条件或结论的探究性问题

1、 初三复习教案模块 探究开放性问题 第一讲 条件或结论的探究性问题教学内容概要： 本讲主要研究中考中较为特殊的一类问题因条件或结论引起的探究开放性问题，这类问题结论或条件都不确定，只要答案能够满足条件或结论的需求就可以了，因此此类问题较为简单，为学生进行自我学习与探索提供了很好的准备条件。教学目标：1、教会学生了解条件或结论的探究性问题，懂得如何对此类题目进行审题、分析，能够找到此类题目的考查点，从而让学生自己掌握相关的解题方法。2、能够让学生通过熟悉条件或结论的探究性问题，初步学会如何从条件或结论入手分析数学试题，体会试题中条件与结论的联系，从数学本质上理解数学题目的多样性与灵活性。重难点：

2、对条件或结论的探究性问题进行审题与分析，找到相关解题方法。知识要点 开放型问题是指题目的条件或结论是发散的、不确定的，其解答往往不拘泥于单一的、固定的模式，它的特点是正确答案不唯一。条件或结论的开放型探究性问题主要包括条件开放型问题、结论开放型问题、条件结论同时开放型问题、过程开放型问题。1、给出题目的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放型问题。填写条件时，应符合题意或相关的概念、性质与定理。2、给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，这样的问题是结论开放型问题。得出的结论应尽可能用上题目及图

3、形所给的条件。3、问题的条件不完备，结论也具有开放性的题目，就属于条件结论同时开放型问题。例题经典例1：如图1，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，联结CE、BF。请你添加一个条件，使得BDFCDF，并加以证明。图1解：思路一：若添加DE=DF，在BDF和CDF中，BD=DC，FDB=EDC，DF=DE，由判定SAS得，BDFCDF。思路二：若添加BF/EC，由平行线的性质定理得，FBD=ECD，在BDF和CDF中，BD=DC，FDB=EDC，FBD=ECD，由判定ASA得，BDFCDF。思路三：若添加FBD=ECD，在BDF和CDF中，BD=DC，

4、FDB=EDC，FBD=ECD，由判定ASA得，BDFCDF。思路四：若添加DFB=DEC，在BDF和CDF中，BD=DC，FDB=EDC，DFB=DEC，由判定AAS得，BDFCDF。【点评】本题是一道条件开放型问题，考查的知识点是全等三角形的判定。因为三角形全等条件中必须是三个元素，而例1中，已知BD=DC，EDC=FDB，即已经确定一条边及此边相邻的一个角对应相等，根据全等三角形判定中的SAS、AAS、ASA，可以添加三类条件。若用到判定SAS，可添加DE=DF；若用到判定ASA或AAS，可添加EC/BF或者DEC=DFB或者ECD=FBD（只要从以上条件中选出任意一个条件添加都正确）。

5、因此解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求。例2：已知二次函数的图像如图所示，问由此图像中所显示的抛物线特征，可以得到二次函数的系数的哪些关系和结论。 图2解：由图2知，二次函数的图像开口向下，得；与y轴交于正半轴处得，对称轴直线x=2，得，即。又对称轴直线x=2，即，得；从图中分析还知图像与x轴交于两点，得；当x=1时，又，得；再将变形得，代入得，【点评】本题是一道结论开放型问题，考查的知识点是二次函数的图像与性质。例2中，二次函数基本图像已经给出，从它的开口方向、对称轴范围以及与坐标轴的交点可先确定的正负性，再根据对称轴的具

6、体数值可以讨论出系数与的关系。本题结论不唯一，只要围绕之间的联系展开讨论，并且结论正确都可以。因此解这种开放问题的一般思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍。例3：如图3，在ABC中，AB=AC，过点A作GE/BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G。试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。图3解：图3中有五对全等三角形，分别是BCFCBD、BHFCHD、BADCAF、BAECAG、ADEAFG。（只要从以上全等三角形中任选一个都正确）。（1）证明BCFCBD。在A

7、BC中，AB=AC，ABC=ACB， 又角平分线BD、CF相交于点H，DBC=FCB在BCF和CBD中，ABC=ACB，BC=CB，FCB=DBC，BCFCBD（ASA）（2）证明BHFCHD。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分线BD、CF相交于点H，DBC=FCB，ABD=ACF，又DBC=FCB，BH=CH在BHF和CHD中，ABD=ACF，BH=CH，FHB=DHC，BHFCHD（ASA）（3）证明BADCAF。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分线BD、CF相交于点H，ABD=ACF，在BAD和CAF中，ABD=ACF，AB=AC，BAC=CAB，BADCAF

8、（ASA）（4）证明BAECAG。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分线BD、CF相交于点H，DBC=FCB，ABD=ACF，又GE/BC，G=FCB，DBC=E，G=E在BAE和CAG中，ABD=ACF，AB=AC，E=G，BAECAG（AAS）（5）证明ADEAFG。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分线BD、CF相交于点H，DBC=FCB，ABD=ACF，又GE/BC，G=FCB，DBC=E，G=E又GE/BC，GAB=ABC，ACB=EAC，GAB=EAC又GE/BC，G=FCB=ACF，DBC=E=ABD，AG=AC，AE=AB，AG=AE在ADE和AFG中，

9、GAB=EAC，AG=AE，GAB=EAC，ADEAFG（ASA）【点评】本题也是一道结论开放型问题，考查的知识点是全等三角形的判定与性质。与例1不同的是，本题解题难点在于如何找出够数量的全等三角形并进行证明。解这类题目要从图形与条件同时入手考虑，在例3中，从图形观察出，题目的背景图形是一个等腰三角形，根据对称性能发现有五组成对称性的三角形。要证明这五组成对称性的三角形全等，又要从条件入手，条件多从角度出发，因此学生也要从SAS、AAS、ASA等与角有关的判定证明。例4：如图4，四边形ABCD中，点E在边CD上，联结AE、BE。给出下列五个关系式：AD/BC；DE=CE；AE是DAB的角平分线

10、；BE是ABC的角平分线；AD+BC=AB。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。用序号写出所有可能的真命题（书写格式如：如果那么），并给出证明。图4解：第一种情况：。证明一：如图5，延长AE、BC交于点F。AD/BC，DAE=F，又DAE=EAB，EAB=F，AB=BF在DAE和CFE中，DAE=F，DE=EC，DEA=CEF，DAECFE（AAS）AD=CF，AE=EF，又BF=BC+CF，AB=BF=BC+CF=BC+AD在ABF中，AB=BF，AE=EF，BE是ABC的角平分线 图5 图6 图7证明二：如图6，过点E作EG/BC交AB于点G。AD/BC/EG，DA

11、E=AEG，又DAE=EAB，EAB=AEG，AG=GE，又AD/BC/EG，又DE=EC，AG=GB，EG是梯形ABCD的中位线，同时，AB=AD+BCGB=GE，ABE=GEB，又EG/BC，GEB=EBC，ABE=EBC，即BE是ABC的角平分线。 第二种情况：。证明方法同第一种类似，也有两种方法。证明一：如图7，延长BE、AD交于点H。AD/BC，EBC=H，又ABE=EBC，ABE=H，AB=AH在DEH和CEB中，H=EBC，DE=EC，DEH=CEB，DEHCEB（AAS）DH=CB，HE=EB，又AH=AD+DH，AB=AH=AD+DH=AD+BC在ABH中，AB=AH，HE=

12、EB，AE是DAB的角平分线证明二：如图6，过点E作EG/BC交AB于点G。AD/BC/EG，GEB=EBC，又ABE=EBC，GEB=ABE，BG=GE，又AD/BC/EG，又DE=EC，AG=GB，EG是梯形ABCD的中位线，同时，AB=AD+BCGA=GE，BAE=AEG，又EG/AD，DAE=AEG，BAE=DAE，即AE是DAB的角平分线。第三种情况：。证明一：如图5，延长AE、BC交于点F。AD/BC，DAE=F，又DAE=EAB，EAB=F，AB=BF又BE是ABC的角平分线，AE=EF在DAE和CFE中，DAE=F，AE=EF，DEA=CEF，DAECFE（ASA）AD=CF，

13、DE=EC，BF=BC+CF =BC+AD证明二：如图6，过点E作EG/BC交AB于点G。AD/BC/EG，GEB=EBC，DAE=AEG，又AE、BE分别是DAB和ABC的角平分线，GEB=ABE，DAE=EAG，AG=GE，GE=GB，又AD/BC/EG，又AG=GB，DE=EC，EG是梯形ABCD的中位线，AB=AD+BC剩下三种情况证法一样，不再加以详述。【点评】本题是一道条件与结论同时开放型问题，主要考查梯形的性质与中位线定理等几何知识，还涉及到全等三角形的判定与性质。本题难度较高，但是本题题型新颖，需要在梯形中通常作辅助线来构造三角形，转移有关线段来求解。例4中首先要确定梯形，只能

14、做条件，如果作为条件，可得到以下两种情况：和；如果作为条件，可得到以下两种情况：和；还有两种情况和也可以成立。此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断。 课后作业一、填空题1、给出两个数3和6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数可以是 。（写出一个你认为正确的答案即可）2、请从下列三个代数式中（）任选两个构造一个分式： 。（写出一个你认为正确的答案即可）3、已知在ABC中，AB=AC，ADBC，点D为垂足，由以上两个条件可得 。（写出一个你认为正确的结论）4、多项式可分解为两个一次因式的积，整数p的值是 。（写出一个即可）5、请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。6、平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 。7、请给出一元二次方程 =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根。8、已知一次函数的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： 。9、已知：如图，AB/DE，且AB=DE，请只添加一个条件，使ABCDEF，你添加的条件是 。第9题图10、已知，从这四个数中任意选取三个数