数值计算方法( 三次样条插值)

1、编辑课件14.4 三次样条插值n前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。编辑课件24.4.1 分段插值2,)1,(, 1,)(,.,1 , 0,2010111jxujxuxxxjxuxuxxxfxxxnjyxjjjjjj取若，则外插也选若，即取，若计算机上实现。上的现性插值函数表示用则判断）已知（编辑课件3分段线性插值)/()()/()(,1111111111111jjjjjjjjjjjjjjjjj

2、jjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxyxxyyxuyuxux这是因为则线性插值函数为一般的，编辑课件4分段线性插值则如果做对于输入插值点做按输入算法：jiixumkniyxn1,2,.,j(2)u(1),.,2 , 1. 2),.,1 , 0(,. 1编辑课件5分段线性插值),()(.),()(),()()(,2)/()(11212101011110nnnjjjjjjxxxxIxxxxIxxxxIxIvuxxyyxuyv分段插值函数输出编辑课件6)/()(11111111jjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxI其中n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在

3、。足够小才能较好的逼近max11jjjnjxxhh编辑课件7分段三次Hermite插值n上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。编辑课件8分段三次Hermite插值2221112122111111131)()()()()(21 ()()(21 ()()()()()()(,jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxuxuuBhxuxuuBhxuhxuuAhxuhxuuAfxfxyxyxxHxxxHermite令时插值三次编辑课件9分段三次Hermite插值算法。输出则计算如果做对于输入插值点

4、计算插值）；（输入算法：vufBfBfAfAvBBAAxunjunjffxjjjjjjjj,. 3;,.,2 , 1)2(;) 1 (. 2,.,1 , 0,. 12112112121jjjjfBfByAyAv211211则编辑课件10例题222122222110) 1)(2()2)(1() 1)(32() 1)(2(21 ()2)(12()2)(1(21 (112, 2, 11)2(1) 1 (3)2(2) 1 (xxBxxBxxxxAxxxxAhxxHermiteffff则解：插值多项式。求满足条件的，设例编辑课件11例题5983) 1)(2()2)(1() 1)(32( 3)2)(12(

5、2)(2322223xxxxxxxxxxxxH所以得编辑课件124.4.2 三次样条插值的三次样条函数。对应于划分为区间则称有连续的二阶导数）上在开区间（三次多项式；是不超过上在每个小区间）（满足条件如果函数：上给出一个划分，在区间，上的二次连续可微函数是区间设函数定义,)(,)(,) 3()(),.,2 , 1(,)2();,.2 , 1 , 0()()(1)(.,)(1110baxsxsbaxsnjxxnjxfxsxsbxxxxababaxfjjjjnn编辑课件13三次样条插值1,.,2 , 1)0()0()0()0()0()0() 1()2(,.,1 , 0)()(1.,.2 , 1),

6、()()(,)(1231 njxsxsxsxsxsxsnnjxfxsdcbanjxxxdxcxbxaxsxsxxxsjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj条件：内节点处连续及光滑性）；（）（为：为待定常数，插值条件其中上有表达式在每个子区间设三次样条函数编辑课件14三次样条插值nnnjjjjmxfxsmxfxsnnnjdcba)()()()(244,.2 , 1.,000已知两端点的一阶导数第一类以下三类：条件称为边界条件，有给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为个未知系数，即对于待定系数编辑课件15三次样条插值 )0()0()0()0()()(0)()()()(.0000000nnnn

7、nnnxsxsxsxsxsxsMMMxfxsMxfxs第三类：周期边界条件时为自然边界条件当已知两端点二阶导数第二类：编辑课件16三次样条插值,)(,)(,)(),.2 , 1 , 0()(!1111 iiiiiiiiiiiixxxxxMMxsxxxsxxxsniMxs项式，故有上是一次多在是三次多项式，所以上在。因为令条插值函数用三弯矩阵构造三次样编辑课件17三次样条插值) 1 ()(6261()()(! 3)(! 2)()()( ! 3)(! 2)()(! 3)()(! 2)()()()(111121121111311232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiii

8、iiiiiixxMMxxyyxsxxMMxxMxxxsyyxxxxxxMMxxMxxxsyxxxsxxxsxxxsxsxsTaylor 解得得令展示有于是由编辑课件18三次样条插值iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhxxhxxMMxxyyxxMMxxyyxsxxMMxxyyxsxx111111111111111111)(6162()(6261(21)()2()(6162()(,记）即（）连续，所以（因为上讨论得同理在编辑课件19三次样条插值),(6)(2),(6)2()2)2(61,)2(61,1111111111111111iiiiiii

9、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMhxxfxxfhMMhMMhMMxxfhMMxxf也就是（即则上式为编辑课件201,.2 , 1,62,62)(111111111111111nixxxfMMMxxxfMhhhMMhhhhhxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii即得得两边同除编辑课件21三次样条插值,62)(6261()(0) 1 ()()()()(1001001010101000 xxxfMMxxMMxxyyxsixfxsxfxsnn既有得式中令第一类边界条件：编辑课件22三次样条插值,621,.,2 , 1,62,62,6

10、2)2(1111111001011nnnnniiiiiiiinnnnnxxxfMMnixxxfMMMxxxfMMxxxfMMni）（即有得式中令同理编辑课件23三次样条插值2,.,3 , 2,62,62,62)()(,)()(11221111101210211 00 0 niMxxxfMMxxxfMMMMxxxfMMMxfxsMxfxsnnnnnnnniiiiiiiinnn同理可得第二类边界条件编辑课件24三次样条插值1,.,3 , 2,62,62,2111111112101211nixxxfMMMxxxfMMMxxxfMMMnnnnnnniiiiiiiin三弯方程周期函数边界条件下的编辑课件

11、25例题n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529。并计算函数三次样条)2 . 0(),(64879. 0)60. 0(, 0)0(sxsss编辑课件26n解 做差商表(P111),由于是等距离节点,21,214 , 3 , 2 , 115. 01111iiiiiiiiiiihhhhhhixxh编辑课件27n由第二类边界条件得01234215.866670.520.55.142600.520.53.367980.520.51.39740120.26880MMMM

12、M 编辑课件28n解方程得n将Mi代入式4.4.14)得08418. 0,43716. 0,13031. 1,77757. 1,04462. 243210MMMMM编辑课件29323232320.296721.022311,0,0.150.719181.212420.028510.99858,0.15,0.30( )0.770171.258310.042280.99720,0.30,0.450.579271.000590.073701.014610.45,0.60 xxxxxxxs xxxxxxxxx0.200.15,0.30由于 故 33(0.20)0.71918 0.21.21242 0.

13、20.02851 0.2 0.99858 0.96154s编辑课件3045 曲线拟合的最小二乘法n插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.编辑课件314.5.1 最佳平方逼近n定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:( ), ( ) , ,f x g xC a bbaxxgxfxgfd)()()(),()(),(xgxf)(x编辑课件32,.2 , 1 , 0d)(2, 0)() 1

14、 (ixxxxbabai存在，）（零点；并且最多只能有有限个上，在容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.编辑课件33内积的性质是等号成立。切当且仅当性质性质性质性质0, 0),(4);,(),(),(3;),(),(2);,(),(12121fffgfgfgffRgfgffggf编辑课件34函数的欧几里得范数n定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.( ), ( ) , ,f x g xCab),(2fff编辑课件35函数的欧几里得范数性质。性质性质；时有，当且仅当性质22222223;20001gfgfRfffff编辑课件36线性相关的函数系n定

15、义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使( ) , ,(0,1,2)kxC a bknk0011( )( )( )0nnxxx 成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.0( )nkx0( )nkx编辑课件37线性相关的函数系的判定n定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式0( )nkx00010101110101( ,) ( , )( ,)( ,) ( , )( ,)( , , ,)0( ,) ( , )( ,)nnnnnnnG 编辑课件38n不难证明 在R上线性无关.n定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是

16、Gramer行列式 .( )(0,1,2, )kkxxkn0( )nkx01(,)0nG编辑课件39最佳平方逼近n定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足( ) , f xC a b( ) , (0,1,2, )kxC a b kn01,nSpan *0( )( )nkkksxx 22*2220infinf( ) ( )( )(4.5.5)nbkkasskfsfsxf xxdx 编辑课件40则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.*( )sx*0()()nkkksxx *01,n 02( ) ( )( )

17、( )0(0,1,2, )nbkkjakxf xxx dxjn 编辑课件41n令 则误差为*( )( )f xsx2*22*20(,)(,)(,)( ,)(,)( ,)nkkkfsfsfsffs sf fsfff编辑课件42特例n取则法方程为其中( )(0,1,2, ),( )1, , 0,1kkxxknxa b001111121111(4.5.10)3221111221nnnnnnn10( )(0,1,2, )kjx f x dxkn编辑课件43例题n例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.n解 设 由于( ),0,1,xf xex01( )s xx11000(,

18、)1xfe dxe 11110(,)1xfxe dx 编辑课件44n故法方程为解得11e10312121101*4100.873127313,6(3)1.69030903( )0.873127313 1.69030903ees xx编辑课件45n平方误差为06277. 00039402234. 0)3(6) 1)(104(210211002222所以eeedxefx编辑课件464.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法n曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节

19、点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.编辑课件47n在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.),.2 , 1 , 0(),(miyxii)(.)()()(*1*10*0*xxxxsnn编辑课件48n设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令0( )nkx0011( )( )( )( )(4.5.11)nns xxxx 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即( )(0,1,2 , )iiis xyim01,ni编辑课件49220120(,)()mniiiIx( ) 0 x达到极小值,这里

20、 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有002()()()()0(0,1,2, )mnikkiijiikjIxxf xxjn 编辑课件50n用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为0(,)(0,1,2, )njkkjkjn0000010111011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(4.5.14)(,)(,)(,)nnnnnnnn 01,n编辑课件51n其中0(,)()()()mjkijikiixxx),.2 , 1 , 0()()()(),(0njxxfxfijmiiijj由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列

21、式 01,n01(,)0,nG 编辑课件52n故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解n其平方误差为*01,n*0011( )( )( )( ),nnsxxxx TmkkkkTmnkkknkkkxxxyyyffff)(),.,(),(,),.,(),(10100*220*2222这里编辑课件53特例miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001),.,2 , 1 , 0()(1)(最小二乘的法方程为时，当编辑课件54例题n例4.5.2 设函数y=f(

22、x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718iixiy编辑课件55n解 由式(4.5.16)可得n解方程组得n所以拟合二次函数为08612. 5433. 6479.105664. 18 . 12 . 28 . 12 . 232 . 2362100121.006321428,0.862589295,0.84241070421.0063214280.8625892950.842410704yxx编辑课件56n平方误差为01755.01007893.3242211002222所

23、以f编辑课件57n例4.5.3 地球温室效应问题n下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高7oC编辑课件58年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08Ct0Ct0编辑课件59n解解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1 (P119)编辑课件60n从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系n为决定参数,将上式改写成ntelnlntt编辑课件61n记 则有n这是已知数据相应地变为如下表所示ln ,ln ,yt x n abbxayn1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32tyln编辑课件62n由式(4.5.16),取n=1,m=1