)例 2求使.x . ywa .x y (x0, y0)恒成立的 a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利

4、用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x、y 与cosB、sinB来对应进行换元，即令x=cosB, y =sin9(0vBv)，这样也得 a sin29+cos9,但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了 x、y 的范围；(2)这样换元相当于本 题又增加了“ x、y=1 ”这样一个条件，显然这是不对的.1),1k 12 k 1.又如：2 k 12k、k；2k；1证法二：对任意2 k 1.k N*，都有:2( k k 1),2(.21) 2(、3、2)2(、n .n 1)2、n.1那么对任意 k N*都有：证法三：设 f(n)= 2 .n(1n)，1-2(kk 11(kk 11)

5、1)2.,k(k 1)2, k(k1)1k(k 1.k)2o f(k+1) f(k) 因此，对任意1 1-12n都有1nf(n)f(n 1)f(1)=1 0,2、n.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则 amin=f(x)max； 若 aWf(x),则 amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化解法一：由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2 . xywa2(x+y)，即2xyw(a2 1)(x+y), x,

6、y0，二 x+y2 _xy ,当且仅当 x=y 时，中有等号成立.比较、得 a 的最小值满足 a2 1=1 ,- a2=2, a=、2 (因 a0), a 的最小值是-.2 .解法二：设 u妙 3 Jx y迥 1 迥寸 xyxy V x y x y x 0, y 0,. x+y 2 . xy (当 x=y 时=”成立), 4 wi, 4 的最大值是 i.x yx y从而可知，u 的最大值为,1 1.2,又由已知，得 a u, a 的最小值为,2 .解法三： y 0,原不等式可化为|Z+1wa1, y Vy1设 J =tan9,B (0,).y2 tan9+1wa tan21 ；即 tan9+1

7、wasec9 asin9+cos9=2sin(9+ ),4又 sin(9+)的最大值为 1(此时9= _ ).44由式可知 a 的最小值为. 2 .锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的 方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配 方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提， 充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野2不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、

8、反证法、函数单调性法、判别式 法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换 的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要 证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各 种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点歼灭难点训练一、填空题a b.()已知 x、y 是正变数，a、b 是正常数，且=1， x+y 的最小值为x y/ a0, b0, a+b=1，二 ab8

9、 不可能成立 1/ 1=a+b 2 .ab，二 ab 0, b 0 , ti+t2=0,4t2121)(-t2t241 1(2t1)(2t2)52 22(-t2)t21t2t241)25162516251444显然当且仅当 t=0,即 a=b=i时，等号成立2证法三：（比较法）/ a+b=1,a 0, b 0, a+b 2 .ab, ab 0,b 0, a+b2ab,二 ab0, b 0, a+b=1,故令 a=sin2a, b=cos2a,a (0,即得(a l)(b 1)25.a b 4歼灭难点训练e=a+b+atan2e+ bcot2e a+b+2jatan2bcot2a b 2jab

10、.答案：a+b+2 一ab2解析：由 0w|a d|v|b- c|(a- d)2 (b- c)2(a+b)2 4adv(b+c)2 4bc/a+d=b+c,. 4ad bc.答案：ad bc3解析：把 p、q 看成变量，则 m p n, m q n.答案：m p q33证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcwa2+b2+c2+ a2+b2+a2+c2+b2+ c21111)(a -)(b-)(si n2 2-)(cos22absincos.442222、2sincos2si ncos(4 sin)4sin224si n22sin221, 4 sin224 13.16

11、24 2si n2216 2511sin224(4 sin22 )2254si n2241解析：令a=cos2e,x=sin2e， 贝 U x=aseCe,yy=bcsc2e，二 x+y=asec2e+bcsc22.22证法三：abcV3 a2+b2+c23证法四：设1a=-3+a,b=13abCa2+b2+2ab cV3a+b+c 兰3+卩,c=13+Y. 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2=1/ a+b+c=1, a+卩+Y=0 a2+ b2+ c2-3x3同理可得 y, z0,1 亠，,y=3+y证法二：设 x=-31 12121-=(-+x )2+(-+y )2+(23332+2

12、32131 亠，=_ +x312=+x2+y32+y+x2+z2+z(x +y+x1z=+z3+z )2+z)2,(yz)221 _ 3，则 x +y+z=0,+32 + _2丄,x 0, J ，同理 y,3z原不等式成立.3(a b c) 6原不等式成立.115.证法一：由 x+y+z=1 , x2+y2+z2= ，得 x2+y2+(1 x y)2=22次方程得:12y2 2(1 x)y+2x2 2x+ =0,. y R，故A0214(1x)24X2(2x22x+ )02， a2+b2+c2=(1+a)2+(1+3)2+(丄333+Y)21=+31= +32+32+Y21a2+32+Y231

13、 a2+b2+c23(2)证法一：、.3a 2.(3a2) 1同理.3b 2 迤3, 3c 223a 21233a 2,3b 2、. 3c 23c-23(a b c) 96证法一.J3a 2 J3b 2 J3c 2(3a 2)(3b 2)(3c 2).3a2 3b 23c 23.3v6，整理成关于 y 的一元得 0Wx0, ”y2+z2A(1 x)27.证明： 对于 1Vi2=x2+壬-x+12故 x、y、z 0,12236.(1)证明：2a2-y 2xy)bb2(xab(忖b c-xac a2-Vy(by22(：y H2x2z22( xy yz zx)c a a b2L zcb2-zc2yz)(-z2c-x22zx)aC；z-x)2a2(xyyzzx)z2(x y)20证法三:设x、 y、z三数中若有负数， 不妨设xV0,则 x20, ”y2+z2A(1 x)2m122m m(1 + n) =1+Cmn+Cmn+ +Cmn ,?.()设正数a、b、c、d 满足 a+d=b+c,且|a d|v|b c|,贝Uad 与be的大小关玄阜系是_ -3._ ( )若 mvn,pvq,且(p m)(p n)v0, (q m)(q n)v0，贝Um、n、p、q 的 大小顺序是.二、解答题.(* )已知 a, b, c