椭圆离心率求法总结材料

1、椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交0A于B, P、Q在椭圆上,PDL L于D, QF丄AD于 F,设椭圆的离心率为 e,则ej 黒 ej QJe=A0I PD |I BF 丨 I BO|I AF|FBAe=I F0|I A0|DB评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。a2丨 A0| =a, I 0F| =c, 有；：T AO| =a, I BO| =二有。cF2，以F1F2为边作正三角形，若椭题目1椭圆x2- +¥2-=1(a>b >0)的两焦点为F1圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离

2、心率e ?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BF1 ,把 已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：TI F仆2| =2c | BF1 | =c | BF2| = 3c变形1：椭圆x2a2c+ ,3c=2a+ ;|=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2 ,点P在椭圆上，使 0PF1为正 b2三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,则丨 0F2| = | OF1 | = | 0P| , / F1PF2 =90° 图形如上图，e=, 3-1变形2:x2椭圆-+ y2=1(a>b >0)的两焦点为

3、F1、F2，AB为椭圆的顶点, b2P是椭圆上一解：T| PF1 |b2aI F2 F1 | =2c | OB| =b | 0A| =aPF2 / AB| PF1 |= b| F2 F1 | = o'又/ b=a2-c2-a2=5c2 e=,55-a与c的方程点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 式，推导离心率。、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆X2- +号厂=l(a>b >0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ a2 b2ABF=90°，求 e?I BF | =a | AB | = a2+b2 a2+b

4、2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以3 e=叮(舍去)解：| A0| =a | 0F| =ce2+e-1=0 e=变形:顶点，点评：案：90椭圆x2- +冷2厂=1(a>b >0) , e】1；5 , A 是左顶点, 求/ ABF?此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，Oa2F是右焦点，B是短轴的一个由余弦定理解决角的问题。答引申：此类e= 的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ ABF=90 2、假设下端点为 B1 ,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的 距离等于长半轴长。找各边的表示，结合解斜三角形总结：焦点三角形以外的三角形

5、的处理方法根据几何意义， 公式，列出有关e的方程式。x2 y2题目3:椭圆 +=1(a>b >0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与 AB两a2 b2占八、：若|F1A| =2 |BF1 |,求e?解:设|BF1 | =m则|AF2 | =2a-am| BF2|在厶AF1F2及厶BF1F2中，由余弦定理得:=2a-m«a2 c2=m(2a_c)、2(a2-c2)=m(2a+c):2a c两式相除：丄二 e=223题目4：椭圆X2- +yb2-=1(a>b >0)的两焦点为F1(-C, 0)、F2 (c,0), P是以 | F仆2|为直径的圆

6、与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理:| F1F2 | F1P |sin F1PF2 = sin F1F2P| PF2|sin PF1F2根据和比性质：| F仆2 | F1P| + | PF2|sin F1PF2 = sin F1F2P+sin PF1F2变形得:| F1F2| PF2 | + | F1P|sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F22c =e2a/ PF1F2 =75PF2F1=15 °3sin 90e=sin75° +sin15 °点评：在焦

7、点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F1PF2e=一sin F1F2P +sin PF1F2变形1：椭圆X2 + y2=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点, a2 b2且/ F1PF2 =60。，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=a,则/ F2F1P=120° - asin F1PF2sin60e=sin F1F2P +sin PF1F2sin a +sin(120 ° - a )1 e<11 12sin( a +30° ) / 2x2 y2变形2:已知椭

8、圆 + "42 =1 (t>0) F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与1aR 1长轴两端点重合)设/ PF1F2=a , / PF2F1=R若yvtan y< tan R<2"，求e的取值范围?分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解；根据上题结论sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2sin( a + R ) sin a +sin Ra + R a + R2sin 2 cos -a + R a - R2sincos -2 2acos 2 cosR . a . R2-sin 2-sinaRaRcos cos +sin -

9、sinaR1- tan tan 2 2=eaRtan 2 21- tan1 1-e1<<'3 1+e21 13<e<2e所符合的关系式.三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找x2 y2题目5:椭圆 +=1(a>b >0)，斜率为1,且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、Ba2 b2两点，OAOB与"a =(3,-1)共线，求e?法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=02a2c2a2c-2b2cx1+x2=' y1+y2=-

10、2c=a2+b2 ' 'a2+b2a2+b2O/+OB=(x1+x2,y1+y2)与(3, -1 )共线，则(x1+x2) =3(y1+y2)既 a2=3b2e=S-x12a2 +y12 b2=1x22+ a2旦=1b2> > >法二：设AB的中点N,则20M0AH0B-得:y1-y2 x1-x2 =b2 x1 +x2a2 y1+y2 1=-b2ar(-3)既 a2=3b2e=四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6:椭圆x2a2+=1(a>b >0)的两焦点为 F1(-C , 0 )、F2 (c,0)的点M总在椭圆内部，贝U e的取

11、值范围?=0 以F1F2为直径作圆,M在圆0上，与椭圆没有交点。解： c<ba2=b2+c2 >2c2 0<e晋题目7:椭圆x2a2y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1(-c, 0)、F2 (c,0), P为右准线 L 上一点，F1P的垂直平分线恰过 F2点，求e的取值范围?思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找 思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求 分析:a、b、c的不等关系。解法a2F1 (-c , 0) F2 (c,0) P( ,y0 )cM(ea2 c -c y0 厂)丹b2既(27vp_,2ta2) 则 PF1 =-(+c, y0

12、)cMF2 =-(b22T-c，=0/ b2(2T-c，(a+c, y0 )a2（严）（a2-3c2 w 0b2 y022T-c)+ y-=°£ w e<1解法2:| F1F2 | = | PF2 |a2PF2 I一-c c=2ca2则 2c> -cc3ca2c3c2 > a2设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，如果椭圆上存在点P,使解法，求离心率利用曲线范围e的取值范围。，则（x, y），又知将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得解法2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知解法3:利用三角函数有界性记解法4 :利用焦半径 由焦半径公式得解法5:利用基本不

13、等式由椭圆定义，有平方后得解法6:巧用图形的几何特性由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有离心率的五种求法椭圆的离心率0 : e : 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e = 1 一、直接求出a、c，求解e 已知圆锥曲线的标准方程或 a、c易求时，可利用率心率公式e = c来解决。a双曲线的离心率为（）A 3BA.B.3C.兰D.差2223解：抛物线y2二-6x的准线是3X 二即双曲线的右准线2 2ac -13 nttX，则2例1：已知双曲线笃一 y2 =1 （ a 0）的一条准线与抛物线 y2 - -6x的准线重合，则该a2 c c 22c2 -

14、3c - 2 = 0，解得 c=2, a = 3 , e = E=，故选 Da 3变式练习1:若椭圆经过原点，且焦点为F, 1,0、F2 3,0，则其离心率为（）3 211A.B.C.D. 一4 324解：由 F1 1,0、F2 3,0 知 2c = 3 -1, c = 1 ,又椭圆过原点， a-c = 1, a，c = 3, c 1 a = 2 , c =1，所以离心率e.故选C.a 2变式练习2:如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23C.-2解：由题设a = 2 ,2c = 6，贝V c = 3 ,，因此选Ca 2变式练习3:点P (-3, 1)在椭圆x2

15、a7 b2y2 = 1 ( a b 0)的左准线上，过点 P且方向为a = (2,_5 的光线，经直线y-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为解：由题意知，入射光线为5y -1 = - 2 x 3，关于y = -2的反射光线(对称关系)为5x -2y 5=0，贝U c-5c 5=0=3解得 a = J3 , c = 1，贝U ec 打3，故选Aa 31. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 仝2忑2. 已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 223.若椭圆经过原点，且焦点为FJ1Q), F2(3,0),则椭圆的离心率为14.已知矩形ABCD AB= 4,

16、BC= 3,则以A B为焦点，且过 C D两点的椭圆的离心率为 一。2x2 y2一5.若椭圆 2 =1,(a b 0)短轴端点为P满足Ph _ PF2，则椭圆的离心率为a b.2e =。2 2笃-y2 = 1的的离心率为m n21 26.已知1(m >0.n > 0)则当mn取得最小值时，椭圆m n2 2xy7.椭圆二 2=1(a b 0)的焦点为F1 , F2，两条准线与x轴的交点分别为ab若MN <2 F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是8. 已知F1为椭圆的左焦点，AB分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF丄RAPO/ AB (0为椭圆中心)时，椭圆的离心率

17、为e豆e 二。22 2F2是椭圆的左右焦点，已知ZPFp,zPFF-2(,9. P是椭圆 与+爲=1 (a> b>0) 上一点，a2 b2.F1PF2 =3、椭圆的离心率为.3 -110. 已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若.PF1F2 -15PF2F1 =75 ,则椭圆的离心率为 '-311.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为22x212.设椭圆二a2y亍=1 (a> b> 0)的右焦点为Fi，右准线为I1,若过Fi且垂直于x轴的弦b的长等于点F1到11的距离，则椭圆的离心率是-。213.椭圆

18、2X-等于2a1 I22葺=1 (a>b>0)的两顶点为 A (a,0 )B(O,b),若右焦点F到直线AB的距离6AFI，则椭圆的离心率是 。314.椭圆2爲=1 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、b2C D,若四边形ABCD勺内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是.5 -1215.已知直线L过椭圆令a2-yr = 1 (a>b>0)的顶点b2A (a,0 )、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为 旦，则椭圆的离心率是22 216.在平面直角坐标系中，椭圆二社a2 b2=1( a b 0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径作圆，过点2 、,0作圆的两切线

19、互相垂直，则离心率e=2二、构造a、根据题设条件，得到关于e的一元方程，从而解得离心率c的齐次式，解出e借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系(特别是齐二次式)，进而例2：已知2 2F2是双曲线x2 一 y2 =1 （ a 0,b0 ）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 2 .一 3B. 3 -1 C.2D. .31c解：如图，设MFi的中点为P，则P的横坐标为-一，由焦半径公式2PFi = eXp a ，2C C、fc （c 即 c =、火I a，得一i 2 j2 = 0，解得a I 2丿（a丿卫丿e =

20、C =1 3 （ 1 - , 3 舍去），故选 Da变式练习1:设双曲线2X2 "22 "(0 : a : b)的半焦距为c，直线L过a,0 ,0,b两ab2点.已知原点到直线的距离为.3 c ,则双曲线的离心率为（)4A. 2B.3C. 、22. 3 D.解：由已知，直线L的方程为bx ay-ab =0，由点到直线的距离公式，得ab , 3 c a2 b24又 c2 二 a2 b2, a 4ab = -3c2，两边平方，得16a2 c2 - a2 = 3c4，整理得423e -16e16=0,得e2 =4或e2-，又 0 ： a ： b , a e232c2aa2b2变式

21、练习2:双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为F1、F2,F1MF2 =120°，则双曲线的离心率为（）A233解：如图所示，不妨设 M 0,b , F1 -c,0 , F2 c,0，贝UMF1 二MF2-c2b2，又 F1F2在.F1MF2 中,由余弦定理，得COS.MF1MF2MF+|MF2| F1F2I2|MFi|MF2|c2 b2 i 亠 ic2 b2 ；4c22 c2 b2.2:b - cT22b c b2a2a222c - a c 2 c 22，3a 二 2c ,. ee=，故选 B21.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2 以椭圆的右焦点F2为圆心作圆

22、，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于35M N两点，椭圆的左焦点为Fi,直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是；3-13以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 0并且与椭圆交于 MN两点， 如果I MFI = I M0，则椭圆的离心率是14设椭圆的两个焦点分别为 R、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是,2 -1是正三角形，则这个椭圆的离心率是5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过R且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF23226设 印F2分别是椭圆y2 =1 a b 0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为、.3c

23、 a b7?(c为半焦距)的点，且 F1F2I |F2P，则椭圆的离心率是- 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3:设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是解：e，且a 2a2c2cPF1I+IPF2I 2<?c+2c V2+11 .21四、根据圆锥曲线的统一定义求解2x例4:设椭圆a2笃=1 ( a 0,b0 )的右焦点为F1，右准线为b且垂直于x轴的弦的长等于点 F1到11的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过卩1且垂直于x轴的弦， AD丄于D , AD为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第

24、二定义,AFiAD2ABAD变式练习：在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为.2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为()解:af2AD五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。I I1 已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，满足 MFi MF2 =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,2已知 斤、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点，且 NF1PF2 =90，椭圆离心率e的取值范围为3已知R、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点，且 ZF1PF60，椭圆离心率 e的取值范围为丄,122 24.设椭圆 笃爲=1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点

25、 Q使/F 1QF2=120o, a b椭圆离心率e的取值范围为旦e"35.在 ABC 中，AB = BC ,cosB 7 .若以A, B为焦点的椭圆经过点 C，则该椭183圆的离心率e二三826.设F1, F2分别是椭圆与每=1 ( a b 0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,a b使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是配套练习2 21.设双曲线 笃-爲=1 （ a . 0,b . 0 ）的离心率为.3，且它的一条准线与抛物线a b2y =4x的准线重合，则此双曲线的方程为（A.2 2Ui1224B.2 2X-丄=14896C.x2 2y23 一 3D.1>

26、;31v'3A.-B .C.D.33222 23.已知双曲线x y _2 2 一1的一条渐近线方程为4 y x,则双曲线的离心率为a2 b235453A -BC -D -33422 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 A 、25.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2D 一41-，则该2双曲线的离心率为2A -26.如图,F1和F2分别是双曲线2 2笃-爲=1 ( a 0,b0)的两个焦点,a bA和B是以O为圆心，以 OR 为半径的圆与该双曲线

27、左支的两个交点，且AF2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为（）A . 3B 5.5C 一22 2X y7.设F2分别是椭圆 2 =1（ a b 0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐a b标为,3c （ c为半焦距）的点，且 hF2|F2P，则椭圆的离心率是（.3-1A -2D，22x &设F1、F2分别是双曲线a2-y2 = 1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使b2.F,AF2 =90° ,且AFi -3AF2，则双曲线离心率为（9.已知双曲线2 x 2 a2总=1 （ a 0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（c 2,：A 1,2 1B 1,22x10椭圆二a2芯 =1（ a b 0 ）的