椭圆地压缩变换

1、八.椭圆的压缩变换1.常见结论:定义压缩变换r； oy平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的 仝心m0Tmn）得到工0$平面.显然在压缩变换下.xOfyf平面上的圆工"+宀计 就压缩为工平面上的椭 圆右+若=1'于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究三 类问题*1.研究横坐标（或纵坐标）之间的关系.在压缩变换r下,xOy平面上点P与原来xOfy平面上对应点B的横坐标相同，即巧 =工严Z研究直线的斜率.在压缩变换£下小0,平面上直线的斜率总变为原来xO'y平面上对应直线斜率的空倍，即k = < /mm3,在压缩变换丁下“Oy

2、平面上封闭图形的面积S是原来 工03/平面对应封闭图形面积J的冷倍，即3= - S2.典型题选讲：1. 1圆的垂径定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦.类比：椭圆中， 过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？假设它们的斜率存在；2圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线.类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连的任一点除这两点外连线斜率之积为2 24A, B是椭圆2a b1(a b 0)上两个不同点,O为坐标原点，如此AOB面积的最大值为5A,B是椭圆2x2ab21(a b0)上左右顶点，P是椭圆上异于 A, B的点，PM222轴于 M .求证：b2 PM a2 AM MBA( 1,0

3、)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线I与椭圆交于C,D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q .I丨当CD|3 2时，求直线丨的方程；II丨当点P异于A, B两点时，求证：OP OQ为定值。【变式】，椭圆 C以过点A 1 , 3，两个焦点为1 , 0 1, 0。2(1 ) 求椭圆C的方程；(2 ) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。如图，在平面直角坐标系2xOy中，椭圆xa1(a b 0)的右焦点为F(1, 0)，离心率F的两条弦AB，CD相交于点E异于A，C两点，且OE1求椭圆的方程；2求证：

4、直线 AC , BD的斜率之和为定值.如图，在平面直角坐标系xoy中，Fi,F2分别是椭圆E：2 2xy2,2ab1(a b 0)的左、右焦占八 '、八、5A, B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF2 5BF20.1求椭圆E的离心率；2丨点D 1,0为线段OF?的中点，M为椭圆E上的动点异于点A、B，连接MR并E于点P、Q，连接PQ，设直延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆O线MN、PQ的斜率存在且分别为 k、k2，试问是否存在常 数，使得k1 k2 0恒成立？假如存在，求出 的值；假 如不存在，说明理由。2 2-的直线l与椭圆C : x 1交于代B两点如下列图，且P(3.

5、2,.2)3364在直线I的左上方.21证明： PAB的切圆的圆心在一条定直线上；x2 y2V3【变式】在平面直角坐标系xOy中，椭圆-+ 2= 1 a > b >0丨的离心率为，两个a2 b22顶点分别为A1(-2 , 0), A2(2 , 0) 过点D(1 , 0)的直线交椭圆于 M , N两点，直线 A1M与NA2的交点为G.1数a, b的值；2当直线MN的斜率为1时，假如椭圆上恰有两个点P1, P2使得(第题图)MN和AP2MN的面积为S,求S的取值围；3丨求证：点 G在一条定直线上.2在平面直角坐标系 xOy中，经过点(0, 2)且斜率为k的直线l与椭圆-X y2 1有两

6、个 不同的交点P和Q .I丨求k的取值围；II设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A, B，是否存在常数k,使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.21上两点，且AB3，求AOB面积的最大值X24.如下列图，A, B是椭圆C :y32【变式】过点M ( m,0)(0Xm a)作直线与椭圆2a2y1(a b 0)交于AB，求bAOB面积的最大值设椭圆中心在坐标原点，A(2,0，B(01)是它的两个顶点，直线y kx(k 0)与AB相交于点D，与椭圆相交于 E、F两点.I假如ED 6DF，求k的值；求四边形 AEBF面积的最大值.2X平面直角坐标系 xOy中

7、，过椭圆M :二a21(a b 0)右焦点的直线x y 3 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为2。I求M的方程;nC,D为M上的两点，假如四边形ACBD的对角线CD AB，求四边形 ACBD面积的最大值。2X5.动直线l与椭圆C :32二 1交于P x1,y1 ,Q X2,y2两不同点，且OPQ的面积S OPQ其中O为坐标原点.I证明：xj x22和y12 y22均为定值;n设线段PQ的中点为M，求0MPQ的最大值;川椭圆C上是否存在三点D,E,G，使得 S odeS ODGS OEG?假如存在,判断 DEG的形状；假如不存在，请说明理由.2 2【变式】设椭圆 笃+爲=1(a&

8、gt;b>0)的左、右顶点分别为 A,B，点P在椭圆上且异于 A, Ba b两点，O为坐标原点 I假如直线 AP与BP的斜率之积为 -，求椭圆的离心率;2n假如|AP|=|OA|，证明：直线 OP的斜率k满足|k|> 3.2 2如图，椭圆 务占 1(a b 0)与过点A(2,0) , B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ,a b且椭圆的离心率e(I )求椭圆方程;(n )设F,F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF,的中点，求证：ATM AFT在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心在原点 O,焦点在x轴上，短轴长为2，离心(I)求椭圆C的方程;AOB的面积为的任意两点,E为

9、线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P,设OP tOE，数t的值2 2椭圆C: x2 y2 1(a b 0)的焦距为4，且过点p(2,3).a bI求椭圆C的方程；n设Q(x0,yo)(xgyo 0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为 E。取点A(0,2 ；2)，连接AE ,过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点, 作直线QG，问这样作出的直线 QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.2M,N是椭圆上异于 A的任意两点，且X26.如图，椭圆C :y 1，点A是其上顶点,3kAM kAN 2，求证：直线 MN恒过定点32 2【变式】过椭圆笃爲 1(a b 0) 一定点P(Xo,O)不妨设0 xo a，任意