涉球问题的处理技巧

1、B1图52已知得ACAA AB a .又 AH平面ABC , H为 ABC的外心.2009-2010学年河南省滑县教师进修学校申治国的专 题突破之涉球问题的处理技巧考点动向因为圆锥与圆柱基本退出课本，于是，球作为立体几何中唯一保存的旋转体，成为考查的重点，基本属于必考题目而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧. 还有球的截面的性质的运用， 另外就是其它几何体的内切球与外接 球类组合体问题，也是应特别加以关注的题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在 解答题中以小问的形式出现.方法范例例1如图$ 1 ,在斜三棱柱ABC A1B1C1中， A,ABA AC ,

2、AB AC, A,A AiB a，侧面BiBCCi与底面ABC所成的二面角为120 , E,F分别是棱B1C1> A1A的中点.（I）求A1A与底面ABC所成的角；（n）证明 A E /平面B1FC ；（川）求经过A、A、B、C四点的球的体积.解析 对（I）可求得 A1A与底面ABC所成的角为一；3对（n）,可由A E与F和BC的中点的连线平行证得；对（川），关键是寻找球心.解（川）如图52，连结A1C，在 A1AC和 AAB 中，由于 AC AB , AABAAC ,AA AA1，则 AAC AAB，故 AC AB，由设所求球的球心为 O ,则O AH，且球心O与AA1中点的连线OF

3、AA1 .在Rt A1FO中，可得AO即为所求球的半径，故球的体积4.3 x34333(亍)-27 3例2将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ()(B) 22.63(C)4(D)解析 本题是球与正四面体的综合.利用对称性，如图53,四个球在正四面体的每C图5 3球面距离问题，内切球与外接球问题一个角一个，球心分别是E,F,G,H .所求高分三部分计算，四个球的球心两两连结，构成一个棱长为2的正四面体，易得其高是乙6 再求如图EA的长，在直角三角形3AKM中，K是底面中心.AM 3MK ,故 AE 3EL 3. 所求是2.626”3 14 .选(C)

4、.33规律小结(1)关于球的问题，主要有球的截面性质问题,等.要掌握好球的截面的两条性质，即球的截面是圆，且圆心与球心的距离 d,截面圆的半径r与球的半径 R满足d . R2 r2 ；要掌握好球面距离的概念，即球面上两点间的球面 距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧的长，计算球面距离分两步， 首先求出两点间的距离，然后求出两点所确定的弦在大圆上所对的圆心角，则圆心角的弧度数与球半径的乘积为所求.(2)解决各类问题的基本要求是能够想象出实际位置关系，将问题转化为“无球”问题.关于球的组合体问题， 需要深入细致的分析其中的数量关系和位置关系，将问题进行分解与转化，特别是球的内接几何体问题， 因

5、为柱体的外接球直径是柱体的一条对角线， 所以 问题较容易解答，若是锥体，则可以考虑补锥成柱解答.考点误区分析（1）有的同学解答球类问题不知如何下手，实际上，对于计算球的表面积或体积类问题，应紧扣寻找球心，确定半径入手有时借助补体可以更好找到球心，要认真体会涉及多个球的问题，可以类比平面内多个圆的问题解答，主要是寻找球的位置关系与球半径之和或差的对应性解答.（2）球面距离是和其它各类距离有别的距离形式，是“曲线段”的长，要单独掌握， 不可误以为是球面上两点间的连线的长.同步训练1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16,则这个球的表面积是（ ）.(A) 16(B)20(C)24(D

6、) 322 矩形 ABCD中，AB 4, BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为（).(A)12512（谒(C)罟（唱3.如图5-4,O是半径为I的球心，点 代B,C在球面上，OA,OB,OC两两垂直，E, F分别是大圆弧AB, AC的中点，则点E,F在该球面上的球面距离是( ).图5-4(A)4(B)?（近(D)-|44.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为（）.9(B)-16（號9(D)-325.已知三棱锥P ABC 中,E, F分别是AC, AB 的中点， ABCA PEF都是正三角形，PF

7、AB .图5-5(I)证明PC 平面PAB ;(n)求二面角P AB C的平面角的余弦值;(川)若点P,代B,C在一个表面积为12的球面上，求 ABC的边长.参考答案1. 解析正四棱柱是长方体，其对角线是外接球的直径，可求得半径长为、6 .答案(C).2. 解析由矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等，可知此点即为折叠后外接球5的球心，可得半径为 .2答案(C).13. 解析根据图形，有 cos EOF cos AOFcos AOE ,故 EOF -.23答案(B).4. 解析根据球的截面是圆，且圆心与球心的距离d，截面圆的半径r与球的半径R满足d R2 r2，本题中d，故截面圆半径为R.2 2答案(A).115. 解析对(I),连结 CF , PE EF -BC AC, AP PC ；又可证22得PC