二面角 平面角的定义

1、1 1 、二面角及二面角的平面角、二面角及二面角的平面角的有关定义的有关定义平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。从一条从一条直线出发的两个半平面所直线出发的两个半平面所组成的图形叫做组成的图形叫做二面角二面角。（1 1）半平面半平面（2 2）二面角二面角l lll这条直线叫做二面角的棱棱，每个半平面叫做二面角的面面。BOAa（4）二面角的记法“面面1 1棱棱面面2”2” 如：以直线a为棱，以、为半平面的二面角记作：以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作：等等。以直线l为棱，以平面ABC

2、D、平面A1B1C1D1为半平面的二面角记作：或“AlA1”，等等。？“a a”？“面ABCDl面A1B1C1D1”？“CABD”B。OA(5)(5)二面角的平面角二面角的平面角垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。或： 从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。B。OAB1。O1A1B。OA小结：小结：B。OA复习回顾复习回顾等角定理等角定理 若一个角的两边与若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。向相同，则这两个角相等。 1.二面角就是用它的平面角来度

3、量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。(6)二面角的范围00。,180,180。 （7）直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角当堂小测1、二面角指的是（）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。2、二面角的平面角的顶点在二面角的上，角的两边分别在二面角的内，且两边都与棱，它的度数与它的平面角的度数。2.课堂诊断例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、B

4、D分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。 CDAB分析分析要要求求CD的的长长， 可可考考虑虑用用向向量量法法， 即即求求|CD|， 要要求求|CD|，须须先先用用已已知知向向量量CA、AB、BD 表表示示它它，不不难难得得到到：CD=CA+AB+BD 最最后后根根据据 |a|2=aa 求求出出结结果果. 3.有关二面角的题型解解：由由已已知知得得： CA，BD18060120， CAAB0，ABBD0 |CD|2（CAABBD）2 |CA|2|AB|2|BD|22CABD |CA|2|AB|2|BD|22|CA|BD|cosCA，B

5、D 624282268cos120 6242822682168 |CD|217 例 2、如图所示，在正方体 AC1中，求二面角 A1BDC1的大小。 解 ： （ 方 法 一 ） 由 正 方 体 的 面 对 角 线 长 都 相 等 可 知 ， A1B D与 C1B D 是 全 等 的 正 三 角 形 ， 取B D 的 中 点O ， 连 结A1O 、 C1O ， 则A1O B D ， C1O B D ， A1O C 就 是 二 面 角A1 B D C1的 平 面 角 。 A1C12a ， A1O C1O 232a 26a c o s A1O C aaaaa26262)2()26()26(22231

6、 A1O C a rc c o s31 。 故 二 面 角A1 B D C1的 大 小 为a rc c o s31 。 D(0，0，0)，B(1，1，0)， O(21，21，0)， A1(1，0，1)，C1(0，1，1) BD(0，0，0)(1，1，0)（1，1，0） 1OA(1，0，1) (21，21，0)（21，21，1） 1OC(0，1，1) (21，21，0)（21，21，1） 解： （方法二） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，BD 的中点为 O，则 BD1OA121（1）（21）010 BD1OC（1）（21）121010 1OA1OC21（21）（21）211121 1OA1OC26 OA1BD，OC1BD， 1OA，1OC就是二面角 A1BDC1的平面角。 cos1OA，1OC|1111OCOAOCOA 26262131。 例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的中点，求二面角EFGA的大小。H解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H，连结EH。由EA平面AC及三垂线三垂线定理可得：在RtEAH中，易得 AH22EF，EFEA， tanEHA2， EHAarct